(参考)2019年高中数学1-1空间几何体1-1-6棱柱棱锥棱台和球的表面积课堂探究新人教B版必修2

(参考)2019 年高中数学 1-1 空间几何体 1-1-6 棱柱棱锥棱台和球的 表面积课堂探究新人教 B 版必修 2
课堂探究 探究一 棱柱、棱锥、棱台的面积问题
对于多面体,只有直棱柱,正棱锥和正棱台可直接用公式求侧面 积,其余多面体的侧面积要把每个侧面积求出来再相加,求解时还要 注意区分是求侧面积还是表面积.
【典型例题 1】 如图所示,正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm, 高与斜高的夹角为 30°,求该正四棱锥的侧面积和表面积.
思路分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底 面边长和各侧面的斜高,我们可以把问题转化到三角形内加以分析求 解.
解 : 正 四 棱 锥 的 高 PO , 斜 高 PE , 底 面 边 心 距 OE 组 成 一 个 Rt△POE.
因为 OE=2 cm,∠OPE=30°, 所以 PE==4(cm). OE
sin 30?
因此 S 正四棱锥侧=ch′=×4×4×4=32(cm2), 1 1
22
S 正四棱锥表=S 正四棱锥侧+S 正四棱锥底=32+4×4=48(cm2). 点评解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的 直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体的表 面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平面几何
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图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.
【典型例题 2】 已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm, 高是 1 cm,求它的侧面积.
解:如图所示是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分(其余部 分省略),则侧面 ABB1A1 为等腰梯形,OO1 为高,且 OO1=1 cm,AB= 1 cm,A1B1=2 cm,取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1, 则 CC1 为正六棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.
根据正六棱台的性质可得,

OC=AB= (cm), 3 3
22

O1C1=A1B1=(cm), 3
2
所以 CC1== (cm).又知上、下底面周长分别为 c=6AB=6(cm), c′=6A1B1=12(cm),斜高 h′=CC1=cm.所以正六棱台的侧面积为 S 正 六 棱 台 侧 = (c + c′)h′ = ×(6 + 12)× =

(cm2).

OO12 ? (O1C1 ? OC)2

7 2

711 2 22

79 7 22

点评求正棱台的侧面积同正棱锥类似,除了利用相对应的侧面积 公式,也要利用正棱台中的核心直角梯形.

探究二 圆柱、圆锥、圆台的面积问题

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S 圆柱侧=2πrl,S 圆锥侧 =πrl,S 圆台侧=π(r1+r2)l,

如上图,当 r1 变化时,相应的图形也随之变化,当 r1=0,r2=r 时,相应的圆台就转化为圆锥,而当 r1=r2=r 时,相应的圆台就转 化为圆柱,相应的侧面积公式也随之变化.

圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为

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S 圆 柱 侧 = 2πrlS 圆 台 侧 = π(r1 + r2)lS 圆 锥 侧 =
πrl. ?r?1?r2??r? ?r?1?0.?r2 ?r??

2.对于圆锥还要明确如下结论:

(1)圆锥的侧面展开图是扇形.

(2)圆锥的底面周长?扇形的弧长.

(3)圆锥的母线长?扇形的半径.

(4)S 扇 形 = ( 其 中 n° 为 扇 形 圆 心 角 的 度 数 , r 为 扇 形 的 半 径). n? r2
360
【典型例题 3】 (1)圆锥的底面直径为 6,高是 4,则它的侧面积 为( )

A.12π

B.24π

C.15π

D.30

解析:作圆锥轴截面如图,高 AD=4,底面半径 CD=3,则母线 AC=5,得 S 侧=π×3×5=15π.

答案:C

(2)矩形的边长分别为 1 和 2,分别以这两边所在直线为轴旋转, 所形成几何体的侧面积之比为( )

A.1∶2

B.1∶1

C.1∶4

D.1∶3

解析:以边长 1 的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积 S1 =2π×2×1=4π,以 2 所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积 S2= 2π×1×2=4π,故 S1∶S2=1∶1,选 B.

答案:B

探究三 球的切接问题

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对球的表面积公式的考查,通常与球的性质结合在一起.与其他 多面体和旋转体组合也是考查球的表面积的一种常见方式.

常见的有关球的一些性质:

(1)长方体的 8 个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球 的直径;球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长; 球与正方体的 12 条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.

(2)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也 等于圆柱底面圆的直径.

【典型例题 4】 (1)已知长方体的长、宽、高分别为 2,3,6,则其 外接球的表面积为( )

A.196π

B.49π

C.44π

D.36π

解析:长方体的体对角线长为=7,所以其外接球的直径为 2R=7, 即 R=,所以它的表面积为 4πR2=49π.故选 B. 22 ? 32 ? 62 7
2
答案:B

(2)已知圆台内有一表面积为 144π cm2 的内切球,如果圆台的下 底面与上底面半径之差为 5 cm,求圆台的表面积.

解:其轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为 r1,r2, 母线长为 l,球半径为 R,则 r2-r1=5,母线 l=r1+r2.

因为 4πR2=144π,所以 R=6.

又 l2=(2R)2+(r2-r1)2,

所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132.

所以 r1+r2=13.

结合 r2-r1=5 得 r1=4,r2=9,所以 l=13.

所以 S 圆台表=++π(r1+r2)l? r12 ? r22

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=π·42+π·92+π(4+9)·13=266π(cm2).

探究四 易错辨析

易错点:因考虑不全面而致误

【典型例题 5】 用互相平行且距离为 27 的两个平面截球面,两个 截面圆的半径分别为 r1=15,r2=24,试求球的表面积.

错解:设球的半径为 R,由题意可设球心到两平行平面的距离为 OO1=d1,OO2=d2,如图所示,

可得

d1,d2,R

之间的关系:

?R2

? ?

R

2

? 152 ? d12 ,

?

242

?

d

2 2

,

??d1 ? d2 ? 27,

所以 225+=576+(27-d1)2, d12

解得 d1=20,d2=7,R=25.

所以 S 球=4πR2=2 500π.

错因分析:错解中只分析了两平行平面位于球心异侧的情况,还 应该讨论两平行平面位于球心同侧的情况.

正解:设球的半径为 R,球心 O 到两平行截面的距离分别为 OO1= d1,OO2=d2.

(1)当两平行截面位于球心 O 异侧时,

?R2

如图①,则

? ?

R

2

? 152 ? d12 , ? 242 ? d22 ,

??d1 ? d2 ? 27,

所以 225+=576+(27-d1)2. d12

解得 d1=20,d2=7,R=25.

所以 S 球=4πR2=2 500π.

5/6

(2)当两平行截面位于球心 O 同侧时,如图②,则所以 225+=576

+(d1-27)2.

?R2

? ?

R

2

? ?

152 242

? d12 , ? d22 ,

d 12

??d1 ? d2 ? 27,

解得 d1=20,d2=-7,不符合题意,即这种情况不存在.

综上可知,球的表面积为 2 500π.

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