广东省东莞市南开实验学校2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢 笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,收卷时只交答题卷。

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项

中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设 i 是虚数单位,复数 1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为 2?i

(A)2

(B) -2

(C) ? 1

(D) 1

2

2

2. 设 f(n)= 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 (n∈N),那么 f(n+1)-f(n)等于( )

n?1 n? 2 n?3

2n

A. 1 2n ?1

B. 1

C. 1 ? 1

D. 1 ? 1

2n ? 2 2n ?1 2n ? 2 2n ?1 2n ? 2

? 3. 若 3 x — 1 ?n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为(

)

x

(A)-540 (B)-162

(C)162

(D)540

4.设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数,y ? f ?(x)
能的是( )

的图象如图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可

5. 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率

为( )

A. 1 4

B. 1 5

C. 1 6

D. 1 7

6. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=n(na+1) (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P??12<X<52??

的值为 2
A.3

()

3

4

5

B.4

C.5

D.6

7. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意
实数 x,

有 f(x)≥0,则 f (1) 的最小值为( ) f ?(0)

A3

B5 2

C2

D3 2

8. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空

间直角坐标系中的点的坐标 ? x, y, z? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的

点的个数为( A.252

) B.216

C.72

D.42

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

9. 已知复数 z ? 3 ? i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z =-------(1? 3i)2

10.在一次运动会中,有 4 名运动圆争夺 3 个项目的金牌,问最后的金牌得主一共有-----(用数
字作答)种可能。

? 11.



f

(x)

?

?? ???x

?

lg
a
0

x, 3t

x? 2 dt ,

0 x

?

0

,若

f ( f (1)) ? 1,则 a ?

12. 函数 y= 1 x2 ? ㏑ x 的单调递减区间为---------2

13. (1 ? x)4 (1 ? x )3 的展开式 x2 项的系数是-------

14. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩
上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实

心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个

五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 a3 ? 12 ,第4个五角形数记作 a4 ? 22 ,……,

若按此规律继续下去,则 a5 ? ,若 an ? 145 ,则 n ? .

1

5

12

22

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算

步骤。

15 袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球
的概率是79.

(1)求白球的个数;

(2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列.

16

已知在????

3

x- 2

1 3

??n x??

的展开式中,第

6

项为常数项.(1)求

n;

(2)求含 x2 的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.

17. 平面上有 n 条直线,它们任意两条不平行,任意三条不共点。设 n( n ? 1, n ? N ) 条这样
的直线把平面分成 f(n)个区域,试求出 f(1),f(2) ,f(3),f(4) ,f(5)。由此猜想出 f(n)并用 数学归纳法给出证明。
18. 已知函数 f (x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t2x ? t ?1( x ? R ),其中 t ? R .(Ⅰ)当 t ? 1时,求曲 线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;(Ⅱ)当 t ? 0 时,求 f (x) 的单调区间, (Ⅲ)讨论: 当 t ? 2 时函数 y=f(x)在区间(0,1)上零点的个数。

19. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2.
1.求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; 2.设 bn=Snn (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

20.已知函数

f

(x)

?

kx ?1 ( c x2 ? c

?

0且c

?1,k ?R

)恰有一个极大值点和一个极小值点,其

中一个是 x ? ?c .

1.求函数 f (x) 的另一个极值点;

2.求函数 f (x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥1时 k 的取值范围.

1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢 笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在 答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,收卷时只交答题卷。

4.设 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数,y ? f ?(x)
能的是( C )

的图象如图所示,则 y ? f (x) 的图象最有可

5. 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概率

为( C )

A. 1 4

B. 1 5

C. 1 6

D. 1 7

6. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)=n(na+1) (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P??12<X<52??

的值为 2
A.3

(D)

3

4

5

B.4

C.5

D.6

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
9. 已知复数 z ? 3 ? i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z =-------- 1\4 (1? 3i)2
10.在一次运动会中,有 3 名运动圆争夺 3 个项目的金牌,问最后的金牌得主一共有-----64(用
数字作答)种可能。

? 11.



f

(

x)

?

??lg x

? ??

x

?

a 3t 2dt
0

x?0 ,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ?
x? 0

1

12. 函数 y= 1 x2 ? ㏑ x 的单调递减区间为---------- (0,1) 2

13. (1 ? x)4 (1 ? x )3 的展开式 x2 项的系数是--------

-6

14. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩
上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实

心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个

五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 a3 ? 12 ,第4个五角形数记作 a4 ? 22 ,……,

若按此规律继续下去,则 a5 ? 35 ,若 an ? 145 ,则 n ? 10

1

5

12

22

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算

步骤。

15 袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球
的概率是79.

(1)求白球的个数;

(2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列.

1.解:设黑球的个数为 x,则白球的个数为 10-x。

记两个都是黑球得的事件为 A,则至少有一个白球的事件与事件 A 为对立事件

所以 p(A)=1-7\9=2\9

C

2 x

?2

x=5

C120 9

所以白球的个数为 5

---------- 6 分

2.离散型随机变量 X 的取值可能为:0,1,2,3

P( X ? 0) ? C50C53 ? 1 C130 12

P( X

?

3)

?

C53

C

0 5

?

1

C130 12

P( X ? 1) ? C51C52 ? 5 C130 12

P( X

?

2)

?

C

2 5

C51

?

5

C130 12

所以分布列为 X P

0 1\12

1 5\12

2 5\12

------12 分

16

已知在????

3

x- 2

1 3

??n x??

的展开式中,第

6

项为常数项.

(1)求 n;

(2)求含 x2 的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项.

3 1\12

17. 平面上有 n 条直线,它们任意两条不平行,任意三条不共点。设 n( n ? 1, n ? N ) 条这样

的直线把

平面分成 f(n)个区域,试求出 f(1),f(2) ,f(3),f(4) ,f(5)。由此猜想出 f(n)并用数学归纳

法给出证明。
解:1.f(1)=2

F(2)=2 f(3)=7

f(4)=11

f(5)=16

----4 分

2. 猜想 f(n)= n2 ? n ? 2 2
证明:1 当 n=1 时 上式显然成立

----- 8 分

2 假设当 n=k(k≥)时成立,即 f (k) ? k 2 ? k ? 2 成立 2
则 当 n=k+1 时 第 k+1 条直线与前 k 条直线相交有 k 个交点, 所以 k 个交点将第 k+1 条直线分成 k+1 份,每一份将原来
的 区 间 分 成 2 份 所 以 在 原 来 的 基 础 上 增 加 了 k+1 个 区 间 。 --------12 分

所以 f(k+1)=f(k)+k+1= k 2 ? k ? 2 +k+1= (k ? 1)2 ? (k ? 1) ? 2

2

2

所以当 n=k+1 时成立 ----------13 分 综合 1,2 所以猜想成 -------14 分

18. 已知函数 f (x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t2x ? t ?1( x ? R ),其中 t ? R .(Ⅰ)当 t ? 1时,求曲

线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;(Ⅱ)当 t ? 0 时,求 f (x) 的单调区间;(Ⅲ)若函

数 f(x)在区间 (0,1) 内存在零点,求实数 t 的取值范围。

(Ⅰ)解:当 t ? 1时, f (x) ? 4x3 ? 3x2 ? 6x, f (0) ? 0, f ?(x) ? 12x2 ? 6x ? 6

f ?(0) ? ?6.所以曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? ?6x. -------4 分

(Ⅱ)解: f ?(x) ? 12x2 ? 6tx ? 6t2 ,令 f ?(x) ? 0 ,解得 x ? ?t或x ? t . 2

因为 t ? 0 ,以下分两种情况讨论:

(1)若 t ? 0,则 t ? ?t,当x 变化时, f ?(x), f (x) 的变化情况如下表: 2

x

? ??

??,

t 2

? ??

? ??

t 2

,

?t

? ??

??t, ???

f ?(x)

+

-

+

f (x)

所以,

f

(x)

的单调递增区间是

? ??

??,

t 2

? ??

,

?

?t,

??

?

;

f

(x)

的单调递减区间是

? ??

t 2

,

?t

? ??



(2)若 t ? 0,则 ? t ? t ,当 x 变化时, f ?(x), f (x) 的变化情况如下表: 2

x

???,t ?

? ??

?t,

t 2

? ??

? ??

t 2

,

??

? ??

f ?(x)

+

-

+

f (x)

所以,

f (x)

















? ??,

?t

?

,

? ??

t 2

,

??

? ??

;

f

(x)

的单调递减区间是

? ??

?t,

t 2

? ??

.

--------10



(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知,当

t

?

0

时,

f

(x)



? ??

0,

t 2

? ??

内的单调递减,在

? ??

t 2

,

??

? ??

内单

调递增,
当 t ? 2 时, t ? 1 , f (x) 在(0,1)内单调递减, 2

f (0) ? t ?1 ? 0, f (1) ? ?6t2 ? 4t ? 3 ? ?6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0.

所以对任意 t ? 2 ,在区间(0,1)内存在唯一的一个零点。 -------------14 分

19. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2.
(1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 bn=Snn (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

20.已知函数 f (x) ? kx ?1 ( c ? 0 且 c ? 1,k ? R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其 x2 ? c
中一个是 x ? ?c .
1.求函数 f (x) 的另一个极值点;

2.求函数 f (x) 的极大值 M 和极小值 m ,并求 M ? m ≥1时 k 的取值范围.


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