2009安徽高考数学,文科数学,word版

2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文科(安徽卷) 年普通高等学校招生全国统一考试数学文科(安徽卷) 第I卷 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、i 是虚数单位,i(1+i)等于 (A)1+i (B)-1-i (C)1-i (D)-1+i 2、若集合 A={x∣(2x+1) (x-3)<0} , (A) {1,2,3,} (C) {4,5}
? x ≥ 0 ? ? x + 3 y ≥ 4 ?3x + y ≤ 4 3、不等式组 ?
3

10、考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下 的 3 个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于 (A) .1 (B).
1 2

写出统计结论。 18(本小题满分 12 分) x2 y2 + 2 =1 2 b (a 已知椭圆 a

B

?

(C)

1 3

?C ? E

?F

?D

(D)0

B =

{x

∈ N

+

x ≤ 5 ,

则 A∩B 是

(B) {1,2, } (D) {1,2,3,4,5}

所表示的平面区域的面积等于
2 3

(A) 2 .

(B).

(C).

4 3

(D).

3 4

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡 的相应位置。 11、在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是_______ 12、程序框图(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______ 13、从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线 段为边可以构成三角形的概率是________ 14、在平行四边形 ABCD 中,E E D 和 F 分别是边 CD 和 BC C uuuv F uuu v uuu v A B 的中点,若 AC = λ AE + ? AF , 其中 λ , ? ∈ R ,则 λ + ? _____ 15、对于四面体 ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题 的编号) 。 (1)相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; (2)由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 ? BCD 的三条高线的交点; (3)若分别作 ? ABC 和 ? ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; (4)任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; (5)分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。 三.解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。 16、 (本小题满分 12 分) 1 π 在 ? ABC 中,C-A= 2 , sinB= 3 。 (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积 17、 (本小题满分 12 分) 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A, 将其与原有的一个优良品 种 B 进行对照 试验,两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下 品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414, 415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397 397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (I)完成所附的茎叶图 (II)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (III)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,
第 1页 共 2页

?A

3 >b>0)的离心率为 3 ,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的
圆与直线 y=x+2 相切, (1)求 a 与 b; (2)设该椭圆的左,右焦点分别为 F 和 F ,直线 l 过 F 且与 x 轴垂直,
1 2 1 2

动直线 l 与 y 轴垂直, l 交 l 与点 p..求线段 P F 1 垂直平分线与 l 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。 19、 (本小题满分 12 分)
2 2
1

2

4、“ a + c >b+d ”是“ a >b 且 c>d ”的 (A)必要不充分条件 (C)充分必要条件 5、已知 { a (A)-1
n

已知数列{

an

} 的前 n 项和

S n = 2n 2 + 2 n

,数列{

bn

}的前 n 项和

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

Tn = 2 ? bx
(1)求数列{

}

为等差数列, a1 + (B) 1
6 2

a3 + a5 =105, a 2 + a 4 + a 6 =99,则 a20 等于
(C) 3 (D 7

an

}与{

bn

}的通项公式;

(2)设

2 cn = an ? bn

,证明:当且仅当 n≥3 时,

cn +1



cn

6、下列曲线中离心率为

的是

20、本小题满分 13 分 如图,ABCD 的边长为 2 的正方形,直线 l 与平面 ABCD 平行,E 和 F 式 l 上 的 两 个 不 同 点 , 且 EA=ED , FB=FC, E ′ 和 F ′ 是平面 ABCD 内 的 两 点 , EE ′ 和 FF ′ 都 与 平 面 ABCD 垂直, (1)证明:直线 E ′F ′ 垂直且平分 线段 AD: (2)若∠EAD=∠EAB = 60 ,EF = 2,求多面
0

x2 y 2 ? =1 4 (A) 2 . x y ? =1 6 (C). 4
2 2

x2 y 2 ? =1 2 (B). 4 x y ? =1 (D). 4 10
2 2

E

F C

l
D

7、直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂线,则 l 的方程是 (A)3x+2y-1=0 (B)3x+2y+7=0 (C)2x-3y+5=0 (D) 2x-3y+8=0 8 、 a < b, 函 数 y = ( x ? a ) ( x ? b )
2

E/
A 第 20 题 B

F/

的 图 象 可 能 是

体 ABCDEF 的体积。 21、 (本小题满分 14 分)

2 f ( x) = x ? + 1 ? a ln x x 已知函数 ,a>0,
(1)讨论 f ( x ) 的单调性;
2 (2)设 a=3,求 f ( x ) 在区间[1, e ]上值域。其中 e=2.71828…是自然对

9、设函数 导数
f
/

f ( x ) =

s in 3

θ

x

3

+

3 c o s θ 2

x

2

+

ta n θ

0 , ? ,其中 θ ∈ ? ?

5 π 1 2

? ? ?

,则

(1 )

(A) [ ? .

2, 2

的取值范围是 ] (B) .

? ?

2 ,

3 ? ?

? ? (C)

3 , 2 ? ?

(D

? ?

2 , 2 ? ?

数的底数。
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2009 年高考安徽文科数学试题参考答案

参考答案
互斥, 如果事件 A.B 互斥,那么 S 表示底面积 A 表示底面的高 学科网

x = a 时, y 取极大值 0,当 ,
V = Sh )
或当 x

x=

2a + b 3 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 取极小值且极小值为负。 。

C + A = π ? B ,∴

A=

π
4

?

B π B 2 B B sin A = sin( ? ) = (cos ? sin ) 2 ,∴ 4 2 2 2 2 ,

P(A+B)=P(A)+P (B)

棱柱体积

< b 时 y < 0 ,当 x > b 时, y > 0 选 C
9 ) 解 析 :

棱维体积

1 V = Sh 3 学科网


/

f / ( x) = sin θ x 2 + 3 cos θ x

1 1 3 sin 2 A = (1 ? sin B) = sin A = 2 3 ,又 sin A> 0 ,∴ 3 ∴
, ∴

i (1 + i ) = i + i 2 = ?1 + i ,选 D 1、解析: 、解析:
(2) )

f (1) = sin θ + 3 cos θ = 2 sin(θ + ) 3


π

AC BC = sin A 如图, (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B 6? 1 3 3 3 =3 2
, 又

2 ≤ f / (1) ≤ 2 ,选 D
AC sin A BC = = sin B








1 A = {x | ? < x < 3} 2

(10)解析:不妨设上下面的中心为 A、B 左右面的中心为 C、D )解析: 、 、 前后面的中心为 E、F 如图所示。 、 如图所示。 , 个点连成三角形可分两类: 从中任选 3 个点连成三角形可分两类:

B = {1, 2,3, 4, 5} ,∴ A I B = {1, 2} 选 B
(3)解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部 )解析: 分△ABC

y

一是相对面的中心两点及被这两个面所夹四个面中心的

B
任意一面的中心,构成的是等腰直角三角形, 任意一面的中心,构成的是等腰直角三角形,此时剩下 个点也连成一个与其全等的三角形。 的 3 个点也连成一个与其全等的三角形。

sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B = 3 2 2 6 1 6 × + × = 3 3 3 3 3 S ?ABC =


?x + 3y = 4 ? 3x + y = 4 得 由?


C O

A x

点所在的平面中没有任何两个面是相对面即此三个面彼此相邻,此时构成的是正三角形, 二是所选 3 个点所在的平面中没有任何两个面是相对面即此三个面彼此相邻,此时构成的是正三角形, 同时剩下的 3 个点也构成正三角形。故所求概率是 1。选 A 个点也构成正三角形。 。 小题, 把答案填在答题卡的相应位置。 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 学科网 填空题:

,又 ( , ) ,C 得 A(1,1) 又 B(0,4) ( , ) , ,

M (0, y, 0) (11)解析:设 )解析:

| MA |=| MB | 得 ,则由

1 1 6 AC ? BC ? sin C = × 6 × 3 2 × =3 2 2 2 3

4 (0, 3 ) , 1 4 4 (4 ? ) × 1 = 3 3 ,选 C。 ∴S△ABC= 2 △ 。
(4) 解析:由 a >b 且 c>d ? a + c >b+d,而由 a + c >b+d 解析: > ,

1 + y 2 + 4 = 1 + ( y + 3) 2 + 1
即 M 的坐标是

y = ?1 ,解得

(本小题满分 (17) 本小题满分 12 分) ) ( (Ⅰ 茎叶图如图所示: 解: Ⅰ)茎叶图如图所示: ( 用茎叶图处理现有的数据, (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,不仅可以 Ⅱ 用茎叶图处理现有的数据 看出数据的分布状况, 看出数据的分布状况,而且可以看出每组

A 7 7 5 35 36 3 37 1 4 9 7 7 5 7 5 7 3 4 5 3 0 5 4 1 0 3 2 0 40 8 2

B

(0, ?1, 0)

(12 由程序框图知,循环体被执行后 a 的值依次为 3、7、15、31、 由程序框图知, 、 、 、 、 63、127,故输出的结果是 127。 、 , 。

中的具体数据。 中的具体数据。 观察茎叶图, (Ⅲ)通过 观察茎叶图,可以看出品种 A 的 平均母产量为 411.1 千克,品种 B 的平均母产量 千克, 千克, 为 397.8 千克,由此可知品种 A 的平均母 的平均母产量高, 产量比品种 B 的平均母产量高,但品种 A 的 母产量不够稳定, 母产量不够稳定,而品种 B 的母产量比较集中

a >b 且 c>d,可举反例。选 A > ,可举反例。
,由

(13)

解析:从长度为 2、3、4、5 的四条线段中任意趣出 3 条共有 4 种不同的取法,其中可构成三角 解析: 、 、 、 种不同的取法,

38 3 5 6 39 1 2 4 0 1 1

4 3

5 6

(5) 解析:由

a1 a3 a5
+ +

=105 得

3a3 = 105,



a3 = 35

a2 + a4 + a6

=99 得

3 p = 4 形的右( , , )(2, , )(3, , )三种, , , 形的右(2,3,4)( ,4,5)( ,4,5)三种,故所求概率
( 14 ) 解 析 : 如 图

3a4 = 99 a4 = 33
即 ∴d

= ?2 , a20 = a4 + (20 ? 4) × (?2) = 33 ? 32 = 1 ,选 B

uu uv uu u v uu uv u uuv u uuv v uu u D uu uv v 1 u uu u uuv 1 AC = AB + AD, AE = AD + AB, AF = AB + AD 2 2

E C F B

在平均产量附近。 在平均产量附近。

A
uuuv u uuv v u uuv 3 uu u 3 uu uv AE + AF = (AB + AD ) = AC 2 2 , ∴ uuuv 2 u uuv uuuv λ AC = (AE + AF ) 3 ,∴
(15)解析:①④⑤ )解析:

6 e= 2 解析; (6 )解析;由
学科网

c2 3 b2 3 b2 1 = ,1 + 2 = , 2 = 2 2 a 2 a 2 ,选 B 得a

41 0 2 5 6 42 2 43 0 44

(本小题满分 (18) 本小题满分 12 分) ) (

+? =

4 3

e=
解: 1)由 (

3 3



b2 2 = a2 3

b=
,又

2 1+1

= 2
,∴

b 2 = 2, a 2 = 3

,∴

3 3 kl = ? y ? 2 = ? ( x + 1) 3x + 2 y ? 1 = 0 选 A 2 ,∴ l 的方程为 2 (7)解析: )解析: ,即 2a + b x = a, x = / / y = ( x ? a )(3 x ? 2a ? b) , 由 y = 0 得 3

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三.解答题;本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡 解答题 本大题共 小题, 上的指定区域内。 上的指定区域内。

a = 3, b = 2 。
(2)由(1)知 ) )

(8)解析:

,∴当 ( 16 ) 解 :( Ⅰ ) 由

C? A=

π
2
, 且

F1 ( ?1, 0), F2 (1, 0)

,由题意可设

P (1, t ) (t ≠ 0) ,那么线段 PF1 的中点为

C

t N (0, ) 2
B
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uuuu v uuuv t MN = (? x, ? y ), PF1 = (?2, ?t ) 2 是所求轨迹上的任意一点 设 M(x,y)是所求轨迹上的任意一点,由于 , 是所求轨迹上的任意一 ,则
v t ? uuuu uuuv ? MN ? PF1 = 2 x + t ( y ? ) = 0 2 ? ?y = t ?
因此, 因此,所求点 M 的轨迹方程为

设 AD 的中点为 M,在 Rt△MEE/中,由于 ME/=1,ME= , △ 中 ,

3 ,∴EE/= 2


f (1) = 0, f (2) = 2 ? 3ln 2 < 0, f (e 2 ) = e2 ? f ( x) 在区间[1, e2 ]上的值域

2 ?5 > 0 e2

VE ? ABCD


1 1 4 2 = S正方形ABCD ? EE / = × 2 2 × 2 = 3 3 3

∴函数

消去参数 t 得

y 2 = ?4 x ( x ≠ 0)

y 2 = ?4 x ( x ≠ 0) ,其轨迹为抛物线(除去原点) 其轨迹为抛物线(除去原点) 。

1 1 1 2 2 VE ? BCF = VC ? BEF = VC ? BEA = VE ? ABC = S ?ABC ? EE / = × × 2 2 × 2 = 3 3 2 3

a = S1 = 4 (19)解:当 n = 1 时, 1 )
当n

V ∴多面体 ABCDEF 的体积为 E ? ABCD
2 2

+ VE ? BCF = 2 2 。


≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = (2n + 2n) ? [2(n ? 1) + 2(n ? 1)] = 4n

f / ( x) = 1 +
(Ⅰ (21)解: Ⅰ)由于 ) (

2 a ? x2 x

a1 = 4

a 也适合上式, 也适合上式,∴ n

= 4n


t=

b = T1 = 2 ? b1 b =1 当 n = 1 时, 1 ,∴ 1

1 / 2 x 得 f ( x) = 2t ? at + 1 (t ≠ 0)

bn 1 = b = Tn ? Tn ?1 = 2 ? bn ? (2 ? bn ?1 ) b 2 当 n ≥ 2 时, n ,∴ n ?1 1 1 bn = ( ) n ?1 {b } 2 为首项, 为公比的等比数列, ∴数列 n 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ 。 1 cn = an 2 ? bn = 16n 2 ( )n ?1 2



? = a2 ? 8 ≤ 0

, 即

0<a≤2 2

时 ,

f / ( x) ≥ 0

f ( x)
恒 成 立 , ∴ 在

(?∞, 0), (0, +∞) 上都是增函数。 上都是增函数。
当?

= a 2 ? 8 > 0 ,即 a > 2 2 时,

由 , ∴

2t 2 ? at + 1 > 0 得

t<

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 t> 4 4 或



2




2



1





cn +1 (n + 1) 1 1 1 1 1 1 3 = = (1 + + 2 ) = [( + )2 + ] 2 cn 2n 2 n n 2 n 2 4 cn +1 cn +1 9 = = >1 n = 1 时, cn 2 > 1 ,当 n = 2 时 cn 8 当 , cn +1 c3 8 ≤ = <1 c c c2 9 n ≥ 3 时, cn 因此, ,因此,当且仅当 n≥3 时, n +1 < n ≥
= ED 且 EE ⊥ 面 ABCD
/

∴x

<0或

x>

a + a2 ? 8 a ? a2 ? 8 0< x< 2 2 或 a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 <t < 4 4





2t ? at + 1 < 0
2







a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 <x< 2 2
综上 当 0



< a ≤ 2 2 f ( x) 在 (?∞, 0), (0, +∞) 上都是增函数;当 a > 2 2 f ( x) 在 上都是增函数; a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 ) ( , +∞) 2 2 上都是增函数, 及 上都是增函数,

(20)解:由 EA )
/

∴点 E 在线段 AD 的垂直平分线上,同理 的垂直平分线上,
/

(?∞, 0), (0,

的垂直平分线上, 点 F 在线段 BC 的垂直平分线上,又 ABCD 是正方形
/ /

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 ( , ) 2 2 是减函数。 在 是减函数。
(2)当 a )
2 = 3 时,由(1)知, f ( x) 在[1,2]上是减函数,在[ 2, e ] 上市增函 上是减函数, 上市增函数。 ) , 上是减函数

的垂直平分线, 的垂直平分线, ∴线段 BC 的垂直平分线就是线段 AD 的垂直平分线,即点 E 、 F 都在线段 AD 的垂直平分线,所 以直线 E ′F ′ 垂直且平分线段 AD。 。 (2)连接 EB、EC。由题设知,多面体 ABCDEF 可分割成正四棱锥 E-ABCD 和正四面体 E-BCF 两 ) 、 。由题设知, - - 部分。 部分。

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