2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3定积分与微积分基本定理理


第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理 理

1.定积分的概念 在? af(x)dx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫 做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的性质 (1)? akf(x)dx=k? af(x)dx(k 为常数); (2)? a[f1(x)±f2(x)]dx=? af1(x)dx±? af2(x)dx; (3)? af(x)dx=? af(x)dx+? cf(x)dx(其中 a<c<b). 3.微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是区间[a, b]上的连续函数, 且 F′(x)=f(x), 那么? af(x)dx=F(b)-F(a), 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作 F(x)|a,即? af(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a).
b b b b b c b b b b b b b

【知识拓展】 1.定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值为 负;当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零. 2.函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 (1)若 f(x)为偶函数,则? -af(x)dx=2? 0f(x)dx. (2)若 f(x)为奇函数,则? -af(x)dx=0.
a a a

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则? √ af(x)dx=? af(t)dt.(
b b b

)

(2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,则? √ ) af(x)dx>0.( (3) 若 ? a f(x)dx<0 ,那么由 y = f(x) , x = a , x = b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下 方.( ? ) (4)微积分基本定理中的 F(x)是唯一的.( ? )
b

1

(5)曲线 y=x 与 y=x 所围成图形的面积是? 0(x -x)dx.(

2

1

2

? )

1.(2017?福州质检)? 0(e +2x)dx 等于( A.1 B.e-1 C.e 答案 C D.e+1

1

x

)

解析 ? 0(e +2x)dx=(e +x )|0=e+1-1=e. 2.直线 y=4x 与曲线 y=x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A.2 2 答案 D 解析 如图,y=4x 与 y=x 的交点为 A(2,8),
3 3

1

x

x

2

1

)

B.4 2

C.2 D.4

图中阴影部分即为所求图形面积.
2 3 S 阴=? 0(4x-x )dx

1 4 2 2 =(2x - x )|0 4 1 4 =8- ?2 =4,故选 D. 4 3.(教材改编)汽车以 v=(3t+2)m/s 作变速直线运动时,在第 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过 的位移是( A. ) D.7 m

13 15 m B.6 m C. m 2 2

答案 A 3 2 2 2 解析 s=? 1(3t+2)dt=( t +2t)|1 2 3 3 = ?4+4-( +2) 2 2 7 13 =10- = (m). 2 2 4.若? 0x dx=9,则常数 T 的值为________.
2
T 2

答案 3 1 3 T 1 3 T 2 解析 ? 0x dx= x |0= T =9,∴T=3. 3 3

x ,x∈[0,1], ? ? 5.设 f(x)=?1 ,x∈?1,e] ? ?x
答案 4 3

2

(e 为自然对数的底数),则? 0f(x)dx 的值为________.

e

e 1 2 e1 解析 ? 0f(x)dx=? 0x dx+? 1 dx

x

1 3 1 1 4 e = x |0+ln x|1= +ln e= . 3 3 3

题型一 定积分的计算 例 1 (1)(2016?九江模拟)若? 0(2x+λ )dx=2(λ ∈R),则 λ 等于( A.0 B.1 C.2 D.-1 (2)定积分? -2|x -2x|dx 等于( A.5 B.6 C.7 D.8 答案 (1)B (2)D 解析 (1)? 0(2x+λ )dx=(x +λ x)|0=1+λ =2, 所以 λ =1. (2)? -2|x -2x|dx =? -2(x -2x)dx+? 0(2x-x )dx =( -x )|-2+(x - )|0 3 3 8 8 = +4+4- =8. 3 3 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点: (1)对被积函数要先化简,再求积分; (2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分. (1)若
0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1

)

)

x3

2

0

2

x3

2

?

π 2 0

(sin x-acos x)dx=2, 则实数 a 的值为(
D. 3

)

A.-1 B.1 C.- 3

3

?x ,x∈[0,1], ? (2)设 f(x)=? ?2-x,x∈?1,2], ?

2

则? 0f(x)dx 等于(

2

)

A.

3 4 B. 4 5

5 C. 6

6 D. 7

答案 (1)A (2)C 解析
2 (1) ? 2 (sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x) |0 0 π π

=0-a-(-1-0)=1-a=2, ∴a=-1. (2)? 0f(x)dx=? 0x dx+? 1(2-x)dx 1 3 1 1 2 2 = x |0+(2x- x )|1 3 2 1 1 1 = +(4- ?4)-(2- ) 3 2 2 5 = . 6 题型二 定积分的几何意义 命题点 1 利用定积分的几何意义计算定积分 例 2 (1)计算:? 3+2x-x dx=________. 1 π m 2 (2)若? -x -2x dx= ,则 m=________. -2 4 答案 (1)π (2)-1
3 2 2 2 3 2 2 1 2 2

解析 (1)由定积分的几何意义知,? 3+2x-x dx 表示圆(x-1) +y =4 和 x=1,x=3,y 1 =0 围成的图形的面积, 1 3 2 ∴? 3+2x-x dx= ?π ?4=π . 1 4 (2)根据定积分的几何意义? -x -2x dx 表示圆(x+1) +y =1 和直线 x=-2,x=m 和 y -2 =0 围成的图形的面积, π m 2 又? -x -2x dx= 为四分之一圆的面积, -2 4 结合图形知 m=-1. 命题点 2 求平面图形的面积 例 3 (2017?青岛月考)由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成的封闭平面图形的面积为 ______. 答案 4-ln 3
m
2 2 2

4

1 解析 由 xy=1,y=3 可得交点坐标为( ,3). 3

由 xy=1,y=x 可得交点坐标为(1,1), 由 y=x,y=3 得交点坐标为(3,3), 由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成图形的面积为

?

1

1 3

3 1 1 2 3 (3 ? )dx ? ? (3 ? x)dx ? (3x ? ln x) |1 x ) |1 1 ?(3 x ? 1 x 2 3

9 1 =(3-1-ln 3)+(9- -3+ )=4-ln 3. 2 2 思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分; (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ①画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象; ②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; ④计算定积分,写出答案. (1)定积分? 9-x dx 的值为( 0 A.9π 9 C. π 4
2 3 2

)

B.3π 9 D. π 2

(2)由曲线 y=2x ,直线 y=-4x-2,直线 x=1 围成的封闭图形的面积为________. 16 答案 (1)C (2) 3 解析 (1)由定积分的几何意义知? 9-x dx 是由曲线 y= 9-x ,直线 x=0,x=3,y=0 0 π ?3 9 3 2 围成的封闭图形的面积,故? 9-x dx= = π ,故选 C. 0 4 4
? ?y=2x , (2)由? ?y=-4x-2, ?
2 2 3 2 2

解得 x=-1,依题意可得,

2 3 2 1 2 2 3 2 所求的封闭图形的面积为? -1(2x + 4x +2)dx =( x +2x + 2x)|1-1 =( ?1 +2?1 +2?1) 3 3

5

2 16 3 2 -[ ?(-1) +2?(-1) +2?(-1)]= . 3 3 题型三 定积分在物理中的应用 25 例 4 一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车, 以速度 v(t)=7-3t+ (t 1+t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 答案 C 8 解析 令 v(t)=0,得 t=4 或 t=- (舍去), 3 25 4 ∴汽车行驶距离 s=? )dt 0(7-3t+ 1+t 3 2 4 =[7t- t +25ln(1+t)]|0 2 =28-24+25ln 5=4+25ln 5. 思维升华 定积分在物理中的两个应用 (1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a 到 t =b 所经过的路程 s=? av(t)dt. (2)变力做功:一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从 x=a 移动到 x=b 时, 力 F(x)所做的功是 W=? aF(x)dx. 一物体在变力 F(x)=5-x (力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成 30° 方向作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时,F(x)做的功为( 2 3 A. 3 J B. J 3 答案 C 解析 ? 1F(x)cos 30°dx=? 1
2 2 2

)

B.8+25ln

11 3

D.4+50ln 2

b

b

)

4 3 C. J D.2 3 J 3

3 2 (5-x )dx 2



1 3??2 4 ?? ??5x-3x3? ?? 2 ??1=3 3, ? ?? ??

4 ∴F(x)做的功为 3 J. 3

4.利用定积分求面积

6

典例 由抛物线 y=x -1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图形面积为________. 错解展示 1 3 2 2 2 2 解析 所求面积 S=? 0(x -1)dx=( x -x)|0= . 3 3 答案 2 3

2

现场纠错 解析 如图所示,由 y=x -1=0,
2

得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0). 所以 S=? 0|x -1|dx =? 0(1-x )dx+? 1(x -1)dx =(x- )|0+( -x)|1 3 3 1 8 1 =(1- )+[ -2-( -1)]=2. 3 3 3 答案 2 纠错心得 利用定积分求面积时要搞清楚定积分和面积的关系;定积分可正可负,而面积总 为正.
1 2 2 2 2 2

x3

1

x3

2

1.

?

π 2 0

sin 2

x dx 等于( 2

) π 1 - 4 2 π -1 2

A.0 π 1 C. - 4 4 答案 B 解析

B. D.

?

π 2 0

sin 2

π x 1 ? cos x dx ? ? 2 dx 0 2 2

7

π 1 1 π 1 2 ? ( x ? sin x) |0 ? ? . 2 2 4 2

2.? 1-x dx 的值为( 0 A. 1 π B. 4 4 1 C. 2 π D. 2

1

2

)

答案 B 解析 ? 1-x dx 的几何意义为以(0,0)为圆心, 0 以 1 为半径的圆位于第一象限的部分,圆的面积为 π , π 1 2 所以? 1-x dx= . 0 4 1 a 3.(2016?南昌模拟)若? 1(2x+ )dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是(
1 2

x

)

A.2 B.3 C.4 D.6 答案 A 1 a 2 a 2 解析 由题意知? 1(2x+ )dx=(x +ln x)|1=a +ln a-1=3+ln 2,解得 a=2.

x

4.定积分?|x-1|dx 等于( A.1 B.-1 C.0 D.2 答案 A

2 0

)

解析 ? 0|x-1|dx=? 0|x-1|dx+? 1|x-1|dx =? 0(1-x)dx+? 1(x-1)dx =(x- )|0+( -x)|1 2 2 1 2 1 =(1- )+( -2)-( -1)=1. 2 2 2 8 5.由曲线 f(x)= x与 y 轴及直线 y=m(m>0)围成的图形的面积为 ,则 m 的值为( 3 A.2 B.3 C.1 D.8 答案 A 解析 )
2 1 2

2

1

2

x2

1

x2

2

S??

m2

0

2 3 2 8 m2 (m ? x )dx ? (mx ? x 2 ) |0 ? m3 ? m3 ? , 3 3 3

解得 m=2.
2 2 21 2 x 6.若 S1=? 1x dx,S2=? 1 dx,S3=? 1e dx,则 S1,S2,S3 的大小关系为(

x

)

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

8

答案 B 1 3 2 8 1 7 解析 方法一 S1= x |1= - = , 3 3 3 3

S2=ln x|2 1=ln 2<ln e=1,
2 2 S3=ex|2 1=e -e≈2.7 -2.7=4.59,

所以 S2<S1<S3. 1 2 x 方法二 S1,S2,S3 分别表示曲线 y=x ,y= ,y=e 与直线 x=1,x=2 及 x 轴围成的图形

x

的面积,通过作图易知 S2<S1<S3. 7.

?

π 2 0

π 2 sin( x ? )dx ? ________. 4
π 2 0

答案 2 解析 依题意得
π

?

π 2 sin( x ? )dx 4
π

2 ? ? 2 (sin x ? cos x)dx ? (sin x ? cos x) |0 0

=(sin

π π -cos )-(sin 0-cos 0)=2. 2 2

π π 8.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为________. 3 3 答案 3

解析 所求面积 S ?

?

π 3 π ? 3

cos xdx ? sin x | 3 π
? 3

π

π π =sin -(-sin )= 3. 3 3 *9.(2016?湖北省重点中学高三阶段性统一考试 ) 若函数 f(x) 在 R 上可导, f(x) = x +
2 x2f′(1),则? 0f(x)dx=________. 3

答案 -4 解析 因为 f(x)=x +x f′(1), 所以 f′(x)=3x +2xf′(1). 所以 f′(1)=3+2f′(1),解得 f′(1)=-3. 所以 f(x)=x -3x . 故? 0f(x)dx=? 0(x -3x )dx=( -x )|0=-4. 4 10.已知 f(a)=? 0(2ax -a x)dx,则函数 f(a)的最大值为________.
1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2

x4

3

2

9

答案

2 9

2 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 解析 f(a)=? 0(2ax -a x)dx=( ax - a x )|0=- a + a, 3 2 2 3 2 2 -? ? 3 2 由二次函数的性质可得 f(a)max= = . 1 9 4??- ? 2 1 11.求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 解 由?

?y= x, ?y=2-x

得交点 A(1,1);

y=2-x, ? ? 由? 1 y=- x ? 3 ?

得交点 B(3,-1).

1 1 ? 1? 3? x+ x? 故所求面积 S=? dx+? 0? ? 1?2-x+ x?dx 3 ? 3 ? ? ?

2 3 1 1 2 3 ? ( x 2 ? x 2 ) |1 x ) |1 0 ?(2 x ? 3 6 3
2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6 π π 12.(2016?武汉模拟)如图,矩形 OABC 的四个顶点依次为 O(0,0),A( ,0),B( ,1), 2 2

C(0,1),记线段 OC,CB 以及 y=sin x(0≤x≤ )的图象围成的区域(图中阴影部分)为 Ω ,
若向矩形 OABC 内任意投一点 M,求点 M 落在区域 Ω 内的概率.

π 2

解 阴影部分的面积为

?

π 2 0

(1 ? sin x)dx ?

π ? 1, 2
10

π π 矩形的面积是 ?1= , 2 2 π -1 2 2 所以点 M 落在区域 Ω 内的概率为 =1- . π π 2 1 *13.已知函数 y=F(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0),B( ,5),C(1,0),求函数 y= 2

xF(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积.
1 ? ?10x,0≤x≤2, 由题意,F(x)=? 1 ?-10x+10,2<x≤1, ?
2



1 ? ?10x ,0≤x≤2, 则 xF(x)=? 1 ?-10x +10x,2<x≤1, ?
2

所以函数 y=xF(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为

?

1 2 0

10 3 1 10 2 10 x dx ? ?1 (?10 x ? 10 x)dx ? x |0 ?(5 x 2 ? x3 ) |11 3 3 2 2
2 1 2

10 1 10 5 10 1 5 = ? +(5- )-( - ? )= . 3 8 3 4 3 8 4

11


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