2017届高考数学大一轮总复习 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算课件 文_图文

第四章 平面向量、数系的扩充与复 数的引入

第一节

平面向量的概念及其线性运算

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.了解向量的实际背景;2.理解平面向量的概念,理解两个 向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4.掌握向量加法、减法的运算, 并理解其几何意义; 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量 共线的含义;6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.向量的有关概念 名称 定义

向量
零向量

方向 的量叫做向量,向量的大小叫 大小 又有______ 既有________ 模 做向量的长度 _______(或称____) 长度为零 的向量叫做零向量,其方向是_______ 任意 的,零 __________ 0 向量记作__

1 个单位的向量 单位向量 长度等于___ 平行 或______ 重合 ,则 表示两个向量的有向线段所在的直线_____ 共线 向量。 平行向量 这两个向量叫做平行向量,平行向量又叫______ 规定:0与任一向量______ 平行 相等 且方向_______ 相同 的向量 相等向量 长度______ 相等 且方向________ 相反 的向量 相反向量 长度______

2.向量的线性运算
向量 运算 定义

法则(或几何意义)

运算律

(1)交换律:a+b 求两个 加法 向量和 的运算 _______________ 平行四边形 法则 三角形法则 _____________ =_________ ; b+a (2)结合律:(a+ b)+c= _______________ a+(b+c)

向量 运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

减法

求a与b的相 反向量-b的 和的运算叫 做a与b的差

a-b=a+(-b) 三角形 法则 ___________ λ(μa)= (λμ)a; λ+ __________( μ) a = λa+μa ____________ ; λ(a+b)= ____________ λa+λb

数乘

|λ||a| ; (1)|λa|=________ (2)当λ>0时,λa的方向 求实数λ与向 相同;当 与a的方向_______ 量a的积的运 λ<0时,λα的方向与a的 算 相反 方向________ ;当λ=0 0 时,λa=____

3.向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理 a是一个非零向量,若存在一个实数 λ,使得_________ b=λa ,则向量b与非 共线 。 零向量a________ (2)性质定理 若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得________ b=λa 。

基 础 自 测
(1)0的模为0,没有方向。( × ) 解析 错误。0的方向是任意的。 (2)若a∥b,b∥c,则a∥c。( × ) 解析 错误。当b=0时,不一定有a∥c。 → → (3)AB+BA=0。( √ ) → → → → 解析 正确。AB+BA=AB-AB=0。 (4)a与λa共线,方向相同。( × ) 解析 错误。当λ>0时,方向相同。

(5)0·0=0。( × )
解析 错误。0·0=0。

[练一练]
1.若向量a与b不相等,则a与b一定( A.有不相等的模 ) B.不共线

C.不可能都是零向量

D.不可能都是单位向量

解析 若a与b都是零向量,则a=b,故选项C正确。 答案 C

→ → 2.设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB+FC =( ) → A.AD → C.BC 1→ B. AD 2 1→ D. BC 2

解析 由于 D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中点,所 1 → → 1 → → 1 → → 1 → → → → 以EB+FC=- (BA+BC)- (CA+CB)=- (BA+CA)= (AB+AC) 2 2 2 2 1 → → = ×2AD=AD,故选 A。 2 答案 A

→ → → → → OS 3.化简OP-QP+MS-MQ的结果为________ 。

解析

→ → → → → → → → → → → OP-QP+MS-MQ=(OP+PQ)+(MS-MQ)=OQ+QS=OS。

4 . (2015· 课标全国卷 Ⅱ) 设向量 a , b 不平行,向量 λa + b 与 a + 2b 平 1 行,则实数λ=________ 。 2 ?λ=t, 解析 由题意知存在常数 t∈R, 使 λa+b=t(a+2b), 得? 解之 ?1=2t,
1 得 λ= 。 2

R

热点命题

深度剖析

考点一 平面向量的有关概念

【例 1】 给出下列命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④ a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b。

②③ 。 其中真命题的序号是________

【解析】

①不正确。两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相

同。 → → → → → → ②正确。∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC。

又∵A,B,C,D 是不共线的四点,∴四边形 ABCD 为平行四边形; → → → → → 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,则AB∥DC且|AB|=|DC|,因此,AB → =DC。
③正确。∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同; 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c。

④不正确。当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到 a=b,故 |a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件。综上所述,正 确命题的序号是②③。

【规律方法】 平面向量中常用的几个结论

(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性。
(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量。解题时不要把 它与函数图像的平移混为一谈。 a a (3) 是与 a 同向的单位向量,- 是与 a 反向的单位向量。 |a| |a|

变式训练 1

设 a0 为单位向量, ①若 a 为平面内的某个向量, 则 a=|a|a0;

②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0。上述 命题中,假命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析

向量是既有大小又有方向的量, a与 |a|a0 的模相等,但方向

不一定相同,故①是假命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 的方向有两种情 况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题。综上 所述,假命题的个数是3。 答案 D

考点二 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算包括向量的加、减、数乘运算及其线性运算的几

何意义的应用,是高考考查向量的热点。常以选择题、填空题的形式出
现。考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则,向量减法的三角形法 则及向量的相等。

角度一:考查向量加法或减法的几何意义

1 .已知两个非零向量 a , b 满足 |a + b| = |a - b| ,则下面结论正确的是
( ) A.a∥b B.a⊥b

C.|a|=|b|

D.a+b=a-b

解析 解法一:(代数法)将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,

∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2。∴a·b=0。∴a⊥b。
解法二:(几何法)如图所示

→ → → → 在?ABCD 中,设AB=a,AD=b,∴AC=a+b,DB=a-b。∵|a +b|=|a-b|, ∴平行四边形两条对角线长度相等, 即平行四边形 ABCD 为矩形,∴a⊥b。 答案 B

角度二:平面向量的线性运算 → 1 → → → → 2.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若AO= (AB+AC),则AB与AC的 2 夹角为________ 。 90° → 1 → → 解析 由AO= (AB+AC)可得 O 为 BC 的中点,则 BC 为圆 O 的直径, 2

→ → 即∠BAC=90° ,故AB与AC的夹角为 90° 。

3.(2015·深圳调研)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC
的中点,则=( )

2→ 1 → A. AB+ AD 3 2 5→ 1 → C. AB+ AD 6 3

1→ 2→ B. AB+ AD 2 3 1→ 5 → D. AB+ AD 3 6

解析

2→ → → → → → 1→ → → → → BC=BA+AD+DC=- AB+AD, AE=AB+BE=AB+ BC= 3 2

→ 1? → 2 → ? 2 → 1 → AB+ ?AD-3AB?= AB+ AD。 2? 2 ? 3 答案 A

4.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD → → → → 所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( → A.OM → C.3OM
解析

)

→ B.2OM → D.4OM
→ → 因为 M 是 AC 和 BD 的中点, 由平行四边形法则, 得OA+OC=

→ → → → → → → → → 2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+OD=4OM。故选 D。 答案 D

角度三:与三角形或平行四边形相联系求参数 → → → → 5.(2015· 北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC。若 1 1 - → → → 2 6 MN=xAB+yAC,则 x=________ ,y=________ 。
→ → → 1→ 1→ 1→ 1 → → 1→ 1 解析 如图, MN=MC+CN= AC- BC= AC- (AC-AB)= AB- 3 2 3 2 2 6 → AC, 1 1 ∴x= ,y=- 。 2 6

→ 6.(2016· 青岛模拟)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且BC= → → → → 3CD,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则 x 的取值范围是(
? 1? A.?0,2? ? ? ? ? 1 ? C.?-2,0? ?

)
? 1? B.?0,3? ? ? ? ? 1 ? D.?-3,0? ?

解析

→ → → → → → → → → → 设 CO= yBC,∵AO=AC+CO =AC+ yBC=AC+ y(AC- AB)

→ → → → =-yAB+(1+y)AC, ∵BC=3CD, 点 O 在线段 CD 上(与点 C, D 不重合),
? ? 1 ? 1? → → → ? ? ? ∴y∈ 0,3 。∵AO=xAB+(1-x)AC,∴x∈ -3,0?。 ? ? ? ?

答案 D

【规律方法】 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合平行四边形法
则。 (2)求已知向量的和。一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差

用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则。
(3)与三角形、平行四边形联系,研究向量的关系。画出图形,找出图 中的相等向量、共线向量,将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形

中求解。

考点三

共线向量定理的应用

【例 2】 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共 线;
【解】 → → → 证明:∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

→ → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) → =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB。 → → ∴AB、BD共线。又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线。

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线。
【解】 ∵ka+b 和 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb。∴(k-λ)a=(λk-1)b。 ∵a、b 是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0。∴k=± 1。

【规律方法】 (1)共线向量定理及其应用 ①可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的 值。 ②若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合 待定系数法应用非常广泛。
(2)证明三点共线的方法 → → 若AB=λAC,则 A、B、C 三点共线。

变式训练 2

→ → → → → 已知 a,b 不共线,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE

=e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数 t 使 C,D,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数 t 的值;若不存在,请说明理由。 → → 解 由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E
→ → 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb= -3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b。 ?t-3+3k=0, 因为 a,b 不共线,所以有? ?t-2k=0, 6 解之得 t= 。 5 6 故存在实数 t= 使 C,D,E 三点在一条直线上。 5

S

思想方法

感悟提升

⊙3 个等价转化——与三点共线有关的等价转化 → → → → → A、P、B 三点共线?AP=λAB(λ≠0)?OP=(1-t)OA+tOB(O 为平面内 → → → 异于 A、P、B 的任一点,t∈R)?OP=xOA+yOB(O 为平面内异于 A、P、 B 的任一点,x∈R,y∈R,x+y=1)。

⊙4个注意点——向量线性运算应注意的问题
(1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点。 (2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能 有无数个。 (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三 点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线。 (4)利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线不重合。


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