高中数学人教版选修2-1课堂练习:3-1-3 空间向量的数量积运算 含解析

03 课堂效果落实 1.下列各命题中,不正确命题的个数为( ① ) a· a=|a|;②m(λa)· b=(mλ)a· b;③a· (b+c)=(b+c)· a;④a2b=b2a. B.3 个 D.1 个 A.4 个 C.2 个 解析:①②③正确,④不正确. 答案:D 2.已知|a|=2,|b|=3, 〈a,b〉=60° ,则|2a-3b|等于( A. C. 97 61 B.97 D.61 ) 解析:|2a-3b|2=4a2+9b2-12a· b=4×4+9×9-12×|a||b|cos60° =97 1 -12×2×3× =61. 2 答案:C 3. 已知在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,同一顶点为端点的三条棱长都 等于 1,且彼此的夹角都是 60° ,则此平行六面体的对角线 AC1 的长为( A.6 C.3 → → → → 解析:∵AC1=AB+AD+AA1, → → → → → → → → → → → ∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB· AD+2AB· AA1+ → → 2AD· AA1 B. D. 6 3 ) =1+1+1+2(cos60° +cos60° +cos60° )=6, → ∴|AC1|= 答案:B 4.已知空间向量 a、b,|a|=3 2,|b|=5,m=a+b,n=a+λb, 〈a,b〉 6,即 AC1 的长为 6. =135° ,若 m⊥n,则 λ 的值为________. 解析:由 m⊥n,得(a+b)· (a+λb)=0, ∴a2+λb2+(1+λ)a· b=0, 即 18+25λ+(1+λ)×3 ∴λ=- . 10 3 10 3 2×5×cos135° =0, 答案:- 5.如图,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 a,点 E、F、 G 分别是 AB、AD、DC 的中点,求下列向量的数量积. → → → → (1)AB· AC;(2)AD· BD; → → → → (3)GF· AC;(4)EF· BC. 解:在空间四边形 ABCD 中, → → → → (1)∵|AB|=|AC|=a, 〈AB,AC〉=60° , → → 1 ∴AB· AC=a· acos60° = a2. 2 → → → → (2)∵|AD|=a,|BD|=a, 〈AD,BD〉=60° , → → 1 ∴AD· BD=a2cos60° = a2. 2 → 1 → → → → → (3)∵|GF|= a,|AC|=a,又GF∥AC,∴〈GF,AC〉=π. 2 → → 1 1 ∴GF· AC= a2cosπ=- a2. 2 2 → 1 → → → (4)∵|EF|= a,|BC|=a,EF∥BD, 2 → → → → ∴〈EF,BC〉=〈BD,BC〉=60° , → → 1 1 ∴EF· BC= a2cos60° = a2. 2 4

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