上海市延安中学2016届高三第二学期适应性考试(三模)数学(理)试题 Word版含答案

高三年级 数学(理科)试卷 一、填空题:本题满分 56 分,每小题 4 分 1. ( x ? 1)5 的展开式中, x 的系数为
2

. .

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0, x ? N *} ,则用列举法表示集合 A ? 3.若

log 2 x ?1 ? 0 ,则 x ? ?4 2



4.函数 f ( x) ? x2 ( x ? ?2) 的反函数是 5.在极坐标系中,已知点 P (1,



?

) 和 Q (2, ) ,则 | PQ |? 6 2

?



6.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线过点 (4,3) ,且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 20 x a 2 b2


的准线上,则双曲线的方程为

7.在复平面上,已知复数 z1 与 z2 的对应点关于直线 y ? x 对称,且满足 z1 z2 ? 9i ,则

| z1 |?



8.设甲、 乙两个圆柱的底面面积分别为 S1 , S2 , 体积为 V1 , V2 , 若它们的侧面积相等且

S1 9 ? , S2 4



V1 的值是 V2



9.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 .

10.已知随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P(? ? 0) ?

1 , E (? ) ? 1 ,则 D(? ) ? 5



11.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? 4cos x ,若对任意 x ? R 均有 f ( x) ? f (? ) ,则 tan ? 的值等 于 .

12.如图所示,求一个棱长为 2 的正四面体的体积,可以看成一个棱长为 1 的正方体切去四 个角后得到,类比这种分法,一个相对棱长都相等的四面体 A ? BCD ,其三组棱长分别为

AB ? CD ? 5 , AD ? BC ? 13 , AC ? BD ? 10 ,则此四面体的体积为



13.已知等差数列 {an } 的公差 d ? (0,1) ,且

5? 9? sin 2 a3 ? sin 2 a7 ? ?1 ,若 a1 ? (? , ? ) 时, 4 8 sin(a3 ? a7 )


则数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 取得最小值时 n 的值为

14.已知 AB 为单位圆上的弦, P 为单位圆上的点,若 f (? ) ?| BP ? ? BA | 的最小值为 m (其 中??R ) ,单位圆上的运动时, m 的最大值为 二、选择题 (本题满分 20 分,每小题 5 分.) 15.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 B.若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 D.若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 16.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2
| x ?m|?1

??? ?

??? ?

??? ? 3 ,则 | AB | 的值为 2





( m 为实数)为偶函数,记 a ? f (log0.5 3) , )

b ? f (log2 5) , c ? f (2m) ,则 a, b, c 的大小关系为(
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b

D. c ? b ? a )

17.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ?| (ax ? 1) x | 在区间 (0, ??) 上递增”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

18.已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 2an ? 实数 a 的取值范围是( A. (??,1) ? (2, ??) )

2 ? 3 ,其首项 a1 ? a ,若数列 {an } 是单调递增数列,则 an

B. (0,1) ? (2, ??)

C. (2, ??)

D. (0, ) ? (2, ??)

1 2

三、解答题(本题满分 74 分)

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,长方体 ABCD ? EFGH ,底面是边长为 2 3 的正方形, DH ? 2 , P 为 AH 中 点. (1)求四棱锥 F ? ABCD 的体积; (2)若点 M 在正方形 ABCD 内(包括边界) ,且三棱锥 P ? AMB 体积是四棱锥 F ? ABCD 体积的

1 ,请指出满足要求的点 M 的轨迹,并在图中画出轨迹图形. 8

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin( 的图象关于 y 轴对称. (1)求函数 g ( x) 的解析式; (2)若存在 x ? [0,

?

x ? x ? ) sin(( ? ) ? sin(? ? x) ,若函数 g ( x) 的图象与函数 f ( x) 4 2 4 2

?
2

] ,使等式 [ g ( x)]2 ? g ( x) ? m ? 0 成立,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线 AB 是以点 E 的圆心的 圆的一部分,其中 E (0, t )(0 ? t ? 25) , GF 是圆的切线,且 GF ? AD ,曲线 BC 是抛物线

y ? ?ax2 ? 50 ( a ? 0 )的一部分, CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.
(1)若 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 16 分) 定义:直线关于圆的圆心距单位 ? ? 圆心到直线的距离与圆的半径之比. (1) 设圆 C0 : x2 ? y 2 ? 1 , 求过点 P(2, 0) 的直线关于圆 C0 的圆心距单位 ? ? 3 的直线方程. (2)若圆 C 与 x 轴相切于点 A(3, 0) ,且直线 y ? x 关于圆 C 的圆心距单位 ? ?

2 ,求此圆

C 的方程.
(3)是否存在点 P ,使过点 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆

C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1与 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的圆心距单位始终相等?若存在,求出相应
的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. 23. (本小题满分 18 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , a3 ,?, an 为 n 阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 0 ;② | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an |? 1 . (1)若等比数列 {an } 为 2 k 阶“期待数列” ( k?N ) ,求公比 q ;
*

(2)若一个等差数列 {an } 既是 2 k 阶“期待数列”又是递增数列( k ? N ) ,求该数列的通
*

项公式; (3)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) .

参考答案 一、填空题 1.10 2. {1, 2} 3.4 4. f ?1 ( x) ? ? x ( x ? 4) 5.

3
12.2

6.

x2 y 2 ? ?1 16 9
14.

7.3

8.

3 2

9.96

10.

2 5

11.

3 4

13.10

3

二、选择题 15.D 16.C 17.C 18.D

三、解答题 19.解: (1) VF ? ABCD ?

1 1 S ? ABCD ? DH ? (2 3) 2 ? 2 ? 8 . 3 3

(2)设点 M 到 AB 的距离为 h ,因为点 P 到平面 AMB 的距离为 1,所以

1 1 VP ? AMB ? ? ? 2 3 ? h ? 1 , 3 2
所以 h ? 3 ,满足要求的点 M 的轨迹是 AD 中点和 BC 中点的连线段. 20.解: (1) f ( x) ? 2 3 sin(

?

? 3 sin( ? x) ? sin x ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) 2 3
设函数 g ( x) 图象上任意一点 P( x, y ) ,则点 P 关于 y 轴对称的点的坐标为 Q(? x, y ) ,

?

x ? x ? ) sin( ? ) ? sin(? ? x) 4 2 4 2

?

即 m ? ?t ? t 在 [?1, 3] 上有解,
2

所以 m ? ?t ? t ? ?(t ? ) ?
2 2

1 2

1 1 ? [?2, ] . 4 4

21.解: (1)因为圆 E 的半径为 OB ? OE ? 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ? 30 , t ? 20 , 令 y ? ?ax2 ? 50 ? 50 ? t ,得 OD ?

t a

圆 E : x2 ? ( y ? 20)2 ? 302 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 ,所以

OD ? AD ? OA ? 24 5 ?10 5 ? 14 5 ,


1 t . ? 14 5 ,又 t ? 20 ,得 a ? 49 a

(2) DF ? OF ? OD ? 50 ? t ?

t a

由题意得: 50 ? t ?

t ? 75 对 t ? (0, 25] 恒成立, a

所以

1 25 恒成立, ? t? a t
25 25 ) min ? 10 , ,即 t ? 25 时, ( t ? t t

当 t ?

所以

1 1 . ? 10 ,解得 a ? 100 a

22.解: (1)因为圆的半径为 1,所以圆心距单位 ? ? 3 等价于圆心到直线的距离等于 3 , 设直线方程为 y ? k ( x ? 2) ,则

| 2k | k ?1
2

?

3 ,解得 k ? ? 3 , 1

所以所求直线方程为 y ? ? 3( x ? 2) .

(2)设所求圆方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? r )2 ? r 2 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? r )2 ? r 2 , 又直线 y ? x 关于圆 C 的圆心距单位 ? ? 所以圆心到直线的距离为 2r ,即 2r ?

2,
|3? r | ,解得 r ? 1 或 r ? 3 , 2

所以圆方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 . (3)解法 1:设存在点 P(m, n) ,过点 P 的任意两条直线为 y ? n ? k ( x ? m) 和

1 y ? n ? ? ( x ? m) , k
由 C1 (?1,0) , r1 ? 1 , C2 (3,3) , r2 ? 2 ,



| ?k ? km ? n | k 2 ?1

3 m | ? ?3? ? n | k , ? k 1 2 2 ?1 k

则 (2m ? n ?1)k ? (2n ? m ? 3) ? 0 恒成立或者 (2m ? n ? 5)k ? (?2n ? m ? 3) ? 0 恒成立, 即 2m ? n ? 1 ? 2n ? m ? 3 ? 0 或 2m ? n ? 5 ? ?2n ? m ? 3 ? 0 , 求得 P(1, ?1) 和 P ( ?

7 11 , ). 5 5

解法 2:当圆心距单位 ? ? 0 时,两互相垂直的直线分别过圆心 C1 , C2 ,交换两直线,则由圆 心距单位相等可得 | PC2 |? 2 | PC1 | ,

???? ? ???? ? ? ? PC2 ? PC1 设 P( x0 , y0 ) ,则有 ? ???? ? ???? ? , | PC | ? 2 | PC ? ? 2 1|
即?

?

( x0 ? 1)( x0 ? 3) ? y0 ( y0 ? 3) ? 0

2 2 2 2 ?( x0 ? 3) ? ( y0 ? 3) ? 4[( x0 ? 1) ? y0 ]

7 ? x0 ? ? ? x0 ? 1 ? ? 5 解得 ? 或? ? y0 ? ?1 ? y ? 11 0 ? 5 ?
当 P(1, ?1) 时,设直线 l1 : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 ,

所以直线 l1 关于圆 C1 的圆心距单位为 ?1 ? 此时直线 l2 : y ? ?

| ?k ? k ? 1| k ?1
2

?

| 2k ? 1| k 2 ?1



1 ( x ? 1) ? 1 ,即 x ? ky ? k ? 1 ? 0 , k

所以直线 l2 关于圆 C2 的圆心距单位为 ?1 ? 同理可验证 P ( ?

| 3 ? 3k ? k ? 1| 2 k 2 ?1

?

| 2k ? 1| k 2 ?1

? ?1 ,

7 11 , ) 也满足条件. 5 5

23.解: (1)若 q ? 1 ,由①得: a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不合题意,舍去; 若 q ? 1 ,由①得: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2 k ? 由②得: a1 ?

a1 (1 ? q 2 k ) ? 0 ,得 q ? ?1 , 1? q

1 1 或 a1 ? ? . 2k 2k

(2)设等差数列的公差是 d (d ? 0) , 因为 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2 k ?

2k (a1 ? a2 k ) ? 0 ,所以 a1 ? a2k ? ak ? ak ?1 ? 0 , 2

因为 d ? 0 ,所以 ak ? 0, ak ?1 ? 0 ,

1 1 , ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?3 ? ? ? a2 k ? , 2 2 1 2 两式相减得 k d ? 1 ,即 d ? 2 , k k (k ? 1) 1 1 ? 2k d ? ? ,得 a1 ? 又 a1k ? , 2 2 2k 2 1 ? 2k 1 2n ? 2k ? 1 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) 2 ? 2 2k k 2k 2
则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ? (3)记 a1 , a2 , a3 , ?, an 中非负项和为 A ,负项和为 B ,

1 1 ,B ? ? , 2 2 1 1 1 因为 ? ? B ? S k ? A ? ,所以 | S k |? . 2 2 2 1 若存在 m ?{1, 2,3,?, n} ,使 S m ? , 2
则 A ? B ? 0 , A ? B ? 1 ,得 A ? 则 a1 ? 0 , a2 ? 0 , ? , am ? 0 , am?1 ? 0 , am?2 ? 0 , ? , an ? 0 ,且

1 am?1 ? am? 2 ? am?3 ? ? ? a2 n ? ? , 2
若数列 {Si }(i ? 1, 2,3,?, n) 是 n 阶“期待数列” ,记 {Si }(i ? 1, 2,3,?, n) 的前 k 项和为 Tk ,

1 1 , Tm ? S1 ? S 2 ? ? ? S m ? , 2 2 1 1 因为 S m ? ,所以 S1 ? S2 ? ? ? Sm?1 ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? am?1 ? 0 , am ? , 2 2 1 又因为 am ?1 ? am ? 2 ? ? ? a2 n ? ? ,则 Sm?1 , Sm?2 ,?, Sn ? 0 , 2
则 | Tk |? 所以 | S1 | ? | S2 | ??? | Sn |? S1 ? S2 ? ?? Sn 所以 S1 ? S2 ? ? ? Sn ? 0 与 | S1 | ? | S2 | ??? | Sn |? 1 不能同时成立, 即数列 {Si }(i ? 1, 2,3,?, n) 不能为 n 阶“期待数列”.


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