江西省抚州市临川一中2014-2015学年高一(下)期末数学试卷


江西省抚州市临川一中 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案) 1.若集合 A={x|x ﹣7x<0,x∈N },则 B={y| ∈N ,y∈A}中元素的个数为( A. 3 个 2.下列结论正确的是( A. 当 C. 的最小值为 2 B. 4 个 ) B. 当 D. 当 x>0 时, 无最大值 C. 1 个
2 * *



D. 2 个

3.在 和 8 之间插入 3 个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这 3 个数的积为( A. 8 B. ±8 C. 16 ) D. D. ±16



4.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( A. B. C.

5.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则 cos∠DAC=( A. B. C. D.



6.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

7.已知 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为(



A. 2

B.

C. 2

D. 2

8.已知 m,n,l 是不同的直线,α,β 是不同的平面,以下命题正确的是( ) ①若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β; ②若 m?α,n?β,α∥β,l⊥m,则 l⊥n; ③若 m⊥α,n⊥β,α∥β,则 m∥n; ④若 α⊥β,m∥α,n∥β,则 m⊥n. A. ②③ B. ③ C. ②④ D. ③④
2 2

9.已知直线 l:x﹣ky﹣5=0 与圆 O:x +y =10 交于 A,B 两点且 A. 2 B. ±2 C. ±

=0,则 k=( D.



10.设等差数列{an}满足

=1,公差 d∈ )

(﹣1, 0) , 若当且仅当 n=9 时, 数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, 则首项 a1 的取值范围是 ( A. (π, ) B. [π, ] C. [ , ] D. ( , )

11.已知 x>0,y>0,2x+y=1,若 4x +y + A. m< B. m>

2

2

﹣m<0 恒成立,则 m 的取值范围是( C. m≤ D. m>0



12.若函数 f(x)在给定区间 M 上,存在正数 t,使得对于任意 x∈M,有 x+t∈M,且 f(x+t)≥f(x) , 则称 f(x)为 M 上的 t 级类增函数,则下列命题正确的是( ) A. 函数 f(x)= +x 是(1,+∞)上的 1 级类增函数 B. 函数 f(x)=|log2(x﹣1)|是(1,+∞)上的 1 级类增函数 2 C. 若函数 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为[1,+∞) D. 若函数 f(x)=sinx+ax 为[ ,+∞)上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为[2,+∞]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知球 O 是棱长为 6 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积 为 . 14.在圆 C: (x﹣2) +(y﹣2) =8 内,过点 P(1,0)的最长的弦为 AB,最短的弦为 DE,则四 边形 ADBE 的面积为 .
2 2

15.已知 an=2

n﹣2

,an =( )

2

,cn=

,求数列{cn}前 n 项的和 Sn=



16.已知数列{an}的通项公式 an=﹣n +13n﹣ 时,n 的值为 .

2

.当 a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+anan+1an+2 取得最大值

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=4 x+1

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,a=2,若对任意的 x∈R 不等式 f(x)≤f (A)恒成立,求△ ABC 面积的最大值. 18.已知定圆 C:x +(y﹣3) =4,定直线 m;x+3y+6=0,过 A(﹣1,0)的一条动直线 l 与直线 相交于 N,与圆 C 相交于 P,Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明:l 过圆心 C; (2)当|PQ|=2 时,求直线 l 的方程. 19.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=3S2+2,a2n=2an, (1)求等差数列{an}的通项公式 an. (2)令 bn= ,数列{an}的前 n 项和为 Tn.证明:对任意 n∈N ,都有
* 2 2

≤Tn< .

20.已知 E 是矩形 ABCD(如图 1)边 CD 上的一点,现沿 AE 将△ DAE 折起至△ D1AE(如图 2) , 并且平面 D1AE⊥平面 ABCE,图 3 为四棱锥 D1﹣ABCE 的主视图与左视

图. (1)求证:直线 BE⊥平面 D1AE; (2)求点 A 到平面 D1BC 的距离. 21.已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 L:mx﹣y+1﹣m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 L 与圆 C 总有两个不同交点; (2)设 L 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程;
2 2

(3)若定点 P(1,1)分弦 AB 所得向量满足

=

,求此时直线 L 的方程.

22.对于函数 y=f(x)与常数 a,b,若 f(2x)=af(x)+b 恒成立,则称(a,b)为函数 f(x)的 一个“P 数对”;设函数 f(x)的定义域为 R ,且 f(1)=3. (Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9,求常数 a,b 的值; n * (Ⅱ)若(1,1)是 f(x)的一个“P 数对”,求 f(2 ) (n∈N ) ; (Ⅲ)若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,且当 x∈[1,2)时 f(x)=k﹣|2x﹣3|,求 k 的值及 f (x)在区间[1,2 ) (n∈N )上的最大值与最小值.
n * +

江西省抚州市临川一中 2014-2015 学年高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答案) 1.若集合 A={x|x ﹣7x<0,x∈N },则 B={y| ∈N ,y∈A}中元素的个数为( A. 3 个 B. 4 个 C. 1 个
2 * *



D. 2 个

考点:元素与集合关系的判断. 专题:计算题. 分析:此题实际上是求 A∩B 中元素的个数.解一元二次不等式,求出集合 A,用列举法表示 B,利 用两个集合的交集的定义求出这两个集合的交集,结论可得. * 解答: 解:A={x|0<x<7,x∈N }={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3,6}, ∵A∩B=B, ∴集合 A={x|x ﹣7x<0,x∈N },则 B={y| ∈N ,y∈A}中元素的个数为 4 个. 故选:B. 点评:本题考查一元二次不等式的解法,用列举法表示集合,求两个集合的交集的方法. 2.下列结论正确的是( A. 当 C. 的最小值为 2 ) B. 当 D. 当 x>0 时, 无最大值
2 * *

考点:基本不等式. 专题:规律型. 分析:对于 A,当 0<x<1 时,lgx<0, 取得最大值;对于 C, 当 x>0 时, ;对于 B, 在(0,2]上单调增,所以 x=2 时, 的最小值为 ;对于 D,

在[2,+∞)上单调增,所以 x=2 时,

,当且仅当 x=1 时,等号成立,故可判断. ,结论不成立; 取得最大值,故 B 不成立; 的最小值为 ,故 C 错误;

解答: 解:对于 A,当 0<x<1 时,lgx<0, 对于 B, 对于 C, 在(0,2]上单调增,所以 x=2 时, 在[2,+∞)上单调增,所以 x=2 时,

对于 D,当 x>0 时, 故选 D.

,当且仅当 x=1 时,等号成立,故 D 成立

点评:本题考查的重点是基本不等式的运用,解题的关键是明确基本不等式的使用条件,属于基础 题.

3.在 和 8 之间插入 3 个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这 3 个数的积为( A. 8 B. ±8 C. 16 D. ±16



考点:等比数列的通项公式. 专题:计算题. 分析:设这个等比数列为{an},根据等比中项的性质可知 a2?a4=a1?a5=a 3 进而求得 a3,进而根据 3 a2a3a4=a 3,得到答案. 解答: 解:设这个等比数列为{an},依题意可知 a1= ,a5=8,则插入的 3 个数依次为 a2,a3,a4, ∴a2?a4=a1?a5=a 3=4 ∴a3=2 3 ∴a2a3a4=a 3=8 故选 A. 点评:本题主要考查了等比数列的性质.主要是利用等比中项的性质来解决. 4.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为( A. B. C. ) D.
2 2

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题:空间位置关系与距离. 分析:半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则圆锥的母线长为 R,底面半径 r= ,求出圆锥的高后,代 入圆锥体积公式可得答案. 解答: 解:半径为 R 的半圆卷成一个圆锥, 则圆锥的母线长为 R,

设圆锥的底面半径为 r, 则 2πr=πR, 即 r= ,

∴圆锥的高 h= ∴圆锥的体积 V=

=

, = ,

故选:C 点评:本题考查旋转体,即圆锥的体积,考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识. 5.在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则 cos∠DAC=( A. B. C. D. )

考点:余弦定理的应用;三角形中的几何计算. 专题:解三角形. 分析:画出图形求出△ ACD 的三个边长,利用余弦定理求解即可. 解答: 解:如图:直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD, 不妨令 AB=2,则 BC=CD=1,作 ED⊥AB 于 E,可得 AD= , AC= = .

在△ ACD 中,由余弦定理可得: coscos∠DAC= 故选:B. = = .

点评:本题考查三角形的解法,余弦定理的应用,画出图形是解题的关键. 6.已知某几何体的三视图如图所示,其中,正(主)视图,侧(左)视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:图表型. 分析:先由三视图还原成原来的几何体,再根据三视图中的长度关系,找到几何体中的长度关系, 进而可以求几何体的体积. 解答: 解:由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥,下部分是半球, 所以根据三视图中的数据可得: V= × = 故选 C. × ,

点评:本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图 与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积与体积, 本题求的是组合体的体积,一般组合体的体积要分部分来求.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长 对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”.三视图是高考的新增考点,不时出现在高考试题 中,应予以重视.

7.已知 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为(



A. 2

B.

C. 2

D. 2

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,根据 z 的几何意义,利用数形结合即可得到最大值. 解答: 解:不等式组对应的平面区域如图: 由 z=3x+y 得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z, 则由图象可知当直线 y=﹣3x+z 好圆在第一象限相切时直线 y=﹣3x+z 的截距最 大, 此时 z 最大, 则圆心到直线的距离 d= =2,

即|a|=2 故 a=2 故选:A

, 或 a=﹣2

, (舍) ,

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据 z 的几何意义,利用直线和圆相切的等价条件是解决本 题的关键. 8.已知 m,n,l 是不同的直线,α,β 是不同的平面,以下命题正确的是( ) ①若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β; ②若 m?α,n?β,α∥β,l⊥m,则 l⊥n; ③若 m⊥α,n⊥β,α∥β,则 m∥n; ④若 α⊥β,m∥α,n∥β,则 m⊥n. A. ②③ B. ③ C. ②④ D. ③④ 考点:命题的真假判断与应用. 专题:空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: ①由已知利用面面平行的判定定理可得:α∥β 或相交,即可判断出正误; ②利用面面平行的性质、线线垂直的性质可得:l 与 n 不一定垂直,即可判断出正误; ③利用线面垂直的性质、面面平行的性质可得:m∥n,即可判断出正误; ④由已知可得 m∥n、相交或异面直线,即可判断出正误. 解答: 解:①若 m∥n,m?α,n?β,不满足平面平行的判定定理,因此 α∥β 或相交,不正确; ②若 m?α,n?β,α∥β,l⊥m,若 l?m,则可能 l∥n,因此不正确; ③若 m⊥α,α∥β,则 m⊥β,又 n⊥β,∴m∥n,正确; ④若 α⊥β,m∥α,n∥β,则 m∥n、相交或异面直线,因此不正确. 综上只有:③正确. 故选:③. 点评:本题考查了空间线线、线面、面面位置关系及其判定、简易逻辑的判定方法,考查了推理能 力,属于中档题.
2 2

9.已知直线 l:x﹣ky﹣5=0 与圆 O:x +y =10 交于 A,B 两点且 A. 2 B. ±2 C. ±

=0,则 k=( D.



考点:平面向量数量积的运算;直线与圆的位置关系. 专题:平面向量及应用.

分析:由题意可得弦长 AB 对的圆心角等于 90°,故弦心距等于半径的 离公式求得 k 的值. 解答: 解:由题意可得弦长 AB 对的圆心角等于 90°, 故弦心距等于半径的 故有 = 倍,等于 ,求得 k=±2, = ,

倍,再利用点到直线的距

故选:B. 点评:本题主要考查直线和圆相交的性质,弦长公式、点到直线的距离公式的应用,属于基础题.

10.设等差数列{an}满足

=1,公差 d∈ )

(﹣1, 0) , 若当且仅当 n=9 时, 数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, 则首项 a1 的取值范围是 ( A. (π, ) B. [π, ] C. [ , ] D. ( , )

考点:数列的应用. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差 d 的范围求 出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取值范围. 解答: 解:∵

=

=

=

=

=

=﹣

=﹣sin(4d) , ∴sin(4d)=﹣1, ∵d∈(﹣1,0) ,∴4d∈(﹣4,0) , ∴4d=﹣ ∵Sn=na1+ ∴其对称轴方程为:n= ,d=﹣ , = , =﹣ + ,

有题意可知当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, ∴ < < ,解得 π<a1< ,

故选:A. 点评:本题考查等差数列的通项公式,考查三角函数的有关公式,考查等差数列的前 n 项和,训练 二次函数取得最值得条件,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 11.已知 x>0,y>0,2x+y=1,若 4x +y + A. m< B. m>
2 2

﹣m<0 恒成立,则 m 的取值范围是( C. m≤ D. m>0



考点:函数恒成立问题;基本不等式. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:题目转化为求 4x +y + 的最大值问题,由题意和基本不等式以及二次函数的知识可得. 2 2 2 2 解答: 解:要使 4x +y + ﹣m<0 恒成立,只需 m>4x +y + 恒成立, ∵x>0,y>0,2x+y=1,∴1=2x+y≥2 ∵4x +y + ∴4x +y + ∴m> 故选:B 点评:本题考查函数恒成立问题,涉及基本不等式和配方法以及二次函数的最值,属中档题. 12.若函数 f(x)在给定区间 M 上,存在正数 t,使得对于任意 x∈M,有 x+t∈M,且 f(x+t)≥f(x) , 则称 f(x)为 M 上的 t 级类增函数,则下列命题正确的是( ) A. 函数 f(x)= +x 是(1,+∞)上的 1 级类增函数 B. 函数 f(x)=|log2(x﹣1)|是(1,+∞)上的 1 级类增函数 2 C. 若函数 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为[1,+∞) D. 若函数 f(x)=sinx+ax 为[ ,+∞)上的 级类增函数,则实数 a 的最小值为[2,+∞]
2 2 2 2 2 2

,∴0< =1﹣4xy+

≤ =﹣4(

, ﹣ )+
2

=(2x+y) ﹣4xy+ 的最大值为 ,

2



考点:抽象函数及其应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: A 中,f(x+1)﹣f(x)= ≥0 在(1,+∞)上不成立;

B 中,f(x+1)﹣f(x)=|log2x|﹣|log2(x﹣1)|≥0 在(1,+∞)上不恒成立; C.故运用参数分离,求出最大值,只要 a 不小于最大值即可; 2 D.由 f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数,能导出实数 t 的取值范围为[1,+∞) . 解答: 解:A.∵f(x)= +x, ∴f(x+1)﹣f(x)= ﹣ ﹣x= ≥0 在(1,+∞)上不成立,故 A 不正确;

B.∵f(x)=|log2(x﹣1)|, ∴f(x+1)﹣f(x)=|log2x|﹣|log2(x﹣1)|≥0 在(1,+∞)上不成立,故 B 不正确; 2 C∵f(x)=x ﹣3x 为[1,+∞)上的 t 级类增函数, 2 2 ∴(x+t) ﹣3(x+t)≥x ﹣3x, 2 ∴2tx+t ﹣3t≥0,t≥3﹣2x, 由于 x∈[1,+∞) ,则 3﹣2x≤1, 故实数 t 的取值范围为[1,+∞) ,∴C 正确. D.f(x)=sinx+ax 为[ ∴sin(x+ sinxcos ∴ 当 x= )+a(x+ +cosxsin ,+∞)上的 )≥sinx+ax, a≥sinx+ax, 级类增函数,

+ax+

cosx+ 时,

a≥ sinx, a≥ ,a≥ ,∴则实数 a 的最小值为 ,∴D 不正确;

故选:C 点评:本题考查命题的真假判断,考查新定义,同时考查函数的性质及应用.解题时要认真审题, 仔细解答,注意合理地进行等价转化, 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知球 O 是棱长为 6 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积 为 6π . 考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:根据正方体和球的结构特征,判断出平面 ACD1 是正三角形,求出它的边长,再通过图求出 它的内切圆的半径,最后求出内切圆的面积. 解答: 解:根据题意知,平面 ACD1 是边长为 6 的正三角形,且球与以点 D 为公共点的三个面 的切点恰为三角形 ACD1 三边的中点 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,

则由图得,△ ACD1 内切圆的半径是 6× 则所求的截面圆的面积是 6π. 故答案为:6π.

×tan30°=



点评:本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征,关键是想象出截面图的形状,考查了空间 想象能力,数形结合的思想. 14.在圆 C: (x﹣2) +(y﹣2) =8 内,过点 P(1,0)的最长的弦为 AB,最短的弦为 DE,则四 边形 ADBE 的面积为 4 . 考点:圆的切线方程. 专题:直线与圆. 分析:由圆的知识可知过(1,0)的最长弦为直径,最短弦为过(1,0)且垂直于该直径的弦,然 后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可. 2 2 解答: 解:圆的标准方程为(x﹣2) +(y﹣2) =8, 由题意得最长的弦|AB|=4 , 圆心(2,2) ,圆心与点(1,0)的距离 d= = , 根据勾股定理得最短的弦|DE|=2 四边形 ABCD 的面积 S= |AB|?|DE|= ×4 =2 ×2 =4 =2 , ,且 AB⊥DE,
2 2

故答案为:4 . 点评:本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力,掌握对角线垂直的四边形的面积计算方 法为对角线乘积的一半是解决问题的关键,属中档题.

15.已知 an=2

n﹣2

,an =( )

2

,cn=

,求数列{cn}前 n 项的和 Sn=



考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过 an =( ) 相减法计算即得结论. 解答: 解:∵an=2 ∴log2an =log2( )
2 n﹣2 2

两边取对数化简可知 bn=﹣2(n﹣2) ,进而 cn=

,利用错位

>0,an =( ) ,

2



化简得:bn=﹣2(n﹣2) , ∴cn= = , ], +(n﹣2)? ], ],

∴Sn=﹣2[﹣1? Sn=﹣2[﹣1? 两式相减得:

+0+1? +2? +0+1? +2?

+…+(n﹣2)? +…+(n﹣3)? + + + +…+

Sn=﹣2[﹣2+(

)﹣(n﹣2)?

∴Sn=﹣4[﹣2+

﹣(n﹣2)?

]

=﹣4[﹣2+2﹣ = , .

﹣(n﹣2)?

]

故答案为:

点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,涉及对数的性质等基础知识,利用错 位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
2

16.已知数列{an}的通项公式 an=﹣n +13n﹣ 时,n 的值为 9 .

.当 a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+anan+1an+2 取得最大值

考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:通过配方可知该数列当从第 4 项至第 9 项为正数、其余项为负数,进而计算可得结论. 解答: 解:∵an=﹣n +13n﹣ ∴an>0,等价于 <n< ,
2

=﹣(n﹣

) +9,

2

∴当从第 4 项至第 9 项为正数,其余项为负数, ∴当 n>11 时,anan+1an+2 恒小于 0, 又∵a9a10a11>0>a8a9a10, ∴a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+anan+1an+2 取得最大值时 n=9, 故答案为:9. 点评:本题考查数列的前 n 项的若干项乘积之和取最大值时项数 n 的求法,解题时要认真审题,注 意数列中各项符号的合理运用,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f(x)=4 x+1

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,a=2,若对任意的 x∈R 不等式 f(x)≤f (A)恒成立,求△ ABC 面积的最大值. 考点:三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题:三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=4sin(2x+ 2k ≤2x+ ≤2k = 解得函数 f(x)的单调增区间. +2kπ,k∈Z 结合 A 的范围,解得 A 的值,由余弦定理可解得 bc 的最大 )﹣1,由

(Ⅱ)由题意得 2A+

值,由三角形面积公式即可求得△ ABC 面积的最大值. 解答: (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ) = sin2x+cos2x﹣2sin x =2 sin2x+2cos2x﹣1 =4sin(2x+ 由 2k )﹣1 ≤2x+ ≤2k 解得 kπ﹣ ≤x≤kπ ,k∈Z ],k∈Z = +2kπ,k∈Z 及 A∈(0,π)
2

所以函数 f(x)的单调增区间为:[kπ﹣

,kπ

(Ⅱ)由题意得当 x=A 时,f(x)取得最大值,则 2A+ 解得 A= ,S△ ABC=
2 2 2


2

由余弦定理得 4=b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣ 即 bc 所以当 b=c 时,△ ABC 面积的最大值=

bc

=2+



点评:本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,余弦定理,三角形面积公式,正弦函数的图象 和性质,考查了基本不等式的应用,属于基本知识的考查. 18.已知定圆 C:x +(y﹣3) =4,定直线 m;x+3y+6=0,过 A(﹣1,0)的一条动直线 l 与直线 相交于 N,与圆 C 相交于 P,Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明:l 过圆心 C; (2)当|PQ|=2 时,求直线 l 的方程. 考点:直线和圆的方程的应用. 专题:直线与圆. 分析: (1)运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得 l 的斜率,可得直线 l 的方程,联立直 线 m 的方程,可得交点 N,代入圆心,可得直线 l 过圆心; (2)由|PQ|=2 得,圆心 C 到直线 l 的距离 d=1,设直线 l 的方程为 x﹣ny+1=0,求得 n 的值,可 得直线 l 的方程. 解答: 解: (1)因为 l 与 m 垂直,直线 m:x+3y+6=0 的斜率为﹣ , 所以直线 l 的斜率为 3, 所以 l 的方程为 y﹣0=3(x+1) ,即 3x﹣y+3=0.
2 2

联立

,解得



即有 N(﹣ ,﹣ ) , 代入圆心(0,3) ,有 0﹣3+3=0 成立, 所以直线 l 过圆心 C(0,3) . (2)由|PQ|=2 得,圆心 C 到直线 l 的距离 d=1, 设直线 l 的方程为 x﹣ny+1=0,则由 d= =1.

解得 n=0,或 n= , 所以直线 l 的方程为 x+1=0 或 4x﹣3y+4=0. 点评:本题主要考查两条直线垂直的性质,点到直线的距离公式,以及直线和圆相交的弦长公式, 属于中档题. 19.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=3S2+2,a2n=2an, (1)求等差数列{an}的通项公式 an. (2)令 bn= ,数列{an}的前 n 项和为 Tn.证明:对任意 n∈N ,都有
*

≤Tn< .

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列.

分析: (1)通过 S4=3S2+2、a2n=2an 计算即可; (2)通过分离分母,并项相加即得结论. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则由 S4=3S2+2、a2n=2an,得 ,

解得

,所以



(2)因为



所以





=
*



因为 n≥1,n∈N ,所以



点评:本题考查求数列的通项及前 n 项和,分离分母且并项相加是解决本题的关键,注意解题方法 的积累,属于中档题. 20.已知 E 是矩形 ABCD(如图 1)边 CD 上的一点,现沿 AE 将△ DAE 折起至△ D1AE(如图 2) , 并且平面 D1AE⊥平面 ABCE,图 3 为四棱锥 D1﹣ABCE 的主视图与左视

图. (1)求证:直线 BE⊥平面 D1AE; (2)求点 A 到平面 D1BC 的距离. 考点:点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由主视图和左视图易知:AD=DE=EC=BC=1,证明 BE⊥AE,利用平面 D1AE⊥平面 ABCE,证明直线 BE⊥平面 D1AE; (2)利用 ,求点 A 到平面 D1BC 的距离.

解答: (1)证明:由主视图和左视图易知:AD=DE=EC=BC=1 ∴ 2 2 2 ∴AE +BE =AB ,

?BE⊥平面 D1AE…(5 分) (2)解:分别取 AE,BC 中点 M,N ∵D1A=D1E=1, ?D1M⊥平面 ABCE,

?BC⊥平面 D1MN,

∴BC⊥D1N. Rt△ D1MN 中, 设 A 到平面 D1BC 的距离为 d, ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ …(12 分) , , , , ,∴

点评:本题考查平面与平面垂直的性质,考查线面垂直的判断,考查点面距离的计算,正确利用线 面垂直的判定是关键. 21.已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 L:mx﹣y+1﹣m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 L 与圆 C 总有两个不同交点; (2)设 L 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (3)若定点 P(1,1)分弦 AB 所得向量满足 = ,求此时直线 L 的方程.
2 2

考点:轨迹方程;直线和圆的方程的应用. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (1)直线 L 过定点 P(1,1)在圆内,即可得出结论; (2)分类讨论,利用 CM⊥MP,可求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (3)利用 = ,确定 A,B 横坐标之间的关系,直线与圆联解,利用韦达定理,即可得出结论.

解答: (1)证明:由于直线 L 的方程是 mx﹣y+1﹣m=0,即 y﹣1=m(x﹣1) ,经过定点 P(1,1) 在圆内, ∴对 m∈R,直线 L 与圆 C 总有两个不同交点; (2)解:当 M 不与 P 重合时,连接 CM、CP,则 CM⊥MP, 2 2 2 2 2 2 设 M(x,y) ,则 x +(y﹣1) +(x﹣1) +(y﹣1) =1,化简得:x +y ﹣x﹣2y+1=0; 当 M 与 P 重合时,满足上式. (3)解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵ ,

∴1﹣x1= (x2﹣1) , ∴x2=3﹣2x1, 2 2 2 2 直线与圆联解得(1+m )x ﹣2m x+m ﹣5=0 ∴x1+x2=

(*)

∴可得



代入(*)得 m=±1 直线方程为 x﹣y=0 或 x+y﹣2=0. 点评:本题主要考查直线和圆的位置关系的判定,直线过定点问题,求点的轨迹方程,属于中档题. 22.对于函数 y=f(x)与常数 a,b,若 f(2x)=af(x)+b 恒成立,则称(a,b)为函数 f(x)的 + 一个“P 数对”;设函数 f(x)的定义域为 R ,且 f(1)=3. (Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9,求常数 a,b 的值; (Ⅱ)若(1,1)是 f(x)的一个“P 数对”,求 f(2 ) (n∈N ) ; (Ⅲ)若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,且当 x∈[1,2)时 f(x)=k﹣|2x﹣3|,求 k 的值及 f n * (x)在区间[1,2 ) (n∈N )上的最大值与最小值. 考点:函数与方程的综合运用. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用 f(2)=6,f(4)=9,建立方程组,即可求常数 a,b 的值; k k+1 k (Ⅱ)由已知,f(2x)=f(x)+1 恒成立,整理 f(2x)﹣f(x)=1,令 x=2 ,则 f(2 )﹣f(2 ) k =1,{f(2 )}是等差数列,利用通项公式求解 (Ⅲ)令 x=1,则 f(1)=k﹣1=3,解得 k=4,当 x∈[1,2)时 f(x)=4﹣|2x﹣3|,得出 f(x)在[1, 2)上的取值范围是[3,4].利用由已知,f(2x)=﹣2f(x)恒成立⊕,将[1,2 )分解成[2
n k﹣1 n *

,2 ) ,

k

(k∈N*)的并集,通过⊕式求出 f(x)在各段[2 为所求的最大值,最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知

k﹣1

,2 )上的取值范围,各段上最大值、最小值即

k

,即



解得:

;…3 分
k

(Ⅱ)由题意知 f(2x)=f(x)+1 恒成立,令 x=2 (k∈N*) , k+1 k k 可得 f(2 )=f(2 )+1,∴{f(2 )}是公差为 1 的等差数列, n 0 0 n 故 f(2 )=f(2 )+n,又 f(2 )=3,故 f(2 )=n+3. …8 分 (Ⅲ)当 x∈[1,2)时,f(x)=k﹣|2x﹣3|, 令 x=1,可得 f(1)=k﹣1=3,解得 k=4,…10 分 所以,x∈[1,2)时,f(x)=4﹣|2x﹣3|,故 f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 又(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,故 f(2x)=﹣2f(x)恒成立, 当 x∈[2
k﹣1

,2 ) (k∈N*)时, =…=
k﹣1 k

k

, ,…9 分
k﹣1 k+1

故 k 为奇数时,f(x)在[2 ,2 )上的取值范围是[3×2 ,2 ]; k﹣1 k k+1 k﹣1 当 k 为偶数时,f(x)在[2 ,2 )上的取值范围是[﹣2 ,﹣3×2 ]. …11 分 n 所以当 n=1 时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 4,最小值为 3; n n+1 n 当 n 为不小于 3 的奇数时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 2 ,最小值为﹣2 ; n n n+1 当 n 为不小于 2 的偶数时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 2 ,最小值为﹣2 .…13 分. 点评:本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力.考查转化计算,分类讨论、构造能力及推 理论证能力,思维量大,属于难题.


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