陕西省西安第一中学2010届高三上学期期中考试数学理试题

西安市第一中学2009-2010学年度第一学期 高三数学(理科)试题
一、选择题(本大题满分36分,每小题3分)

A ? CU B ? ( 1、设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则
A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} ”是“ a, b 共线”的(

) D. {x | x ? 1} )

2、设 a, b 都是非零向量,则“

a?b ? ? a b

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 3、设

D、既不充分也不必要条件 )

Sn

是等差数列

?an ? 的前n项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于(
B.35 C.49 D. 63

A.13

y?
4、曲线

x 2 x ? 1 在点 ?1,1? 处的切线方程为(
B. x ? y ? 2 ? 0
x

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

5、若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a ) ,则

f ( x) ?





A.

log 2 x

log 1 x
B.
2

1 x C. 2

D.

x2
6、有四个关于三角函数的命题:

p1

x x 1 2 : ? x ? R, sin 2 + cos 2 = 2
2

p2

: ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny

p3 ? ? ? 0, ? ? : x ,
其中假命题的是( A、

1 ? cos 2 x 2 =sinx
) B、

?
p4
: sinx=cosy ? x+y= 2

p1



p4

p2



p4

C、

p1



p3

D、

p2



p4
( )

7、 等差数列 A、5

2 ?an ? 的前n项和为 Sn , am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,S 2m?1 ? 18 ,则 m ? 已知

B、6

C、8

D、18

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? 4? ? ? ,0 ? ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 8、如果函数 y ? 3sin(2x ? ? ) 的图像关于点 ? 3
( )

? A、 6

? B、 4
? x ?2 ? 1, x ? 0 f ( x) ? ? 2 ?? x , x ? 0. ?

?
C、 3

?
D、 2

9、已知函数

若 f (2 ? a ) ? f (a ), 则实数 a 的取值范围是(
2



A (??, ?1) ? (2, ??)

B (?1, 2)

C (?2,1)

D (??, ?2) ? (1, ??) )

10、设 a, b, c 是单位向量,且 a · b =0,则 (a ? c) ? (a ? c) 的最小值为 ( A、 ?2 B、 2 ? 2 C、 ?1 D、 1 ? 2

?? ? ? y ? tan ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 4? ? 11、若将函数 的图像向右平移 3 个单位长度后,与函数
?? ? y ? tan ? ? x ? ? 6 ? 的图像重合,则 ? 的最小值为( ?
1 A、 6 1 B、 4
2



1 C、 3

1 D、 2 x??
2

12、函数 f ( x) ? a x ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程 ( A )

b 2a 对称。据此可推测,对任意
的解集都不可能是

m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0

?1, 2?

B

?1, 4?

C

?1, 2,3, 4?

D

?1, 4,16, 64?

二、填空题(本大题满分15分,每小题3分):

x2 ? a f ( x) ? x ? 1 在 x ? 1 处取极值,则 a ? 13、若函数
q?
的公比

14、设等比数列

{an }

S4 1 2 ,前 n 项和为 S n ,则 S 2 =

. .

15、若平面向量 a ,b 满足

a ?b ?1

a , a ? b 平行于 x 轴,b ? ( 2,?1) ,则 =

? ?? ?0, ? 16、函数 y ? x ? 2 cos x 在区间 ? 2 ? 上的最大值是______________ .

??? ??? ? ? OA 和 OB ,它们的夹角为 120o . 17、 给定两个长度为1的平面向量
如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 AB 上变动.

??? ?

???? ??? ? ??? ? OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 若
的最大值是________.

www.ks5u.com

三、解答题(本大题满分49分) 18.(本小题满分9分)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 (1)求 sin 2? 和 cos 2? 的值;

? ? ? ( 0, )
2

(2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? 2 ,求 cos? 的值。 19、(本小题满分8分)函数 f ( x) ? ?x ? 2ax ? 1 ? a 在区间
2

?

?0,1? 上有最大值2,求实数a

的值。 20、(本小题满分10分)设数列 (I)设

{an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2

bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 {an } 的通项公式。

(II)求数列

21、(本小题满分10分)如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛 道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ? x(A>0, ? >0) x ? [0,4]的图象,且图

象的最高点为S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限 定 ? MNP=120 .
o

(I)求A , ? 的值和M,P两点间的距离; (II)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长? 22、(本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3 x ? ax ? b)e
3 2 ?x

(1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明: ? ? ? <6.

西安市第一中学2009-2010学年度第一学期 高三数学(理科)试题答案
一、选择题(本大题满分36分,每小题3分) 1 B 2 C 3 C 4 B 5 B 6 A 7 A 8 C 9 C 10 D 11 B 12 D

二、填空题(本大题满分15分,每小题3分):

13、3 17、2

5 14、 4

15、

2 或

10

16、2

三、解答题(本大题满分49分) 1.(本小题满分9分)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 (1)求 sin 2? 和 cos 2? 的值;

? ? ? ( 0, )
2

? (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? 2 ,求 cos? 的值。
【解析】(1)? a ? b ,? a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0,即 sin ? ? 2 cos ?

又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2

∴ 4 cos ? ? cos ? ? 1 ,即
2 2

cos 2 ?

1 4 sin 2 ? ? 5 ,∴ 5

? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? cos ? ?


2

5 ,

5

4 3 ? sin 2? ? 2 sin ? cos? ? , cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? ? 5 5
(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

? cos ? ? sin ? ,? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? ,即
又 0 ?? ? 2 , ∴

cos 2 ? ?

1 2

?

cos ? ?

2 2

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

2、(本小题满分8分)函数 f ( x) ? ?x ? 2ax ? 1 ? a 在区间
2

?0,1? 上有最大值2,求实数a的

值。 解:易知函数 f (x) 的图像的对称轴为 x ? a . 当 a ? 1 时, f (x) 在

?0,1? 上递增,此时 f (x) 的最大值 f (1) ? 2a ? a ? 2,
a?
解得

?a ? 2

2 当 0 ? a ? 1 时,f (x) 在 ?0,1? 上的最大值 f (a) ? a ? a ? 1

1? 5 2 (不合题意,
?a ? ?1

舍去) 当 a ? 0 时, f (x) 在

?0,1? 上递减,此时 f (x) 的最大值 f (0) ? 1 ? a ? 2

综上可知, a ? 2 或 a ? ?1 3、(本小题满分10分)设数列 (I)设

{an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2

bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; {an } 的通项公式。

(II)求数列 解: 由 (I) 由

a1 ? 1, 及 Sn ?1 ? 4an ? 2 , a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,? b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 有
则当 n ? 2 时,有

Sn ?1 ? 4an ? 2 ,...①

Sn ? 4an ?1 ? 2 .....②

②-①得 又

an ?1 ? 4an ? 4an ?1 ,? an ?1 ? 2an ? 2(an ? 2an ?1 )

? bn ? an ?1 ? 2an ,? bn ? 2bn ?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
bn ? an ?1 ? 2an ? 3 ? 2
n ?1

?


(II)由(I)可得

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } n ? 数列 2 是首项为 2 ,公差为 4 的等比数列. { an 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? n?2 n 2 4 4 4 , an ? (3n ? 1) ? 2 ?2

4、(本小题满分10分)如图,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道 的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ? x(A>0, ? >0) x ? [0,4]的图象,且图象 的最高点为S(3,2 3 );赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定

? MNP=120 o .
(I)求A , ? 的值和M,P两点间的距离; (II)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及 应用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想, 2? ? ? T T? ?? ? ? y ? 2 3 sin x ?3 ? , 6。 6 解法一(Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , 4 ,又 当 x ? 4 是,
? y ? 2 3 sin 2? ?3 3

? M (4, 3) 又 p (8, 3)
? MP ? 42 ? 32 ? 5

(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则0°< ? <60°
MP NP MN ? ? 0 sin ? sin(600 ? ? ) 由正弦定理得 sin120 ? NP ? 10 3 10 3 sin ? ? MN ? sin(600 ? ? ) 3 3 ,


?

NP ? MN ?

10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

10 3 sin(? ? 600 ) 3 ? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道MNP最长

亦即,将∠PMN设计为30°时,折线段道MNP最长 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
2 2 2 由余弦定理得 MN ? NP ? 2MN ?NP ?cos ∠MNP= MP

2 2 即 MN ? NP ? MN ?NP ? 25



( MN ? NP) 2 ? 25 ? MN ?NP ? (

MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 MN ? NP ? ( MN ? NP ) 2 ? 25 3 从而 4 ,即

当且仅当 MN ? NP 时,折线段道MNP最长 注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、 解法二给出的两种设计方式,
12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ? 4 3 N( , ) N( , ) 2 6 2 6 还可以设计为:① ;② ;③点N在线段MP的垂直平

分线上等 5、(本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3 x ? ax ? b)e
3 2 ?x

(1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明: ? ? ? <6. 解:(Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3 x ? 3 x ? 3)e ,故
3 2 ?x

f '( x) ? ?( x 3 ? 3 x 2 ? 3 x ? 3)e ? x ? (3 x 2 ? 6 x ? 3)e ? x ? ?e ? x ( x ?3 ? 9 x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e? x
当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

0),(3, ?) ? 从而 f ( x)在( ??, ?3), (0,3)单调增加,在( ? 3, 单调减少.

(Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3 x ? ax ? b)e
3 2 3

?x

? (3x 2 ? 6 x ? a )e ? x ? ?e ? x [ x 3 ? (a ? 6) x ? b ? a ].

由条件得: f '(2) ? 0, 即2 ? 2( a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e ? x [ x 3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x 2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 ( ? ? 2)(? ? 2) ? 0, 即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6.
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m


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