广东省阳江中学高中数学(人教)必修4课件:3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式_图文

3.1.3 二倍角的 正弦、余弦、正切公式 教学目标: 1、能从 S? ??、C? ??、T? ??、 公式推导出二倍角 2? 的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系,领会其中体现出来的数学基本思想、方法. 2、能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。 教学重点、难点: 二倍角正弦、正切公式的推导与简单应用. 复习 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ( S (? + ? ) ) ( S (? -? ) ) ( C(?-?) ) ( C(?+?) ) sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin? sin(?-?)= sin?cos?-cos?sin? cos(?-?)= cos?cos?+sin?sin? cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin? tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? ? ? ? ? k? ? ? ? k? ? ? ? k? ? ? ? 2 2 ? 2 (k ? Z ) ( T(?+?) ) ( T(?-?) ) (k ? Z ) (k ? Z ) sin2?,cos2?,tan2?的公式吗? 在和角公式中,令?=? 探究 你能利用S(?±?)、C(?±?)、 T(?±?)推导出 sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin? sin(?+?)= sin?cos? +cos?sin? sin2?= 2sin?cos? (S2?) 同样 cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin? cos2?= cos2?-sin2? (C2?) tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? (T2?) sin2?+cos2?= 1 sin2?=1-cos2? cos2?= cos2?-(1-cos2?)=2cos2?-1 cos2?=1-sin2? cos2?= (1-sin2?)-sin2?=1-2sin2? 在二倍角正切公式中, 只有当? ? ? 2 ? k? k? 和? ? ? , k ? Z时,公式才有意义. 4 2 ? 倍角公式 sin2? = 2sin?cos? cos2? = cos2?-sin2? cos2? =2cos2?-1 cos2? =1-2sin2? 2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ? 注: 1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系. 2、二倍角三角函数公式表示了一个角的三 角函数和它的二倍的角的三角函数间的关 系,不仅限于?与2?,也同样适用于?与 ?/2,或?/2与?/4等等,要注意倍数关系. 公式巩固训练 (1)sin4? = 2sin( 2? )cos( 2? ); (2)sin? = 2sin( (3)cos 6? = cos2( 3? )-sin2( 3? ) = 2cos2( 3? )-1 = 1-2sin2( 3? ); (4)cos25?-sin25?=cos( 10? ); 2 tan 2? (  5  )  ? tan(      ); 4? 2 1 ? tan 2? 3? 3? (6) sin(3    cos . ? ) ? 2 sin 2 2 1 ? 2 )cos( 1 ? 2 ); 3 7 25 5 , cos 2 ? =______. 2、若 sin(? ? ? ) = 3 ,则 sin ? =_______ 7 1 3、若 tan ? = ,则 tan 2 ? =______. 7 24 5 1 1 0 sin 30 ? 【预习自测】 2 4 0 0 1、求值: (1) sin 15 cos 15 =_______;? 2 cos ? 2 ? 2 ? (2) cos — sin =__________ 4 ;2 8 81 1 0 tan 45 ? tan 22.50 ( 3) =_________ ; 2 2 2 0 1 ? tan 22.5 2 0 0 2 cos 45 ? (4)2 cos 22.5 —1=__________ 。 2 【课内探究】 例 1、已知 sin ? ? 12 ? ? , ? ? ? ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值. 13 4 2 ? ? 解: 由 sin ? ? 12 , ?? ? 13 4 2 5 得   cos ? ? 1 ? sin ? ? 13 12 5 120 所以 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ? ? 13 13 169 2 119 ? 12 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 169 ? 13 ? 2 2 sin 2? 120 169 120 tan 2? ? ? ? (? ) ?? cos 2? 169 119 119 12 ? ? 变式:(1)已知 sin 2? ? , ? ? ? ,求 sin4?,cos4?,tan4?的值. 13 4 2 ? 解: 由 ? ? ? ? ? ,得  <2?<? 4 2 2 12 ? 5 ? 120 sin 4? ? 2 sin 2? cos 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 2 119 ? 12 ? 2 cos 4? ? 1 ? 2 sin 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 169 ? 13 ? 5 所以   cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 13 2 sin 4? 120 169 120 tan 4? ? ? ? ? cos 4? 169 119 119 (2)化简:① (s

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