人教版高中数学必修一1.3.1函数的单调性和最大小值11ppt课件_图文

------函数的单调性 一、引入课题 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律: y y y 1 -1 1 -1 x -1 1 1 x 1 -1 1 x -1 -1 知识探究(一) 考察下列两个函数: (1 ) f (x) = x y ; (2)f (x) = x2 5 y o x -5 o -5 5 x 思考1:说说随着X的增大,图像从左到右的升降情况? x f(x) … -4 … 16 -3 -2 -1 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 4 16 … … y y?x 2 f (x1 ) x1 O x y y?x 2 f (x1 ) x1 O x y y?x 2 f (x1 ) x1 O x y y?x 2 f (x1 ) x 1O x y y?x 2 f (x1 ) O x1 x y y?x 2 f (x1 ) O x1 x y y?x 2 f (x1 ) O x1 x y y?x 2 f (x1 ) O x1 x y y?x 2 f (x1 ) O x1 x 函数单调性的概念: 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1, x2,当 x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1 . y y=f(x) f(x1) f(x2) x 0 x1 图1 x2 2.减函数 一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2 ,当x1<x2时,都 有f(x1)>f(x2) ,那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2. y y=f(x) f(x1) 0 x1 图2 f(x2) x2 x 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 是函数的局部性质; ②必须是对于区间I内的任意两个自变量x1,x2; ③函数的单调性是相对某个区间而言,不能直接说 某函数是增函数或减函数。 下列说法是否正确?请画图说明理由。 (1)如果对于区间(0,+∞)上的任意x有f(x)>f(0),则 函数在区间(0,+∞)上单调递增。 (2)对于区间(a,b)上得某3个自变量的值 x1 , x2 , x3 ,当 时, a ? x1 ? x2 ? x3 ? b 有 f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f (b) 则函数f(x)在区间(a,b)上单调递增。 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数,那么 就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间。 (二)典型例题 例1 如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据 图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x) 是增函数还是减函数. y f ( x) -2 -5 x 1 图6 3 5 [例1] 证明函数 f ( x ) ? 2 x ? 1在区间 ( ? ?, ? ?)上是增函数。 用定义证明函数单调性的步骤是: (1)取值 即取 即求 x1 , x2 是该区间内的任意两个值且 x1 < x 2 (2)作差变形 ,通过因式分解、配方、有理化等方法 f(x1 ) - f(x 2) (3)定号 即根据给定的区间和 的符号 f(x1 ) - f(x 2) 的符号的确定 x2 - x1 根据单调性的定义得结论 (4)判断 练习 2.证明函数f ( x ) ? 3 x ? 2在R上是增函数 . 证明: 设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-( 3x2+2) =3(x1-x2) 由x1<x2,得 x1-x2<0 ? f(x1)-f(x2)<0 ? f(x1)< f(x2) ?函数 f ( x ) ? 3 x ? 2在R上是增函数 . 练习:判断函数 f ( x) ? x ? 2x 的单调区间。 2 y f ( x) ? x 2 ? 2 x 1 单调递减区间: ( ? ?, 1] 单调递增区间: o 2 x [1 ,? ?) 三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定:函数 的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助 计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一 般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。 四、作业布置 书面作业:课本P39 A组:第2题 2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数. 例2 物理学中的玻意定律 (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增 大.试用函数的单调性证明之. k p= V 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数y=f (x)的定义域为I,如果对于定义域 I 内的某个区间D内 的任意两个自变量x1, x2 ,当x1< x2 时,都有f(x1) < f(x2),那么就说f(x)在 区间D上是增函数(increasing function). 3.证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: ① 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ② 作差f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 例 2.

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