人教版高中数学必修一1.3.1函数的单调性和最大小值 (1)ppt课件_图文

------函数的单调性 一、引入课题 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律: y y y 1 -1 1 -1 x -1 1 1 x 1 -1 1 x -1 -1 问:随x的增大,y的值有什么变化? 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1 . f (x ) = x ① 从左至右图象上升还是下降______? ________ . 增大 2.f (x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? 上升 (-∞,+∞ ) ②在区间 ____________ 上,随着 x的增大,f (x)的值随着 下降 ②在区间 ____________ 上,随着 x的增大,f (x)的值随着 ________ . (-∞,+∞ ) 减小 3 . f (x) = x2 (-∞,0] 上,f (x)的值随 ①在区间 ____________ 减小 着x的增大而 ________ . (0,+∞) ② 在区间 ____________ 上,f (x)的值随 增大. 着x的增大而 ________ x f(x) … -4 … 16 -3 -2 -1 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 … … (一)函数单调性定义 二.新课教学 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区 间D内的任意两个自变量x ,x ,当x <x 时,都有f(x )<f(x 1 ),那 2 么就说 increasing function). 2在区间D上是增函数( 2 1 f(x) 1 y y f ( x) f ( x) f ( x1 ) x1 图3 f ( x2 ) x2 f ( x1 ) x1 f ( x2 ) x2 x x 图4 类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x2 x1 O 设函数y=f(x)的定义域为I, x 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) f(x 2 ) , < x1 O x2 设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, x 当x1<x2时,都有 f (x1 ) f(x2 ), > 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 单调 增区间. f(x)这个区间上是单调 函数,D称为f那么就说在 (x)的 减函数,D称为f(x)的单调 减区间. 单调区间 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性 质; ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2; ③函数的单调性是相对某个区间而言,不能直接说某函数是增函数 或减函数。 下列说法是否正确?请画图说明理由。 (1)如果对于区间(0,+∞)上的任意x有f(x)>f(0),则 函数在区间(0,+∞)上单调递增。 (2)对于区间(a,b)上的某3个自变量的值 x1 , x2 , x3 ,当 时, a ? x1 ? x2 ? x3 ? b 有 f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f (b) 则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增。 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间: 注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意 取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减 函数),例如,图5中,在那样的特定位置上,虽 然使得 ,但显然此图象表示的函数 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 不是一个单调函数; y f (x) f ( x1 ) x1 图5 f (x2 ) x2 x ⑶几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上 升,则为增函数,图象下降则为减函数. 思考1:一次函数 的单调性,单调区间: y ? kx ? b (k ? 0) 思考2:二次函数 调区间: 的单调性,单 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0 ) (二)典型例题 例1 如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出 y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函 数. y f ( x) -2 -5 O 1 图6 3 5 x 注意:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的 一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增 减变化,所以不存在单调性问题;对于闭区间上的连续 函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单 调,因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都 可以; 练习:判断函数 f ( x) ? x ? 2x 的单调区间。 2 y f ( x) ? x 2 ? 2 x 1 单调递减区间: ( ? ?, 1] 单调递增区间: o 2 x [1 ,? ?) 例 2. 证 明 函 数 f ( x ) ? 2 x ? 1在 区 间 补例 (? ?, ? ?) 上 是 增 函 数 。 证明: 设x1 , x2 是 区 间 ( ? ?,? ?)内 任 意 两个实数,且 x1 ? x2 。 (取值) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 x1 ? 1) ? (2 x2 ? 1) (作差) ? 2(x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (定号) 则函数 f ( x ) ? 2 x ? 1在 区 间 (? ?,? ?) 是增函数 。 (下结论)

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