高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切

课堂导学

三点剖析

1.二倍角与降幂公式

【例 1】 已知 sin( ? +x)sin( ? -x)= 1 ,x∈( ? ,π),求 sin4x 的值.

4

46

2

思路分析:注意到 ? +x+ ? -x= ? ,可用诱导公式变形后计算. 442

解:由 sin( ? +x)sin( ? -x)= 1 可得

4

46

sin( ? +x)cos( ? +x)= 1 ,即 1 sin( ? +2x)= 1 ,

4

462 2

6

∴sin( ? +2x)= 1 ,即 cos2x= 1 .

2

3

3

又∵x∈( ? ,π),∴2x∈(π,2π). 2

∴sin2x= ? 1 ? (1)2 ? ? 2 2 .

3

3

∴sin4x=2sin2xcos2x= ? 4 2 . 9

友情提示

在应用二倍角的同时,也用诱导公式或同角的三角函数关系.

各个击破

类题演练 1

已知 sinα= 5 ,α∈( ? ,π),求 sin2α,cos2α,tan2α 的值.

13

2

解析:∵sinα= 5 ,α∈( ? ,π),

13

2

∴cosα= ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( 5 )2 ? ? 12 ,

13

13

∴sin2α=2sinαcosα=2× 5 ×( ? 12 )= ? 120 , 13 13 169
cos2α=1-2sin2α=1-2×( 5 )2= 119 , 13 169
tan2α= sin 2? ? ? 120 ? 169 ? ? 120 . cos2? 169 119 119
变式提升 1
(2006 上海高考,文 6) 函数 y=sinxcosx 的最小正周期是___________.
解析:化简,得 y= 1 sin2x, 2

1

∴T=π. 答案:π 2.二倍角公式的变式应用

【例 2】已知 cos( ? +x)= 3 , 17? <x< 7? ,求 sin 2x ? 2sin 2 x 的值.

4 5 12 4

1 ? tan x

思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值,再由条件求出这些值.

?

解:原式= 2sin x cosx ? 2sin 2 x ? 2sin x(sin x ? cosx) ? 2

1? sin x

cosx ? sin x

2 sin x sin(x ? ) cosx 4
2 cos(x ? ? )

c os x

c os x

4

Sin2xtanx(x+ ? ). 4

∵cos( ? +x)= 3 , 17? <x< 7? , 4 5 12 4

∴sin(x+ ? )= ? 4 45

Tan(x+ ? )= ? 4 , 43

sin2x=-cos( ? +2x) 2

=-[2cos2( ? +x)-1]= 7 .

4

25

∴原式= 7 ×( ? 4 )= ? 28 . 25 3 75

友情提示

分析角与角的关系,如 ? -x 与 ? +x 互为余角;2x 是 x 的倍角.角的关系往往是解题的 44

突破口.

类题演练 2

求下列各式的值 :

(1)(cos ? -sin ? )(cos ? +sin ? );

12 12

12 12

(2) 1 -cos2 ? . 28

解析:(1)(cos ? -sin ? )(cos ? +sin ? )=cos2 ? -sin2 ?

12 12 12 12

12 12

=cos ? = 3 . 62

(2) 1 -cos2 ? = ? 1 (2cos2 ? -1)

2 82

8

= ? 1 cos ? = ? 2 . 24 4

2

变式提升 2

已知 θ∈( 5? , 3? ),|cos2θ|= 1 ,则 sinθ 的值是( )

42

5

A. ? 10 5

B. 10 5

C. ? 15 5

解析:∵θ∈( 5? , 3? ),∴sinθ<0,且 2θ∈( 5? ,3π).

42

2

∴cos2θ<0.∵|cos2θ|= 1 , 5

∴cos2θ=- 1 . 5

由 cos2θ=1-2sin2θ,

得 sin2θ= 1 ? cos2? ? 3 ,

2

5

D. 15 5

∴sinθ= ? 15 . 5

∴应选 C.

答案:C

3.升降幂公式的应用

【例 3】 求函数 y=sin6x+cos6x 的最值.

思路分析:见“高次”降为“低次”,利用 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)和 sin2x+cos2x=1 求解.

解:y=sin6x+cos6x

=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)

=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x

=1-3sin2xcos2x=1- 3 sin22x 4

= 5 ? 3 cos4x, 88

∴当 x= k? (k∈Z)时,y 取最大值为 1. 2

当 x= k? + ? (k∈Z)时,y 取最小值 1 .

24

4

友情提示

遇到高次就降幂,sin2x+cos2x=1,sin2x= 1 ? cos2x ,cos2x= 1? cos2x 都起到了降幂的

2

2

作用,在应用 cos2α 公式变形时,当心出现符号错误.

类题演练 3

已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

(1)求 f(x)的最小正周期;

(2)若 x∈[0, ? ],求 f(x)的最大值、最小值. 2
解:(1)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x

3

=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x

=cos2x-sin2x

= 2 cos(2x+ ? ), 4

所以 f(x)的最小正周期 T= 2? =π. 2

(2)因为 0≤x≤ ? , 2

所以 ? ≤2x+ ? ≤ 5 π,

4

44

所以在[0, ? ]上 f(x)的最大值为 1,最小值为 ? 2 . 2

变式提升 3

2 cos4 x ? 2 cos2 x ? 1

化简:

2.

2 tan(? ? x) sin 2 (? ? x)

4

4

1 (4 cos4 x ? 4 cos2 x ? 1)

解:原式= 2 ?

?

(2 cos2 x ?1)2

?

?

2?

sin( 4
cos(?

? x) ? x)

?

cos2 (? 4

?

x)

4sin( ? x) cos( ? x)

4

4

4

?

c os2 2 s in(?

2x ? 2x)

?

cos2 2x 2 c os2 x

=

1 2

cos2x.

2

4


相关文档

高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
【最新】高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》二倍角的正弦、余弦、正切
高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4201712052102
电脑版