(导学案)§4.1 弧度制及任意角的三角函数(教师版)

③α 是第三象限角可表示为 § 4.1 弧度制及任意角的三角函数 ④α 是第四象限角可表示为 (3)非象限角 如果角的终边在 任何一个象限. 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 本节内容是整个三角函数部分的基础,主要考查三角函数 的概念,三角函数值在各象限的符号,利用三角函数线比较三 角函数值的大小等,一般不单独设题,主要是与三角函数相关 的知识相结合来考查.

; . 上,就认为这个角不属于

形面积公式 S 扇= 3.任意角的三角函数





(1)任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x,y)与原点 的距离为 r(r>0),则 sinα= tanα= (x≠0). ,cosα= ,

①终边在 x 轴非负半轴上的角的集合可记作 {α|α= 2 kπ, k ∈ Z} ; ②终边在 x 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ③终边在 y 轴非负半轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ④终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ⑤终边在 x 轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ⑥终边在 y 轴上的角的集合可记作 _________________________________________; ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作 _________________________________________; (4)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集 合 S=________________________. 2.弧度制 (1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角,用符号 rad 表示,读作弧度.

x r r ※cotα= (y≠0),secα= (x≠0),cscα= (y≠0). y x y (2)正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 sinα cosα tanα 定义域 ① ② ③

(3)三角函数值在各象限的符号

1.任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.我们规定:按____________ 方向旋转形成的角叫做正角,按____________方向旋转形成的 角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了 一个____________. (2)象限角 使角的顶点与____________重合,角的始边与 x 轴的 ____________重合.角的终边在第几象限,就说这个角是第几 象限角. ①α 是第一象限角可表示为 ,k∈Z}; {α|2kπ<α<2kπ+π 2 ②α 是第二象限角可表示为 ;

sinα 4.三角函数线

cosα

tanα

如图, 角 α 的终边与单位圆交于点 P.过点 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,过点 A(1,0)作单位圆的切线,设它与 α 的终边(当 α 为第一、四象限角时)或其反向延长线(当 α 为第二、三象限 角时)相交于点 T.根据三角函数的定义,有 OM=x=________, MP=y=________,AT= =________.像 OM,MP, AT 这种被看作带有方向的线段, 叫做有向线段, 这三条与单位 圆有关的有向线段 MP,OM,AT,分别叫做角 α 的 、 、 ,统称为三角函数线.

|α|=
________rad,1° = ≈57.30°=57°18′.

, l 是半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长. rad≈0.01745rad,反过来 1rad=

(2)弧度与角度的换算:360° =________rad,180° =

(3)若圆心角 α 用弧度制表示,则弧长公式 l=_______;扇 1



π<α<2kπ+2π,k∈Z}或 {α|2kπ+3 2

度 数 sin α cos α tan α 0 1 2

π {α|2kπ- <α<2kπ,k∈Z} 2 (3)坐标轴 ②{α|α=2kπ+π,k∈Z} ,k∈Z} {α|α=2kπ+π 2 3 ④{α|α=2kπ+2π,k∈Z} ⑤{α|α=kπ,k∈Z} π kπ ⑥{α|α=kπ+2,k∈Z} ⑦{α|α= 2 ,k∈Z} ③ 12 13 5° 15 0° 18 0° 27 0° 36 0° (4){β|β=α+2kπ,k∈Z}或{β|β=α+k· 360° ,k∈Z} 2.(1)半径长 (3)|α|r l (2)2π r π π 180

错误错误 ! 1 !

3 2 1 - 2

2 2 -

1 2 - 3 2 -

0 - 1

- 1 0 不

0

1

1 错误错误 ! 2 !

0 不

2 2

1

0

错误1 !

错误存 !


- 3

-1

3 3

0

存 在

0

5.特殊角的三角函数值 角α
角α 的弧 度数

0

3

4

6

9

与-463° 终边相同的角的集合是( 360° +463° ,k∈Z} A.{α|α=k· 360° +103° ,k∈Z} B.{α|α=k· 360° +257° ,k∈Z} C.{α|α=k· 360° -257° ,k∈Z} D.{α|α=k·

)

° 0° 5° 0° 0° 0°

(180 π )°

1 2 1 |α|r 2lr 2

sinα cosα tanα ※ sin15° = 6- 2 6+ 2 , sin75° = , tan15° = 2- 3, 4 4

y x y 3.(1) r r x (2)①R ②R ③ 4.cosα sinα 5. 角 顺时针 零角 α
角 α 的

解:显然当 k=-2 时,k· 360° +257° =-463° .故选 C. 给出下列命题:

{

π α|α≠kπ+ ,k∈Z 2

}
正切线

π ①小于 的角是锐角;②第二象限角是钝角;③终边相同的角 2 相等;④若 α 与 β 有相同的终边,则必有 α-β=2kπ(k∈Z).其 中正确命题的个数是( A.0 ) B.1 C.2 D.3

y tanα 正弦线 x

余弦线

tan75° =2+ 3,由余角公式易求 15° ,75° 的余弦值和余切值. 【自查自纠】 1.(1)射线 (2)原点 ② 逆时针 非负半轴

0 °

30 °

45 °

60 °

90 °

12 0°

13 5°

15 0°

18 0°

27 0°

36 0°

{ } 3 ③{α|2kπ+π<α<2kπ+2π,k∈Z}
π α|2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z 2

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2



( ) π π 范围是(2,π),而第二象限角为(2kπ+2,2kπ+π),k∈Z,
π 解:①锐角的取值范围是 0,2 ,故不正确;②钝角的取值 故不正确; ③若 α=β+2kπ, k∈Z, α 与 β 的终边相同, 但当 k≠0 时,α≠β,故不正确;④正确.故选 B.

弧 2

若 cosα=- 点的横坐标 x 是( A.2 3 C.-2 2 解:由 cosα=

3 ,且角 α 的终边经过点 P(x,2),则 P 2 ) B.± 2 3 D.-2 3

α 当 k=2n(n∈Z)时,45° +n· 360° < <90° +n· 360° , 2 α 当 k=2n+1(n∈Z)时,225° +n· 360° < <270° +n· 360° . 2 α ∴ 的终边在第一或第三象限. 2 α (3)∵30° +k· 120° < <60° +k· 120° (k∈Z), 3

3 当 k=1 时,π<α< π,此时 α 是第三象限角. 2 综上,对任意 k∈Z,α 为第一或第三象限角. 故 α 的终边在第一或第三象限. 类型二 扇形的弧长与面积问题

x 3 =- ,解得 x=-2 3.故选 D. 2 x +4
2

y 若点 P(x,y)是 30° 角终边上异于原点的一点,则 的 x 值为________. y 3 3 解: =tan30° = .故填 . x 3 3 半径为 R 的圆的一段弧长等于 2 3R,则这段弧所对 的圆心角的弧度数是____________. 解:圆心角的弧度数 α= 2 3R =2 3.故填 2 3. R

如图所示,已知扇形 AOB 的圆心角∠AOB= α 当 k=3n(n∈Z)时,30° +n· 360° < <60° +n· 360° , 3 α 当 k=3n+1(n∈Z)时,150° +n· 360° < <180° +n· 360° , 3 α 当 k=3n+2(n∈Z)时,270° +n· 360° < <300° +n· 360° . 3 α ∴ 的终边在第一或第二或第四象限. 3 【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论,有些 书上列有现成的结论表格,记忆较难.解此类题一般步骤为先 α α α 写出 α 的范围→求出 2α, , 的范围→分类讨论求出 2α, , 2 3 2 ︵ (1)AB的长; (2)弓形 ACB 的面积. 解:(1)∵∠AOB=120° =
⌒ ∴lAB =

120° ,半径 R=6,求:

2π ,R=6, 3

类型一

角的概念

α 终边所在位置. 3 已知角 2α 的终边在 x 轴的上方(不与 x 轴重合), 求 α 的终边所在的象限. 解:依题意有 2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z), π ∴kπ<α<kπ+ (k∈Z). 2 π 当 k=0 时,0<α< ,此时 α 是第一象限角; 2 3

2π × 6=4π. 3

(2)S 弓形 ACB=S 扇形 OAB-S△ OAB 1 ⌒ 1 = lAB R- R2sin∠AOB 2 2 1 1 2 3 = × 4π× 6- × 6 × =12π-9 3. 2 2 2 【评析】① 直接用公式 l= |α |R 可求弧长,利用 S 弓=S 扇 -S△ 可求弓形面积. ②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度 制与弧度制这两种形式, 其中弧度制不仅形式易记, 而且好用, 在使用时要注意把角度都换成弧度, 使度量单位一致. ③弧长、 面积是实际应用中经常遇到的两个量,应切实掌握好其公式并

α α 若 α 是第二象限角,试分别确定 2α, , 的终 2 3 边所在位置. 解:∵α 是第二象限角, ∴90° +k· 360° <α<180° +k· 360° (k∈Z). (1)∵180° +2k· 360° <2α<360° +2k· 360° (k∈Z), 故 2α 的终边在第三或第四象限或 y 轴的负半轴上. α (2)∵45° +k· 180° < <90° +k· 180° (k∈Z), 2

能熟练运用. 扇形 AOB 的周长为 8 cm.若这个扇形的面积为 3 cm ,求圆心角的大小. 解:设扇形半径为 r,则弧长为 8-2r, 1 ∴S= · (8-2r)· r=3, 2 ∴r=1,或 r=3. 弧长 8-2r 2 ∴圆心角 θ= = =6 或 . r 3 半径
2

y 4 y 4 ∴sinα= = ,tanα= =- . r 5 x 3 4 4 ∴5sinα+3tanα=5× +3× -3 =0. 5 (2)∵cosα≤0 且 sinα>0, ?3m-9≤0, ∴? ?m+2>0. ∴-2<m≤3. 类型四 三角函数线的应用

【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示,利 用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号 及大小,并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规 律.在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式 等方面,三角函数线具有独特的简便性. π 求证:当 α∈ 0,2 时,sinα<α<tanα. 证明:如图所示,设角 α 的终边与 单位圆相交于点 P,单位圆与 x 轴正半 轴的交点为 A, 过点 A 作圆的切线交 OP 的延长线于 T,过 P 作 PM⊥OA 于 M, 连接 AP, 则在 Rt△ POM 中, sinα=MP, ︵ 在 Rt△ AOT 中, tanα=AT, 又根据弧度制的定义, 有AP=α· OP =α , 易 知 S △ P O A < S
扇 形

( )

( )

类型三

三角函数的定义

用单位圆证明角 α 的正弦绝对值与余弦绝对值 之和不小于 1,即已知 0≤α<2π,

已知角 α 的终边经过点 P(a, 2a)(a>0), 求 sinα, cosα,tanα 的值. 解: 因为角 α 的终边经过点 P(a, 2a)(a>0), 所以 r= 5a, x=a,y=2a. y 2a 2 5 sinα= = = , r 5 5a x a 5 cosα= = = , r 5 5a y 2a tanα= = =2. x a 【评析】若题目中涉及角 α 终边上一点 P 的相关性质或条 件,往往考虑利用三角函数的定义求解. 已知角 α 的终边经过点 P(3m- 9 , m+ 2). (1)若 m=2,求 5sinα+3tanα 的值; (2)若 cosα≤0 且 sinα>0,求实数 m 的取值范围. 解:(1)∵m=2,∴P(-3,4),∴x=-3,y=4,r=5.

求证:|sinα|+|cosα|≥1. 证明:作平面直角坐标系 xOy 和单位圆. (1)当角 α 的终边落在坐标轴上时,不妨设为 Ox 轴,设它 交单位圆于 A 点,如图 1,显然 sinα=0,cosα=OA=1,所以 |sinα|+|cosα|=1.
POA<S△ AOT,

1 即 OA· MP< 2

1︵ 1 AP· O A < OA· AT,即 sinα<α<tanα. 2 2

1.将角的概念推广后,要注意锐角与第一象限角的区别, 锐角的集合为{α|0° <α<90° },第一象限角的集合为 {α|k· 360° <α<k· 360° +90° ,k∈Z},显然锐角的集合仅是第一象 图1 图2 限角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限 角不一定是锐角. 2.角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行换算,在同一 个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用.如 α=2kπ+ π 30° (k∈Z),β=k· 360° + (k∈Z)的写法都是不正确的. 2 3.一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在

(2)当角 α 的终边不在坐标轴上时,不妨设为 OP,设它交 单位圆于 A 点,过 A 作 AB⊥x 轴于 B,如图 2,则 sinα=BA, cosα=OB. 在△ OAB 中,|BA|+|OB|>|OA|=1, 所以|sinα|+|cosα|>1. 综上所述,|sinα|+|cosα|≥1. 4

角度制下计算更方便、简捷. 4.已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求 三角函数值,但要注意对可能情况的讨论. 5.牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函 数关系时,要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨 论. 6.2kπ+α 表示与 α 终边相同的角,其大小为 α 与 π 的偶 数倍(而不是整数倍)的和,是 π 的整数倍时,要分类讨论.如: (1)sin(2kπ+α)=sinα; ?sinα(k为偶数), (2)sin(kπ+α)=? =(-1)ksinα. ?-sinα(k为奇数) 7.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线 是一个小技巧.

sinx |cosx| tanx 3.函数 y= + + 的值域是( |sinx| cosx |tanx| A.{-1,1} C.{1,-3} >0,∴y=1+1+1=3; B.{1,3} D.{-1,3}

)

解: (1)当 x 的终边落在第一象限时, sinx>0, cosx>0, tanx (2)当 x 的终边落在第二象限时,sinx>0,cosx<0,tanx <0, ∴y=1-1-1=-1; (3)当 x 的终边落在第三象限时,sinx<0,cosx<0,tanx >0, ∴y=-1-1+1=-1; (4)当 x 的终边落在第四象限时,sinx<0,cosx>0,tanx <0, ∴y=-1+1-1=-1. 又依题意知角 x 的终边不可能落在坐标轴上, ∴上述函数的值域为{-1,3}.故选 D. 是( π 2 解:如图,单位圆中∠MOP=1 rad> rad,∵OM< < 4 2 MP<AT,∴cos1<sin1<tan1.故选 D. 6.在△ ABC 中,若 sinA· cosB· tanC<0,则△ ABC 的形状 ) A.锐角三角形 C.直角三角形 ∴sinA>0. ∵sinA· cosB· tanC<0,∴cosB· tanC<0. 若 B,C 同为锐角,则 cosB· tanC>0. 故 B,C 中必定有一个是钝角. ∴△ABC 是钝角三角形.故选 B. 7.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运 C. 2 sin1 D.sin2 2 动 π 弧长到达点 Q,则点 Q 的坐标为__________. 3 1 ?x=cos2 π=- , 3 2 ? 解: 由三角函数的定义知点 Q(x, y)满足? 2 3 ? ?y=sin3π= 2 . 1 3 故填?- , ?. ? 2 2? 8.若一扇形的周长为 60cm,那么当它的半径和圆心角各 为________cm 和________rad 时,扇形的面积最大. 解:设该扇形的半径为 r,圆心角为 θ,弧长为 l,面积为 5 B.钝角三角形 D.不能确定

解:∵△ABC 中每个角都在(0,π)内,

北京海淀二模)若 sinθcosθ<0,则角 θ 是( 1.(2012· A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角

)

4.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心 角所对的弧长是( A.2 )

?sinθ>0, ?sinθ<0, 解:∵sinθcosθ<0,∴? 或? ∴角 θ 是第二 ?cosθ<0 ?cosθ>0. 或第四象限角.故选 D. 2.已知角 α 的终边经过点 P(-4a,3a)(a<0),则 2sinα+ cosα 的值为( 2 A.- 5 ) 2 B. 5 C.0 2 2 D. 或- 5 5

B.2sin1

1 2 解:∵2Rsin1=2,∴R= ,l=|α|R= . sin1 sin1 故选 C. 5.cos1,sin1,tan1 的大小关系是( A.sin1<cos1<tan1 B.tan1<sin1<cos1 C.cos1<tan1<sin1 D.cos1<sin1<tan1 )

3 解:∵x=-4a,y=3a,a<0,∴r=-5a,∴sinα=- ,cosα 5 3 4 4 2 = ,2sinα+cosα=2× -5 + =- .故选 A. 5 5 5

( )

S,则 l+2r=60,∴l=60-2r. 1 1 ∴S= lr= (60-2r)r=-r2+30r 2 2 =-(r-15)2+225. ∴当 r=15 时,S 最大,最大值为 225cm . l 30 此时,θ= = =2rad. r 15 故填 15;2. α 9.若 α 是第三象限角,则 2α, 分别是第几象限角? 2 解:∵α 是第三象限角, 3 ∴2kπ+π<α<2kπ+ π,k∈Z. 2 ∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z. ∴2α 是第一、二象限角,或角的终边在 y 轴非负半轴上. π α 3 又 kπ+ < <kπ+ π,k∈Z, 2 2 4 ∴当 k=2m(m∈Z)时, π α 3 α 2mπ+ < <2mπ+ π(m∈Z),则 是第二象限角; 2 2 4 2 当 k=2m+1(m∈Z)时, 3 α 7 α α 2mπ+ π< <2mπ+ π(m∈Z),则 是第四象限角.故 是第 2 2 4 2 2 二、四象限角. 10.(台湾版习题)求 sin15° ,cos15° ,tan15° 的值. 解:如图,在 Rt△ ABC 中,∠BAC=30° ,∠C=90° ,延 长 CA 到 D 使 AD=AB,则△ ABD 是等腰三角形且∠D=15° .
2

设|BC|=1,则|AD|=|AB|=2,|AC|= 3, 因此|CD|=|AD|+|AC|=2+ 3. 利用勾股定理|BD|2=|CD|2+|BC|2,代入得 |BD|2=(2+ 3)2+12=8+4 3=2( 3+1)2, 开平方得|BD|= 2( 3+1). 故 sin15° = cos15° = tan15° = 6- 2 |BC| 1 = = , |BD| 4 2( 3+1)

2+ 3 6+ 2 |CD| = = , |BD| 4 2( 3+1)

|BC| 1 = =2- 3. |CD| 2+ 3 3 x, 6

11. 已知角 α 的终边经过点 P(x, - 2)(x≠0)且 cosα= 求 sinα+tanα 的值. 解:∵P(x,- 2)(x≠0), ∴点 P 到原点的距离 r= x2+2. 又 cosα= x 3 = x,∴x=± 10,r=2 3. 6 x +2
2

当 x= 10时,点 P( 10,- 2), 由三角函数定义知 sinα=- tanα= - 2 5 =- . 5 10 5 6+ 6 5 6 5 - =- . 6 5 30 6 5- 5 6 . 30 6 , 6

∴sinα+tanα=-

当 x=- 10时,同理可求得 sinα+tanα=

若 θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ)的符号. π 解:∵θ 在第四象限,∴0<cosθ<1< ,∴sin(cosθ)>0 2 6


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