湖南省怀化市2013届高三第三次模拟考试统一检测数学文试题 Word版含答案

湖南省怀化市 2013 届高三第三次模拟考试统一检测试卷



学(文科)

本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题

共 45 分)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共计 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把 正确答案的代号填在答题卡上. 1.已知集合 M ? ?1, 2? , N ? 2a ? 1 a ? M ,则 M ? N 等于 A. ?1? 2. z ? B. ?1, 2? C. ?1, 2,3? D. ?

?

?

D. 25 ? ? ? ? ? ? 3. 设向量 a , b ,命题“若 a ? ?b ,则 | a |?| b | ”的逆否命题是 ? ? ? ? ? ? ? ? A. 若 a ? ?b ,则 | a |?| b | B. 若 a ? ?b ,则 | a |?| b | ? ? ? ? ? ? ? ? C. 若 | a |?| b | ,则 a ? ?b D. 若 | a |?| b | ,则 a ? ?b 4.函数 f ( x) ? A. x ?

3 ? 4i (其中 i 为虚数单位) ,则 | z | 为 i A. 4 B. 5 C. 7

?
3

3 1 sin x ? cos x 的一条对称轴是 2 2 ? ? B. x ? C. x ? 6 4

D. x ?

?
12

5.―个锥体的主视图和左视图如下图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是

6.

右图是某种零件加工过程的流程图: 已知在一次这种零件 1000 个零件有 99.4%的零件进入精加工工序. 所有零件 个废品,则精加工工序产生的废品数为:

的加工过程中,到达的 加工完后,共得到 10

A.7

B.6

C.5

D.4

7 . 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 x , y 满 足 则 z ? ?2 x ? y 的最大值为 A. 0
2 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 , ?y ?1 ?
C. ?3 D. ?2

B.1

8.若双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,线段 F1 F2 被抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 3 : 2 的 2 a b
B.

两段,则此双曲线的离心率为 A.

9 8

6 37 37

C.

5 3 3

D.

9.已知 m ? 0 ,f ( x) 是定义在 R 上周期为 4 的函数, x ? ( ?1,3] 上 f ( x) ? ? 在 ? 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围是 A. ?

?m(1? | x |), x ? ? ?1,1? , x ? ?1, 3? ?? cos ? 2

5 21 21

?x

, 若方程 f ( x) ?

x 3

? 4 8? , ? ? 3 3?

B. [ , ]

4 8 3 3

C. [ , ??)

4 3

D. ( , ??)

4 3

第Ⅱ 卷(非选择题

共 105 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10.计算 (log 2 9) ? (log3 4) ? . 11. 二进制数 10011 ( 2 ) 化为十进制数是 . . .

? x ? cos? 12. 直线 l : ? cos ? ? t (常数 t ? 0) )与圆 ? (? 为参数)相切,则 t ? ? y ? 1 ? sin ? , 13. 实数 a ?[0, 3] b ?[0, 2] ,则关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 有实根的概率是 14.

求 程( ) ? ( ) ? 1 的 ”有 下 题 路 设 f ( x) ? ( ) ? ( ) , f ( x) 在 单 递 , f (2) ? 1 , 以 方 有 一 “方 解 如 解 思 : 则 所 原 程 唯 R上 调 减 且
x x x x

3 5

4 5

3 5

4 5

解x ? 2 . 类 上 解 思 , 比 述 题 路 方程 x6 ? x2 ? ( x ? 2)3 ? ( x ? 2) 的解集为

.

? g ( x)( x ? 0) 15.规定满足 “ f (? x) ? ? f ( x) ”的分段函数叫“对偶函数”,已知函数 f ( x) ? ? 2 是对偶函数,则 ? x ? 4 x( x ? 0) (1) g ( x) = .
(2)若 f [(?

1 m )? ]? 0对于任意的 n ? N * 都成立,则 m 的取值范围是____. 10 i ?1 i (i ? 1)

n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , cos B ?

4 . 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ )若 BC ? 10 , D 为 AB 的中点,求 AB , CD 的长. 17. (本小题满分 12 分) 每年的三月十二日是中国的植树节.林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测. 现从 甲、乙两批树苗中各抽了 10 株,测得髙度如下茎叶图,(单位:厘米),规定树苗髙于 132 厘米为“良种树苗”.

( I)根据茎叶图,比较甲、乙两批树苗的高度,哪种树苗长得 (Ⅱ 设抽测的 10 株甲种树苗高度平均值为 ) x ,将这 10 株树苗的 S 为多少?. 入如图程序框图进行运算,问输出的 ( Ⅲ)从 抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取 2 株,至少 1 株是 概率.

整齐? 高度依次输 甲种树苗的

18. (本小题满分 12 分) 已知正方形 ABCD 中 (图 分别是 AB ,CD 的中点,将 折起(图乙) 记二面角 , ? (0 ? ? ? ? ) . (I)证明 BF // 平面 ADE; (II) 若△ACD 为正三角

A-DE-C

甲) E ,F , △ADE 沿 DE 的 大 小 为

形,试判断点 A 在平面

BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上. 若认为在,证明你的结论,并求角 ? 的余弦值;若认为不在,说明理由.

19. (本小题满分 13 分) 某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不作广告宣传时,每件获利 a 元,可卖出 b 件; 若作广告宣传,广告费为 n 千元比广告费为(n —1)千元多卖出

b 件, (n∈ *). N 2n

(I)试写出销售量 Sn 与 n 的函数关系式; (II)当 a =10,b=4000 时,厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告,才能获利最大?

20. (本小题满分 13 分) x y 1 x2 y 2 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 3, ) ,离心率 e ? ,若点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,则称点 N ( 0 , 0 ) a b 2 a b 2 为点 M 的一个“椭点”,直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点. 若点 A , B 的“椭点”分别是 P , Q ,且以 PQ 为直径的圆经过 坐标原点 O . (Ⅰ 求椭圆 C 的方程; ) (Ⅱ 若椭圆 C 的右顶点为 D ,上顶点为 E ,试探究 ?OAB 的面积与 ?ODE 的面积的大小关系,并证明. )

21. (本小题满分 13 分) 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x , a ? R. (Ⅰ )若函数 f ( x) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围;

x (Ⅱ )令 g (x) ? f (x) ? 2 ,是否存在实数 a ,使得当 x? (0, e] ( e 是自然常数)时,函数 g ( x) 的最小值是 3. 若存在, 求出 a 的值;若不存在,说明理由;
(Ⅲ )当 x? (0, e] 时,证明:

5 e2 x2 ? x ? ( x ? 1)ln x 2

参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 9 ? 45 )
/ /

题号 答案
/

1 D

2 B
/

3 B

4 A

5 D

6 D

7 C

8 C

9 A

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 )

10.7;

11. 4 3 ;

12.5820 ;

13.5;

14. 5 ;

n

15.

2 , 4. 3

三、解答题:

16 解: (Ⅰ)由题意可知

x ? 0.15 , ∴ x =450(人)?????3 分 3000

(Ⅱ)由题意知,肥胖学生人数为 y ? z ? 500(人) 设应在肥胖学生中抽取 m 人, 。 则

m 60 ? , ∴ m ? 10 (人) 500 3000

答:应在肥胖学生中抽 10 名????6 分

(Ⅲ)由题意可知, y ? z ? 500,且 y ? 243, z ? 243 ,满足条件的 ( y , z )有(243,257)(244,256) , ,?, (257,243) ,共有 15 组。 设事件 A: “肥胖学生中男生不少于女生” ,即 y ? z ,满足条件的( y , z ) (243,257)(244,256) , ,?, (250,250) ,共有 8 组,所以

P ( A) ?

8 8 。答:肥胖学生中男生不少于女生的概率为 ????12 分 15 15

17.(Ⅰ)证明: an ? an ?1 ? 2an an ?1 ? 0 两边同除以 a n a n ?1 得: 所以数列 {

1 1 ? ?2 a n a n ?1

1 } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列????3 分 an

于是

1 1 , (n ? N ? ) ???????6 分 ? 2n ? 1 , a n ? 2n ? 1 an

(Ⅱ)由(Ⅰ), bn ?

1 则 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

b1 ? b2 ? ? ? bn ?

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) = (1 ? ) ? ?????12 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2

18 解:(Ⅰ)? 函数 y ? f (t ) 可以近似地看做 y ? A sin ?t ? k ,

? 由数据知它的周期 T ? 12 ,振幅 A ? 3 , k ? 10 ????3 分
? 2? ? 12 ,? ? ?

?
6

?

. 故 y ? 3sin

?
6

t ? 10 ???????6 分

(Ⅱ)该船进出港口时,水深应不小于 6.5 ? 5 ? 11.5m ,而在港口内,永远是安全的, 由 3sin

?
6

t ? 10 ? 11.5 得 sin

?
6

t?

1 ?????9 分 2

? 2k? ?

?
6

?

?
6

t ? 2k? ?

5? , k ? Z , 即12 k ? 1 ? t ? 12 k ? 5(k ? N ), 6

在同一天内,取 k ? 0.1, 则 ? t ? 5或13 ? t ? 17 ????????11 分 1 故该船最早能在凌晨 1 时进港,最迟在下午 17 时离港,在港口内最多停留 16 小时. ?????12 分 19(Ⅰ)证明:? PA⊥ ABCD,BC 在面 ABCD 内, 面 ∴PA⊥ BC BA⊥ BC,PA∩BA=A,∴ BC⊥ PAB, 面 又∵ 在面 PAB 内∴BC⊥ ? AE⊥ AE AE PB,BC∩PB=B, ∴ AE⊥ 面 PBC 又 ∵ PC 在 面 PBC 内 ? AE⊥ PC, ? AF⊥ PC, AE∩AF=A, ∴ PC⊥ 面 AEF ???????6 分 (Ⅱ PC⊥ AEF, ∴AG⊥ ) 面 PC, ? AG⊥ ∴ DC PC∩DC=C AG⊥ PDC, 面 ∵ 在面 PDC 内∴ GF AG⊥ ? △AGF 是直角三角形, GF

由(1)可知△AEF 是直角三角形,AE=AG= 2 ,EF=GF=

6 3

∴S ?AEF ?

3 3 , S AGF ? 又 3 3

AF=

2 6 2 3 2 3 ,∴S AEFG? , PF= 3 3 3 1 2 3 2 3 4 ? ? ? ?????13 分 3 3 3 9
b b 1 ? ln x, ? f ?( x) ? 2a ? 2 ? ....................2 分 x x x

∴VP ? AEFG ?

20 解: (Ⅰ)? f ( x) ? 2ax ?

? f ( x) ? 2ax ?

b 1 ? ln x 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值 x 2 ? 2a ? b ? 1 ? 0 1 1 ∴ f ?(1) ? 0 , f ?( ) ? 0 , ∴ ? 解得: a ? b ? ? .............4 分 2 3 ?2a ? 4b ? 2 ? 0 1 ?2(x ? 1)(x ? ) 2 1 1 1 2 , 当 a ? b ? ? 时, f ?( x) ? ? ? 2 ? = 2 3 3x x 3x 3 1 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 与 x ? 处都取得极值. 2 1 ∴ a ? b ? ? ..................7 分 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 y =f ( x) ? ln x ? ?

2 1 1 x + 在 [ , 上递减, 2] 3 3x 2

∴ [f (x) ? ln x]min =f (2)= ?

7 ................. 9 分 6

又 函数 g (x) = x 2 ? 2mx +m 图象的对称轴是 x =m (1)当 m <

1 1 1 1 7 1 时: g (x) min =g ( )= ,依题意有 ? ? 成立, ∴ m< 2 2 4 4 6 2

(2) 当

3 ? 51 3+ 51 1 7 即 g ?m? ? m ? 2 时: (x) min =g (m)=m ? m 2 ,∴ m ? m 2 ? ? , 6m 2 ? 6m ? 7 ? 0 ,解得: 6 6 2 6
1 3+ 51 1 ? m ? 2 ,∴ ? m ? 2 6 2

又∵

(3)当 m >2 时: g (x) min =g (2)=4 ? 3m ,∴ 4 ? 3m ? ?

7 31 , ?m ? , 又 m >2 ,∴ m ? ? 6 18

综上: m ?

3+ 51 6
3+ 51 ] ..................... 13 分 6

所以,实数 m 的取值范围为 ( ? ?,

21 解: (Ⅰ)由椭圆的方程知 a ? 1 ,? 点 B (0, b) , C (1, 0) ,设 F 的坐标为 (?c, 0) ,

b b ? FC 是 圆P 的直径,? FB ? BC ,? k BC ? ?b, k BF ? ,??b ? ? ?1 ........... 2 分 c c

? b 2 ? c ? 1 ? c 2 , c 2 ? c ? 1 ? 0 解得 c ?

5 ?1 c 5 ?1 ,? 椭圆离心率 e ? ? ....... 4 分 2 a 2

(Ⅱ)? 圆P 过点 F , B, C 三点,? 圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,也在 BC 的垂直平分线上,FC 的垂直平分线方程 为x?

1? c 2



1 b b 1 1 ? BC 的中点为 ( , ), k BC ? ?b ,? BC 的垂直平分线方程为 y ? ? ( x ? ) 2 2 2 b 2



由①②得 x ?

1? c b2 ? c 1 ? c b2 ? c ,y? , ) ,即 P( ...................7 分. 2 2b 2 2b

? P 在直线 x ? y ? 0 上,?

1 ? c b2 ? c ? ? 0 ? (1 ? b)(b ? c) ? 0 ,?1 ? b ? 0,? b ? c 。 2 2b

由 b2 ? 1 ? c2 得 b2 ?

1 2 2 ,? 椭圆的方程为 x ? 2 y ? 1 ...................9 分 2
(*)

(Ⅲ)由 ?

?y ? x ?t ?x ? 2 y ? 1
2 2

得 3 x 2 ? 4tx ? 2t 2 ? 1 ? 0

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

4 2t 2 ? 1 t , x1 x2 ? 3 3

? 16t 2 8t 2 ? 4 ? 2 2 | MN | ? 2[( x ? x) ? 4 x1 x2 ] ? 2? ? 9 ? 3 ? ? 9 ? 8t ? 12 ................11 分. ? ? ?
2 2

?

?

2 2 2 1 (?8t 2 ? 12) ? 8t 2 2 1 2 2 2 | MN | ? | OQ |? (?8t ? 12) | t | ? (?8t ? 12)t ? ? ( ) ? ? 6 ? 1 ...................13 分 9 9 9 8 2 6
当且仅当 ?8t 2 ? 12 ? 8t 2 , t 2 ?

12 3 ? 时取等号。此时方程(*)中的 Δ>0, 16 4

?| MN | ? | OQ | 的最大值为 1................13 分


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