常见曲线的切点弦方程


2009年第3期



常见曲线的切点弦方IM.
周顺钿
(浙江省杭州高级中学,31000B)

(本讲适合高中) 切点弦方程是解析几何中的热点问题.

肘(X0,Yo)作椭圆的网条切线MA、MB.则切

随着导数的引入,它的内涵更加深刻、题型更 加丰富.本文对切点弦问题进行归纳整理,以
飨读者. 1知识简介 (1)圆的切点弦方程

点弦AB所在的直线方程为等+掣:1.
口0

证明:设A(茹l,Y1)、日(髫2,Y2).

将方程享+豢=l两边对菇求导得 擎+簪∥-o.
于是,切线删的方程为

命题1

过圆C:菇2+Y2=r2外一点

M(菇。,Y。)作圆的两条切线MA、MB.则切点 弦AB所在的直线方程为X,0菇+YoY=r2. 证明:因为OA J.MA,OB_LMB,所以,

y—Yt:一些(髫一菇I), y一2一—a2—Yl
化简得k:等+丁Yl


L髫一菇‘J,

0、A、M、B四点落在以OM为直径的圆
菇(戈一zo)+Y(Y—Yo)=0 上,它与圆C的公共弦即为AB. 两圆方程相减;得切点弦AB所在的直 线方程为x,o髫+YoY=r2.

即寻(X--X1)+祭(y—Yi)=0.
Y=1.

特别地,当Yl_0时,上式也成立.

(2)椭圆的切点弦方程
' 2

同理,‰等+辔0=1.
又M(菇o,Yo)在直线似、MB上,则

命题2过椭圆C:冬+告=1外一点
收稿日期:加吣一09—08修回日期:2ID∞一11—29

等+警=?,等+爷=1.
(提示:设六位数为764at圮.令M=7+4
+b=11+b,N=c+口+6.贝0口6c被8一整除, 舾+N=17+口+b+f被9整除,肘一N= 5+b一口一c被11整除.易知17≤M+Ⅳ≤ 44,一13≤肘一Ⅳ≤14.故Jjl|f+N=18,27,36,


叠新等式表示点A(菇,,Y1)、B(茗,,仍)都 (提示:设十位数为A=i瓦瓦.令
菇=Xl+髫3+z5+髫7+菇9,Y=髫2+X4+菇6+

戈8+髫lo.贝4

11

I(髫一Y).而10≤髫、Y≤25,因

此,I茹一Y l=0,11,22.因)b石l,菇2,…,菇lo是 0,l,…,9的一个排列,所以,茹l+菇2+…+

肼一N=一11,0,11.穷举得唯一解764 280.)
5.用0,l,…,9组成能被11整除的不含

菇lo=45,即茗+Y=45.而茹一Y与菇+Y同奇
偶,于是,菇一y是奇数.所以,并一Y=±11. 解得(茗,Y)=(28,17)或(17,28).进而得A一 =9 876 524 130,Am=1 024 375 869.)

重复数字的十位数.求其中的最大数与最
小数.

万方数据



中等数学

在直线等+等=1上,也说明此直笺即为
切点弦AB所在的直线方程. 注:这种通过类比而得到切点弦方程的 证明方法通常称为“设而不求”.命题1也可 用此方法证明. (3)双曲线的切点弦方程

(2Ax+尽,,+JD)+(2Cy+圆拓+E)y7=0. 于是,切线MA的方程为 (2Axl+最n+D)(搿一名1)+ (2Cyl+B暂l+E)(Y—Y1)=0. 化简整理得 (2Axl+旦',l+D)x+(2Cyl+胃kl+E)y一

(2Ax:+2凰IYl+2研+眈1+毋l+,)=o,


命题3过双曲线c:之一告=1外一点
M(‰,Yo)作双曲线的两条切线MA、MB.则

(2Axl+后吵l+n)x+(2Cyl+凰l+g)y+

少l+毋l+F=0,
也ep(2,4_x+B步+D)x1+(2Cy+觑+E)yI+

切点弦AB所在的直线方程为等一等:1.
(4)抛物线的切点弦方程 命题4过抛物线C:Y2=2px(p>0)外 一点M(粕,Y。)作抛物线的两条切线MA、
MB.则切点弦AB所在的直线方程为 YoY=p(髫+戈o).

眈+毋+F=0.
同理,切线MB的方程为 (2Ax+母,,+D)x2+(2Cy+胃k+E)y2+

眈+毋+F=0.
又M(‰,Yo)在直线MA、MB上,则 (2Axo+8yo+D)xl+(2Q№+丑‰+s)yI+
Dko+Eyo+F=0,

(5)反比例函数的切点弦方程 命题5过反比例函数c:Y=旦(k≠0) 的图像(等轴双曲线)外一点M(‰,Yo)作它
的两条切线MA,MB.则切点弦AB所在的直 线方程为990Y+Yox=2k.

(2Axo+置‰+D)x2+(2Cyo+Bxo+E)y2+

隗o+Eyo+F=0. 这两个等式表示点A(省,,Y。)、B(x:,儿)都


在直线 (24‰+占‰+D)x+(2Cyo+占‰+E)y+

(6)hike曲线的切点弦方程 命题6过hike曲线C:Y=髫+旦(后>0) 外一点M(粕,Yo)作nike曲线的两条切线 MA、MB.则切点弦AB所在的直线方程为
(如一2菇o)菇+龙oY=2k.

眈o+Ero+F=0
上,整理得

舭。髫+曰?塑告型+Cro,,+

注:仿命题2的证明可证命题3,4、5、6. 对于一般二次曲线,有下面的定理.
定理对于二次曲线的一般方程

D?半+E?学+F:0,
也就是说,此直线即为切点弦AB所在的直 线方程.
2例题选讲 例1设P、Q为圆周算2+Y2=1上两动

舭2+脚+何2+眈+巧+F=0,
MA、MB.则切点弦AB所在的直线方程为



过曲线外一点M(菇。,Yo)作曲线的两条切线

‰川?掣掣+‰y+D.学廿学+,-o.
证明:设A(石l,Y1)、B(z2,Y2). 将方程①两边对髫求导得? 万方数据

点,且满足与圆内一定点A(o,i1),使ZPAQ
=罟.求过点P和Q的两条切线的交点肘的
轨迹方程.

2009年第3期



(2007,浙江省高中数学竞赛(B卷)) 解法1:设肘(石。,Yo).则切点弦PQ所 在的直线方程为XO髫+YoY=1.
代入髫2+y2=1得

代入式①并化简得

翮一羽十百纠’ 翮2一巍+丢=?,
即3茗j+3,,;+4yo一8=0.
故交点肘的轨迹方程为
3髫2+3y2+4,,一8=0.

(茹j+尤)茗2—2xo菇+1一Yj=o.
设P(髫l,Y1)、Q(x:,y2).则
菇1+X2 5

2xo




舅2




1一戈:

注:充分利用平面几何的性质,是减少解 析几何运算量的有效途径.

儿+y2。二赢∥1扎2 y朋:=热嘶扎= 省:+先’
Y.LPAQ=号,则

例2过椭圆c:吾2+营2=l上不同两点
A、B的切线互相垂直.证明:两切线交点M
的轨迹方程为菇2+Y2=口2+b2.

":+Y。‘一吉)(多:一百1)=o.
代入并化简得 3髫:+3磊+4yo一8=0. 故交点肘的轨迹方程为
3茗2+3,,2+4y一8=0.

证明:设M(茗。,Y。).则切点弦AB所在
的直线方程为.


等+管=L
代人椭圆C的方程并消去Y得
-y


解法2:Jtn图1,
注意到 OP=oQ,

liP=加,
么PAQ=要.
联结OM交eQ

^ 赫誓 0刀 、、泌知 一/

(?一等)2一¨?一豢),


磊一矿

+篮b2\]x2-2xox+a2(1_乳。.
b2髫l,


设a(xl,Y1)、B(x2,Y2).则

于R,则OM垂直平 分尸Q.
在RI A 且

‰2一忑’‰2一一ft2Yl


b2菇2 Y2’

‰‰=石b4x瓦iX2=

PAQ中,AR=丢PQ=艘.


在Rt△OPR中,锨2+PR2=俨,即
OR2+AR2;1.

又了XO:gt+了YoYt_1'等+警0-1'






设M(x。,Yo).则切点弦明所在的直线
方程为Xo省+YoY=1. 代人算2+Y2=1得

等+警=了fl X2+去(?一等)(卜fO。zf2、J-o
即堕学菇。石:一乌(菇。+戈:)+1-o.
n 口

利用韦达定理代人得

(髫;+),:)髫2—2xo菇+1一Y:=o.
设P(髫l,Yt)、Q(x2,Y2儿R(石3,y3).则
髫3=一
Xl

华(?一乳警+(豢+乳。.
化简、整理得髫:+Y:=口2+b2.
因此,两切线交点肘的轨迹方程为
菇2+Y2=口2+b2.

+菇2

—2

5积’
髫0

,,3

2—虿一5 一露 蜘一+ 一元

,,I+扎.

例3过点Q(一1,一1)作已知直线Z:

万方数据



中等数。学

,,=百1髫+l的平行线,交双曲线鲁一Y2=l
于点肘、Ⅳ. (1)证明:Q是线段kin的中点; (2)分别过点肘、Ⅳ作双曲线的切线Z。、 l:,证明:三条直线Z、Z,、f:交于同一点; (3)设P为直线Z上一动点,过P作双

百X3善。。一Y3Y。=1,百954戈。一Y4Y。=1. 这表明,点A、曰.臂p仕且域百Xo髫一知,,三1

上,即直线AB的方程为
百X0髫一),。y=1.

曲线的切线PA、咫,切点分别为A、B,证明: 点Q在直线仰上.
(2007,全国高中数学联赛湖北省预赛)

又y。=百X0+l,代人整理得

鲁(菇一,,)一(,,+1)=0.
显然,无论茗。取什么值(即无论P为直 线Z上哪一点),p(一I,一1)都在直线AB上. 例4如图2,设抛

证明:(1)‰:y=寺(菇一3).

代人双曲线等一y2=1,得、
3x2+6戈一25:0.






物线方程为茹2=2py (P>0),M为直线Y= 一2p上任意二点,过

设M(xl,YI)、N(x2,Y2).则髫l、髫2是方
程①的两根,有菇l+x2=一2.

k开
~.

肘引抛物线的切线,切 点分别为A、曰.
(1)求证:A、M、B



’’

于是,Yl+Y2=寺(菇l+X2—6)=一2.
因此,Q是线段bin的中点.

图2

三点的横坐标成等差数列.

(2)双曲线筹一Y2=1过点M、N的切线
方程分别为
ll:百Xl石一Yt Y。1, Z2:百X2髫一Y2Y=1.

(2)当点M(2,一2p)时,I佃I-4/面,
求此时抛物线的方程.

(3)是否存在点肘,使得点C关于直线

船的对称点D在抛物线茹2=2py(p>O)上,

其中,点C满足葡=芴+茄(0为坐标原
点)?若存在,求出所有符合题意的点肘的 坐标;若不存在,请说明理由. 证明:(1)设M(‰,Yo).则切点弦All所 在的直线方程为
XO茹=p(y+舶).

两式相力Ⅱ并将菇1+石2=一2,Yl+,,2=一2

代入得直线l:y={戈+1.这说明直线Ii、12
的交点夸直线l:y=百1石+1上,跫三直线z、
Z。、Z:交于同一点. (3)设P(髫o,yo)、A(髫3,Y3)、B(菇4,Y4).

代人抛物线茄2=2∥并消去Y得
菇2—2xo戈+2pyo=0.

则黝、PB的方程分别为
k:百X3茗一Y3Y。1, ‰:百X4石-Y4Y=1. 因为点P在两条直线上。所以。

设A(xI,Y1)、曰(戈2.,Y2).贝Ⅱ龙I+省2=2xo.

所以,A、肘、B三点的横坐标成等差数列.
解:(2)当菇o=2,Yo=一2p时,

菇l+X2=4,"2=一4p2,k=iXO=号.
由弦长公式得

万方数据

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IA8I= ̄/l+k2- ̄/(xt+茹力2二4茗l龙2
r知—。●。.
2.

=√t+昙’孵1

又I衄I=4。√10,故P,-1或P=2.
因此,所求抛物线方程为戈2=2y或茹2=4r. (3)设D(省3,Y3)..



于是,菇。+石:=堕≮塑,二。茹:=一{。

由题意得C(戈】+茹2,奶+Y2),则CD的
中点坐标为

Q(半;型警塑).
蠢、j
。’_

由点Q在直线。AB上,并注意到点

,c功-Yl:=喜竺;o
严三慧。=熹∈(10kx,静Y
『再M一茗l+戈2“一舶-二


(塑专丝,丛妄丝)也枉直线AB上j代式‰茗
=p(y+Yo)得
一。?i

L\

’o/’

扎●i髫扎,一 ,若D(菇,,Ys)在抛物线上,则,

2丽2——℃\叱i∥ 。Yu=熹=Y塑o"kxo∈(o,三).
YoxM+X‘oyu=2(柝(吲,yME(0,丢)).

霹2-2阿3=2xo菇扎

因此,菇3=0或菇3三2xo,且旷。

砌’0)或.D(2菇韵.
当霉o=0时,确.:七氇2;音2xo=’0,,此时,点 肘(0,一2p)符合题意? 当菇o≠0时,.因为?茹c=菇l+奢2.釜2‰,所

.以,舅j』菇弘此’时:、直线、c『D‘平行于步轴,但

‰_.等J≠o,与AB‘上囱茅盾.。因此,不存在
符合题意的点膨.


:综上所述,仅存在一点M(0,。一。却)符合
。…

交由式②知名肼e(,0:,鱼y01,l斯∈(o,丢).

题意.

例5如图3,设

P(≯。,如)为_定点,. 且劫>0,Yo≥0,xoYo>、 1.过P的‘葫直线与曲’。
线C:xy=l(x>O)交
于.A 0并t f Y1)j-
图3

,,。zM+z。斯观(枷∈(’o,去),五∈(町吾)):

B(髫:,儿).求曲线C

在A、B两点处的切线 交点舾的轨迹方程. 万方数据

10

中等数学


PM、PⅣ,切枣为M、N?
达式。
. 。

当m=6时,存在.
口l=a2=…=am=2,口m+l=16,

(1)设I MNl_g(t),试求函数g(f)的表 (2)是否存在t,使得M,N与A(O,1)三 点共线?若存在,求出t的值;若不存在,说 明理由. i(3)在(1)韵条件下,若对任意的正整数
。,

对所有的n满足条件,从而,m的最大值为6.

注:因为厂“菇)=1…专,所以,
t丑

n,在区间【2 7//,中i64】内总存在珊+1个实数
口l,a2,_,口。,‰+1,使得不等式 t。g(口I)+g(口2)+…+91:口m)<g'(口。+1) 成立,求m的最大值. 。解:.(1)过曲线y=茹+t,(t>o)外一点 P(1,0)的切点弦MN的方程为
Y22xl+2£.

。雨引_再,
‘Xt

菇I+一



.t

即茗;+2拓l—t=0.

同理。掰;+2始2二l=0.
.帕显然,算lp戈2是方程矿+2执一t=Q的两 个不同根.以下同(1).
1’

≈、、

.’r“



第(2)问也可由‰=‰求得z=百1.
圆锥曲线的切线是解析几何最丰富的内 容之一,求常见曲线的切点弦方程通常利用

代入夕兰菇+季(t’o),得’
;。棼t孙一_t-.0_

设而不求的方法.显然澈相应盥线上一点的
切线方程与切点弦方程?致,可看作两切点
重合时切点弦的极端情形c

,,挚乎蓦,鼍t锄’暑一2t,曩々只?£:¨

+故g(t)√(;-:::;2+(舶+署二镌一者)2 。=43hl一兢I:2偈#5t<t。>o).
(2)当M、N与A(0,jI);点共线时,将 A(0,1)代入Y=2x-+2t,得t,三寺:

练。习题!
-.。1.设过点肘(4,:2)的圆C:X2'+y2=10
的切线MA、MB与圆切于赢月\曰.求切点J_._:、
召间韵劣弧长..
o,。。;

o(提毋:弦衄所在直线的方程为2墨+), 亍罩,晖心捌雌真缋的距离为43,得么Ao日=
;.

(3)易知g(t)在区商仁j二+.等j l是增
函数,财
-^

90。,切点A、B间的劣弧长是互罂.、)
.■2.在平面直角蟹标系xOy-中,椭圆

ms(2)≤g(口t净烈a2)+..~吐a。)

<g(‰J).≤g(哆i64)
怼亍切正整零p恒成章,即

争+寺=l(a>6。>o)的焦距为2c蚪0为

毋<√丢【I n+等)2+(堡+鬈》】
对上切芷整数n恒成立.
I。1卜

圆心、口为半径作圆M.若过P(譬,o)作圆
肘的两条切线相互垂直,求椭圆的离心率.

,、固为n:+等≥16,。所以,¨j一‘?’,

(提示:弦佃所在的直线方程为髫=c.
易知△OAP是等腰直角三角形.故e=旦=

,酒再可石瓢;痨. ,。霉m为正皱,警m-"【属l善≯
万方数据

cos

450=等.)

;,

3.已知圆C:戈2+Y2=r2和直线Z:髫+

2009年第3期

2y=2r,在l上有一点肘,过肘作圆的两条

切线MA、MB.求切点弦曲的中点Ⅳ的轨迹
方程.


由菇;一y;:l得(互-击)2一y2=吾为
重心G所在的曲线方程.)

!。

(提示:易知N即为直线OM与船的交 点.设肘(髫。,Y。).则切点弦加所在的直线方
程为戈。菇+YoY=r2,2侧:,,=y,o戈.解方程组得
M Yo代人 石。=≯誓≥,Y6=≯车≥.将~(并o'yo)Y6 2≯刀,2≯刀。椅L并o'1℃八
石o

5.如图5,抛物

线Y=茹2的动弦仙
所在直线与圆髫2+Y2

=1相切,分别过点
A、B的抛物线的两

’0 并一 纸


条切线交于点M.求 点肘的轨迹方程. !(提示:切点弦

直线l韵方程并整理得2戈2+2,,2一瑞一2ry



:o(去掉o≤菇≤等这-二段).)
4.如图4,设 点P(髫。,Yo.)在直
线髫=m(Y≠ ±ra,,0<m<1)
l 1“

图5

AB所在的直线方程为Y+YM=2菇舻.易知
‘yj

上,过P作双曲
线髫2一y2=1的 两条切线PA、

N. 黧 炉。I 心B 一『-汐‘ 心
,’

~d

2了{毪2,,,,2肼一4菇乙=,?将,,+





抽=2菇∥代入,,=并2,得戈2-2M+Yu=0.
所以,A=4菇j;f一4抽,产靠一4斯一1>0,且 ,,乙≥1.解得斯>2+朽或斯≤一1.故点M
的轨迹方程为Y2—4x2=1(Y≤一1或Y>


图4

PB,切点为A、B,

2+朽).)
6.已知过点(0,1)的直线Z与曲线C:

定点M(i1,o).‘。
(1)求证:A、M、B三点共线;

y=髫+专(髫>o)交于两个不同点M、』)【?求
曲线C在点M、N处的切线的交点的轨迹..

(2007,全国高中数学联赛)

(提示:(1)切点弦AB所在的直线方程
为髫。茹一7Yoy=1.由石。=,n,。贝0‰:,眦一%,,

(提示:弦MN所在的直线方程为Z: (‰一二2Xo)X+XOY=2.由l过点(0,1),代入 得‰=2.此时,直线l:(y。一4)x+2y=2.代

=1.将、M(i1,o)代入此直线方程检验即可.
,,l=一茗+髫1.由,,一yl=一茁+髫l 7,髫一,,=0,

入曲线C:y=菇+÷(菇>o),得(如一2)髫2—
2x+2=O.易知

得Ⅳ(鱼专丛,旦丢丛).设重心G(菇,y).则

。钆¨2副一2

A=4-8(yo-2)>■

2寿如,

x=*+i1+警),r半, }。t,孙1+u一+-"-y-小I引,。半1.

万方数据

即2<Yo<丢.故曲线C在点M、N处两切线

交点的轨迹是一条线段菇=2(2<,,<专),
除去两端点.)

常见曲线的切点弦方程
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 引用次数: 周顺钿, ZHOU Shun-dian 浙江省杭州高级中学,310003 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2009,(3) 0次

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