2014年重庆高考数学试题(理)解析_图文

2014 年重庆高考数学试题(理)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.
1.在复平面内表示复数 i(1? 2i) 的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】A 【解析】
?i(1- 2i) = i+2∴对应第一象限 .选A.

2.对任意等比数列{an} ,下列说法一定正确的是( )

A.a1, a3, a9 成等比数列

B.a2 , a3, a6 成等比数列

C.a2 , a4 , a8 成等比数列

D.a2 , a3, a9 成等比数列

【答案】D 【解析】

? 要求角码成等差∴选D.

3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本的平均数 x ? 2.5 , y ? 3.5 ,则由观测的数据得线性回归
方程可能为( )

A.y ? 0.4x ? 2.3

B.y ? 2x ? 2.4

C.y ? ?2x ? 9.5

C.y ? ?0.3x ? 4.4

【答案】A 【解析】

? y = bx+a,正相关则 b > 0,∴排除C, D.?过中心点(x, y) = (3,3.5)∴选A.

4.已知向量 a ? (k,3),b ? (1, 4), c ? (2,1) ,且 ?2a ? 3b? ? c ,则实数 k=

A. ? 9 2

B.0 C.3

【答案】C 【解析】

15
D.
2

?(2a - 3b)⊥c∴(2a - 3b)c = 0,即2ac = 3bc,即2(2k +3) = 3(2+4), 解得k = 3∴选C.

5.执行如题(5)图所示的程序框图,若输出 k 的值为 6,则判断框

内可填入的条件是。

A. s ? 1 B.12 ? abc ? 24 s ? 3 C. s ? 7

2

5

10

D. s ? 4 5

【答案】C

【解析】

? S =1? 9 ? 8 ? 7 = 7 ∴选C. 10 9 8 10

6.已知命题
p : 对任意 x ? R ,总有 2x ? 0 ;
q : "x ? 1是" " x ? 2"的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是( )
A.p ? q B.? p ? ?q C.? p? q D. p? ? q
【答案】D 【解析】
? p为真, q为假,复合命题为真 ∴选D.

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.54

B.60

【答案】B

【解析】

C.66

D.72

原三棱柱:底面三角形 3* 4,高4;截掉高为 3的上部棱锥后余下的几 何体表的面积

S下

=

6,S上

=

15 2

,S侧

=15

+18

+

3 2

?

9

=

33

+

27 2

,s

=

S下

+

S上

+

S



=

60



选B

8.设

F1,F2

分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0)

的左、右焦点,双曲线上存在一点

P

使得

9 | PF1 | ? | PF2 |? 3b,| PF1 | ? | PF2 |? 4 ab, 则该双曲线的离心率为( )

4

5

9

A. 3

B. 3

C. 4

D.3

【答案】B 【解析】

?

设m

=

PF1

,

n

=

PF2

,

且m

>

n,

则m

+

n

=

3b,

mn

=

9 4

ab,

m

-

n

=

2a,

c

2

=

a

2

+

b

2

∴解得4a = 3b,∴令a = 3,b = 4, c = 5, c = 5 ,选B. a3

9.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则 类节目不相邻的 排法种数是( )

A.72

B.120

C.144 D.3

【答案】B

【解析】解析完成时间 2014-6-12qq373780592

先排歌舞有A33 , 再排其它:(1)歌舞中间有一个,插空法:A32A12 .

(2)歌舞中间有2个:A12A

22A

2 2



共有A33

(A32A12

+

A12

A

22 A 22

)

=

120.选B.

A,B,C满足s i 2nA ? s i nA ?( B ? C) ? s i Cn ?( A ? B) ? 1

10.已 知 ?ABC 的 内 角

2 ,面积满足

1 ? S ? 2,记a,b, c分别为A, B,C 所对的边,则下列不等式成立的是( )

A. bc(b ? c) ? 8

B. ac(a ? c) C. 6 ? abc ?12 D. 12 ? abc ? 24

【答案】A 【解析】2014-6-12qq373780592

?sin2A+sin(A - B+C) = sin2A+sin2B= sin(C- A - B) + 1 = -sin2C+ 1

2

2

∴sin2A +sin2B+sin2C = sin2A +sin2B - sin(2A+2B) = sin2A +sin2B - sin2Acos2B- cos2Asin2B

= sin2A(1- cos2B)+sin2B(1- cos2A)= 4sinAcosAsin 2B+4sinBcosBsin 2A

= 4sinAsinB(cosAsinB+sinBcosBsinA) = 4sinAsinBsinC = 1 2
∴8sinAsinBsinC =1.

?

SΔABC

=

1 2

ab

sin

C

=

2 R 2s inAs inBs i nC

=

R2 4

∈[1,2]∴

R2

∈[4,8]

对A,bc(b+c) >bca = 8R3sinAsinBsinC = R3 ≥23 = 8,∴bc(b+c) >8成立.

别的选项可以不考虑.所以,选A.

二、填空题 本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相应位置上。
11.设全集U ? {n ? N |1 ? n ? 10}, A ? {1,2,3,5,8}, B ? {1,3,5,7,9}, 则(CU A) ? B ? ______.
【答案】{7,9}
【解析】
?CU A ={4,6,7,9,10},∴CU A∩B ={7,9}.所以是{7,9}.

12.函数 f (x) ? log x ? log 2 (2x) 的最小值为_________.

1 【答案】 4

【解析】

?

f

(x)

=

1 2

log 2

x

?

log 2 log 2

2x 2

=

log 2

x

?

(1+log 2

x)

≥(-

1 )
2

?

(1-

1 )
2

=

-

1 4

∴所以是

-

1 4

.

13. 已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ?x ?1?2 ? ?y ? a?2 ? 4 相交于 A,B 两点,且

?ABC为等边三角形,则实数 a ?_________.

【答案】 4± 15

【解析】

?ΔABC为正三角形,圆心(1, a),半径r = 2∴圆心(1, a)到直线ax+ y - 2 = 0的距离d = 3.

又?d = | a+a - 2 | = 2(a -1) = 3, a2 - 8a+1= 0, 解得a = 4± 15∴.所以是4± 15.

a2 +1

a2 +1

考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.
14. 过圆外一点 P 作圆的切线 PA ( A 为切点),再作割线 PB , PC 分别交圆于 B , C ,
若 PA ? 6 ,AC=8,BC=9,则 AB=________.
【答案】4 【解析】
?ΔPAB与ΔPCA相似,PA = PB = AB ∴ 6 = PB = AB , PB= 3, AB = 4∴所以AB = 4. PC PA CA PB+9 6 8

?x ? 2 ?t

15.

已知直线

l

的参数方程为

? ?

y

?

3

?

t



t

为参数),以坐标原点为极点,

x

正半轴为极轴

线 l 与曲线 C 的公共点的极经 ? ? ________.

【答案】 5
【解析】
? x = 2+t, y = 3+t, y - x =1?ρ sin2 θ - 4 cosθ = 0∴ρ2 sin2 θ = 4ρ cosθ ?y2 = 4x. 联立y2 = 4x与y - x =1得y2 - 4y+4 = 0 ? y = 2∴交点(1,2),ρ = 1+4 = 5. 所以,ρ = 5.

2x ?1 ? x ? 2 ? a2 ? 1 a ? 2

16. 若不等式

2 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是

____________.

[-1,1 ] 【答案】 2

【解析】

?由数轴可知,f (x) =| x - 1 |+| x - 1 |+| x+2 | 有最小值f(1) = 5

2

2

22

∴ f (x) ≥a2 + 1 a+ 2恒成立,即5 ≥a2 + 1 a+2,即0 ≥2a2 + a -1,

2

2

2

解得a ∈[-1,1 ] 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程. 17. (本小题 13 分,(I)小问 5 分,(II)小问 8 分)

f ?x? ?
已知函数

3 sin??x ? ? ????
?

? 0,? ? 2

??

?

? 2

??

x

? 的图像关于直线

?

? 3

对称,且图像上相邻两

个最高点的距离为? .

(I)求 ? 和? 的值;

f ?? ? ?? ? 3 ?? ? ? ? ? 2? ?? cos??? ? 3? ??

(II)若 ? 2 ? 4 ? 6

3 ? ,求 ? 2 ? 的值.

ω = 2,φ = - π

3 + 15

【答案】(I)

6 (II) 8

【解析】 (I)

?由题可知,周期 T = π∴T = 2π ?ω = 2? x = π 为对称轴 ∴ f ( π - T ) = f ( π ) = 0,且 - π ≤φ < π

|ω|

3

3 4 12

2

2

∴f(x) = 3 sin 2(x - π ) = 3 sin(2x - π ),φ = - π .所以, ω = 2,φ = - π

12

6

6

6

(II)

? f (α ) = 3 ∴ 3 sin(α - π ) = 3 ,即sin(α - π ) = 1

24

64

64

?cos(α+ 3π ) = sin α = sin[(α - π )+ π ]= sin(α - π ) ? 3 +cos(α - π ) ? 1

2

66

62

62

? π < α < 2π ∴0< α - π < π ,cos(α - π ) =

15 .

6

3

62

64

∴cos(α+ 3π ) = 1 ? 3 + 15 ? 1 = 3 + 15 .所以, cos(α+ 3π ) = 3 + 15

2 42 4 2

8

2

8

18.(本小题满分 13 分) 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字 是 2,2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片.
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率;
(2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,学科 网求 X 的分布列(注:若三个数 a, b, c 满足
a ? b ? c ,则称 b 为这三个数的中位数).

【答案】(I)

5

3 + 15

84 (II) 8

【解析】 (I)

?

9中取3共有C93

=

9

?8 2?

?7 3

种,3个完全相同共有C43

+

C33

=

5,

∴所求事件A的概率p( A)

=

C43 +C33 C93

=

3?2 9?8?7

?5=

5 84

.

所以,取3个完全不同卡片的概率是 5 84

(II)

中位数X可以取1,2,3

? 当X

=1时,如(1)(1)(1,2,3),p(

X

=1)

=

C43

+ C42C51 C93

=

34 84

=

17 , 42

当X

=

2时,如(1,2)(2)(2,3),p(

X

=

2)

=

C41C32

+ C41C31C21 C93

+ C33

+ C32C21

=

43, 84

当X

= 3时,如(1,2)(3)(3),p( X

=

2)

=

C71C22 C93

=

7 84

=

1, 12

所以, EX = 34 ?1+ 43 ? 2+ 7 ?3= 141= 47 84 84 84 84 28

X 的分布列如下:

x

1

2

3

p

17

43

1

42

84

12

19.(本小题满分 12 分)

如图(19),四棱锥 P ? ABCD,底面是以 O 为中心的菱形, PO ? 底面 ABCD,

AB ? 2, ?B A D? ?

BM ? 1 , MP ? AP

3 , M 为 BC 上一点,且

2

.

(1)求 PO的长;

(2)求二面角 A ? PM ? C 的正弦值。

【答案】(I)

3

10

2 (II) 5

【解析】 (I)
由题知,PO⊥面ABCD, ΔABD, ΔBCD都为正三角形,且OM ⊥ BC

? AM 2 = PA2 + PM 2.在ΔABM中,AM 2 = 4+ 1 - 2? 2? 1 ? cos 2 π = 21

4

2 34

PA2 = PO2 + AO2 = PO2 +3, PM 2 = PO2 +OM 2 = PO2 +OM 2 = PO2 + 3 . 4

即 21 = PO2 +3+ PO2 + 3 ,解得PO= 3

4

4

2

(II)解析完成时间 2014-6-12-qq-373780592

据题分别以OA,OB,OP为x, y, z建立坐标系,则A( 3,0,0), P(0,0, 3 ),M (- 3 ,3 ,0),

2

44

C(- 3,0,0).AP = (- 3,0, 3 ),PM = (- 3 ,3 ,- 3 ),CP = ( 3,0, 3 ).

2

44 2

2

设面APM法向量n1 = (x1, y1, z1),则n1 AP = n1 PM = 0,解得一个n1 = (1,

5 ,2)
3

设面PMC法向量n2 = (x2 , y2 , z2 ),则n2 CP = n2 PM = 0,解得一个n2 = (1,- 3,-2)

∴c os<

n1,

n2

>=

|

n1 n2 n1 || n2

|

=

-8 40

=-

3 5

∴| sin

<

n1,

n2

>|=

8

3

2 = 10 55

∴二面角A - PM - C的正弦值为 10 5

20.(本小题满分 12 分,(1)问 4 分,(2)问 3 分,(3)问 5 分)
已 知 函 数 f (x) ? ae2x ? be?2x ? cx(a,b, c ? R) 的 导 函 数 f '(x )为 偶 函 数 , 且 曲 线 y ? f (x) 在 点
( 0 ,f ( 0 )处) 的切线的斜率为 4 ? c .
(1)确定 a, b 的值;
(2)若 c ? 3,判断 f (x) 的单调性;
(3)若 f (x) 有极值,求 c 的取值范围.
【答案】(1) a=b=1 (2)在 R 上单调递增 (3) (4,+∞)
【解析】 (1)
? f (x) = ae2x - be-2x - cx∴ f ′(x) = 2ae2x +2be-2x - c,且f ′(x)为偶函数 ? f ′(x) = f ′(-x)∴a = b.? f ′(0) = 4 - c∴2a+2b - c = 4 - c, 解得a = b =1
(2)解析完成时间 2014-6-12-qq-373780592
由(1)知,当c =3时,f ′(x) = 2e2x +2e-2x - 3 ≥2 2e2x ? 2e-2x - 3=1>0,则f (x)在R上单调递增
(3)解析完成时间 2014-6-12-qq-373780592
? f ′(x) = 2e2x + 2e-2x - c ≥2 2e2x ? 2e-2x - c = 4 - c. ∴当c ≤4时,f ′(x) ≥0恒成立,f(x)无极值. 当c> 4时,f ′(x)即有正又有负,∴ f (x)存在极值. 所以,当c ∈(4,+∞)时,f (x)有极值

21.

x2 如题(21)图,设椭圆 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,点 D 在椭圆上, DF1

?

F1F2 ,

| F1F2 | ? 2 2

2

| DF1 |

, ?DF1F2 的面积为 2 .

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相

互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..

【答案】(I)

x2 +y2 =1

42

2

(II) 3

【解析】 (I)

?S ΔDF1F2 =

DF1

? OF1

=

b2 a

?c

=

2 2

,F1F2 DF1

=

2c ? b2

a

=

2

2c2 = 2

2, 且a2 = c2 + b2.

∴c2 =1, a2 = 2, b2 =1,所以, 椭圆方程为x2 + y2 =1 2

(II)解析完成时间 2014-6-12-qq-373780592

假设存在符合条件的圆,根据题意和对称性可知, 左右两条切线的斜率分别为1和 -1

不符合题意;左右两条切线的斜率分别为-1和1符合题意,如图所示.F1(-1,0), F2 (1,0).

设半径为r,则圆心坐标(0, 2r -1),第一象限切点P( r , r -1), 22

代入椭圆方程中x2 + y2 =1,解得r = 4 2,圆心坐标(0, 5),P点在第一象限.

4

3

3

所以,存在符合条件的圆,半径为 4 2 3

22.(本小题满分 12 分,(1)问 4 分,(2)问 8 分)
设 a1 ? 1, an?1 ? an2 ? 2an ? 2 ? b(n ? N*) (1)若 b ? 1,求 a2 , a3 及数列{an} 的通项公式;

(2)若 b ? ?1,问:是否存在实数 c 使得 a2n ? 看不清

【答案】(I)
【解析】 (I)

an = n -1+1,n∈ N+.a2 = 2, a3 = 2 +1

存在c = 1

(II)

4

?当b =1时,an+1 = an2 -2an + 2 +1>1∴(an+1 -1)2 = (an -1)2 +1 ∴{(an -1)2}是公差为1,首项为(a1 -1)2的等差数列,即(an -1)2 = n -1,a1 =1, ∴an = n -1+1,n∈ N+.a2 = 2, a3 = 2 +1

(II)解析完成时间 2014-6-12-qq-373780592

当b = -1时,an+1 = an2 -2an + 2 -1.a1 =1, a2 = 0, a3 = 2 -1

假设ak ∈[0, 2 -1],则ak+1 = ak 2 -2ak + 2 -1∈[0, 2 -1]∴ak ∈[0, 2 -1],n∈ N+

令an+1

>

an,则an

<

1 4

;

令an+1

<

1 4

,则an

>1

-

3 2

猜测a2

n

<

1 4

<

a2

n+1.用数学归纳法证明.

(1)当n

=1时,?

a2

=

0

<

1 4

,

a3

=

2

-

1>

1 4



a2n

<

1 4

<

a2n+1成立

(2)假设n

=

k时,a2

k

<

1 4

<

a2k+1成立,则

?

a2k+1



(

1 4

,

2

-1]∴

a2k+2

∈[0,1 4

)

,即a2k+2

<

1 4

?

a2k+2

∈[0,1 4

) ∴ a2 k+3

∈(

1 4

,2

-1],即a2k+3

>

1 4



a2k+2

<

1 4

<

a2k+3成立,即n

=

k

+1时,a2n

<

1 4

<

a2n+1

(3)综上,a2n

<

1 4

<

a2 n+1 ,

n



N+

所以,存在c

=

1 4

,

使得a2n

<

1 4

<

a2

n+1

,

n



N+


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