【导与练】2016高考数学二轮复习 专题五 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积课件 文_图文

◆专题五 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积

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年份 2011 考点 三视图与 其直观图 由三视图 求面积、 体积 多面 体、球 16 8 2012 Ⅰ 2013 Ⅱ 9 Ⅰ 8 2014 Ⅱ Ⅰ 2015 Ⅱ

7

11

6

11

6

8

15

15

7

6

10

真题导航
1.(2013新课标全国卷Ⅱ,文9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图 中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( A )

解析:在空间直角坐标系中作出四面体 OABC 的直观图如图所示,作顶点 A,C 在 zOx 平面的投影 A′,C′,可得四面体的正视图.故选 A.

2.(2012新课标全国卷,文7)如图,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画 出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18

1 1 解析:由题意知,V= × ×6×3×3=9.故选 B. 3 2

3.(2014新课标全国卷Ⅰ,文8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线 画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( (A)三棱锥 (B)三棱柱 (C)四棱锥 B ) (D)四棱柱

解析:由题三视图得直观图如图 所示,为三棱柱.故选 B.

4.(2014 新课标全国卷Ⅱ,文 7)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,侧 棱长为 3 ,D 为 BC 的中点,则三棱锥 A-B1DC1 的体积为( (A)3
3 3 (C)1 (D) 2 2 解析:由题意可知 AD⊥BC,
C )

(B)

由面面垂直的性质定理可得 AD⊥平面 DB1C1, 又 AD=2·sin 60°= 3 , 所以 VA ? B 1 DC1 = =
1 AD· S ?B1 DC1 3

1 1 × 3 × ×2× 3 =1, 3 2

故选 C.

5.(2011 全国新课标卷,文 16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和 底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
解析:设球半径为 R,圆锥底面半径为 r,球心 O 到圆锥底面的距离 d, 则 R =r +d .所以又πr = 所以 d=
2 2 2 2

3 ,则 16

.

3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 4πR ,所以 r = R ,所以 d =R -r = R , 16 4 4

1 1 R.所以较小圆锥的高 h1=R-d= R. 2 2

h1 1 1 3 较大圆锥高 h2=R+ R= R, = . 2 2 h2 3
1 答案: 3

备考指要
1.怎么考

(1)考查角度:
①给出三视图的两种视图,求另一视图. ②由三视图还原直观图求线段的长度、面积、体积等. ③给出空间几何体的直观图,求表面积或体积(特别是求体积). ④与球有关的“接”“切”问题. (2)题型难易度:选择题、填空题,中、低档. 2.怎么办

(1)熟练掌握简单几何体的结构特征及其表面积、体积计算.
(2)熟练掌握与球有关的“切”、“接”问题中的几何关系.

核心整合
1.棱柱、棱锥
(1)棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的

多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高
相等且侧面与对角面是矩形. (2)正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高(侧面等腰三角形底边上的高) 相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥 的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面上的 斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的

射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形.

2.三视图 (1)正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方 观察几何体得到的投影图.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽, 正侧一样高; (2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视 图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.

3.几何体的切接问题
(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直 径即是棱柱的体对角线. (2)解决柱、锥的内切球问题的关键是找准切点位置,化归为平面几何 问题.

4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S=2π r(r+l); ②圆锥的表面积 S=π r(r+l); 2 2 ③圆台的表面积 S=π (r′ +r +r′l+rl); ④球的表面积 S=4π R2. (2)体积公式

①柱体的体积 V=Sh;
1 ②锥体的体积 V= Sh; 3

1 ③台体的体积 V= (S′+ SS ? +S)h. 3

④球的体积 V=

4 π R3. 3

温馨提示

在有关体积,表面积的计算应用中注意等积法的应用.

热点精讲
热点一
空间几何体的三视图

【例 1】 (1)(2015 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长 棱的棱长为( (A)1 ) (C) 3 (D)2 (B) 2

解析:(1)该几何体是底面为正方形,一侧 棱垂直于底面的四棱锥,最长棱的棱长为
12 ? 12 ? 12 = 3 ,故选 C.

(2)(2015 江西九江二模)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 A1B1,A1D1 的中点,如图是该正方体被过 A,M,N 和 D,N,C1 的两个截面截去两个角后 所得的几何体,则该几何体的正视图为( )

解析:(2)该几何体的正视图应为正方形,其中AM的投影为实线,DC1的

投影是虚线,故选B.

方法技巧

将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,其解题技巧

是熟练掌握常见简单几何体及其组合体的三视图,特别是正方体、长方体、

圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥等几何体的三视图.

举一反三1-1:如图,一个棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形, 则这个三棱柱的俯视图为( )

解析:由正视图和侧视图可知,这是一个横放的正三棱柱,一个侧面水平 放置,则俯视图应为D.

热点二

空间几何体的表面积和体积

【例 2】 (1)(2015 河北沧州 4 月质检)如图为一个几何体的三视图,则该几 何体的表面积为( (A)8+4 2 (C)8+2 2 ) (B)12+4 2 (D)12+2 2

解析:(1)该几何体为直棱柱,其表面为两个边长为 2 的正方形;两个直角边长为 2 的等腰直角三角形; 一个边长为 2 和 2 2 的长方形,所以其表面积为 S=2×2 +2×
2

1 ×2×2+2×2 2 =12+4 2 .故选 B. 2

(2)(2014 新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm), 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( (A) )
17 27

(B)

5 9

(C)

10 27

(D)

1 3
2

解析: (2)原来毛坯体积为 V=π×3 ×6=54π, 零件的体积 V1=π×3 ×2+π×2 ×4=34π, 所求的比值为
V ? V1 54 ? 34 10 = = .故选 C. V 54 27
2 2

方法技巧

求解几何体的表面积及体积的技巧

(1)求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是底面放在已 知几何体的某一面上,其高易求.

(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转
化为规则几何体来求解. (3)求表面积,其关键思想是空间问题平面化.

举一反三 2-1:(1)(2014 安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面 体的表面积为( (A)21+ 3 (C)21 ) (B)18+ 3 (D)18

解析:(1)由题中三视图可知,该多面体是棱长为 2 的正方体去掉 两个全等的三棱锥后得到的几何体,因此其表面积为 6×2×2-6×
答案: (1)A

3 1 2 ×1×1+2× ×( 2 ) =21+ 3 ,故选 A. 4 2

(2)如图所示,已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A,CC1 的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为 .

解析:(2)连接 A1C1,B1D1 交于点 O1,连接 B1D,EF,过 O1 作 O1H⊥B1D 于 H. 由题意得 EF∥A1C1, 又 EF? 平面 B1EDF 且 A1C1? 平面 B1EDF, 所以 A1C1∥平面 B1EDF. 所以 C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离. 易知平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, 所以 O1H⊥平面 B1EDF,即 O1H 为棱锥 C1 B1EDF 的高. 因为△B1O1H∽△B1DD1,所以 O1H=
B1O1 ? DD1 6 = a. B1D 6

1 1 1 所以 VC1 ? B1 EDF = S四边形B1 EDF ·O1H= × ×EF·B1D·O1H= 3 3 2 1 3 6 答案:(2) a 1 1 1 3 × × 2 a· 3 a· a= a . 6 6 3 2 6

热点三

多面体与球的切接问题

【例 3】 (1)(2015 山西大同三模)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的体积为 4,底 面 ABCD 的边长为 2 ,则四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的外接球的表面积为 .

解析:(1)正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的体积 V= 2 × 2 ·CC1=4,得 CC1=2, 所以正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 外接球半径 r=
1 2 2 2 2 +( 2 ) +( 2 ) = 2, 2

所以 S 表=4π×( 2 )2=8π.
答案: (1)8π

(2)(2015江西上饶高三模拟)A,B,C三点在同一球面上,∠BAC=135°,BC=4, 且球心O到平面ABC的距离为1,则此球O的体积为 .

解析: (2)在△ABC 中,∠BAC=135°,BC=4, 设△ABC 外接圆半径为 r,球的半径为 R, 由正弦定理得 2r=
BC 4 = =4 2 , sin ?BAC 2 2

所以 r=2 2 , 因为 R2=r2+1, 所以 R=3, 此球的体积 V=
答案:(2)36π
4 4π 3 3 πR = ×3 =36π. 3 3

方法技巧

多面体与球接、切问题的求解策略

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点 (一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几 何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图, 确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程

(组)求解.这也是解决此类问题的易错点.
(2)若四点P,A,B,C在球面上,且线段PA,PB,PC两两互相垂直,设PA=a, PB=b,PC=c,一般把四面体P-ABC“补形”成为一个球内接长方体,则 4R2=a2+b2+c2求解.

举一反三 3 1:(2015 辽宁沈阳一模)已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 6 , 顶点 A,B,C 在半球的底面内,顶点 D 在半球球面上,且在半球底面上的射影为 半球球心,则此半球的体积是 .

解析:依题意可知,正四面体的高即为球的半径, 顶点 A 到△ABC 的中心的距离为
3 2 d= × × 6= 2, 2 3

所以球的半径 R= ( 6) 2 ? ( 2) 2 =2, 所以半球的体积为 V=
1 4 1 4 16π × πR3= × π×8= . 2 3 2 3 3

答案:

16π 3

备选例题
【例 1】 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 ,∠ASC= ∠BSC=30°,则三棱锥 S ABC 的体积为( (A)3 3 (B)2 3 (C) 3 (D)1 )

解析:如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD. 由于 SC 是球的直径, 所以∠SAC=∠SBC=90°, 又∠ASC=∠BSC=30°, SC 为公共边, 所以△SAC≌△SBC. 由于 AD⊥SC, 所以 BD⊥SC. 由此得 SC⊥平面 ABD.

1 所以 VS ? ABC = VS ? ABD + VC ? ABD = S△ABD·SC. 3

由于在 Rt△SAC 中,∠ASC=30°,SC=4, 所以 AC=2,SA=2 3 ,所以 AD=
SA ? CA = 3. SC

SB ? CB 同理在 Rt△BSC 中有 BD= = 3. SC

又 AB= 3 ,所以△ABD 为正三角形,
1 所以 VS ? ABC = S ?ABD ·SC 3 1 1 = × ×( 3 )2·sin 60°×4= 3 .故选 C. 3 2

【例2】 正四面体A-BCD的棱长为4,E为棱BC的中点,过E作其外接球的截 面,则截面面积的最小值为 .
解析:将正四面体 A BCD 放置于正方体中,如图所示. 可得正方体的外接球就是正四面体 A BCD 的外接球, 因为正四面体 A BCD 的棱长为 4, 所以正方体的棱长为 2 2 , 可得外接球半径 R 满足 2R=2 2 × 3 ,解得 R= 6 . E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,当截面到球心 O 的距离最大时,截面圆的 面积最小, 此时球心 O 到截面圆的距离等于正方体棱长的一半, 截面圆的半径为 r= R 2 ? 2 =2, 所以截面圆面积的最小值为 S=πr2=4π.

答案:4π


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