天津市耀华中学2013届高三第一次月考 理科数学试题


耀华中学 2013 届高三年级第一次月考 理科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 l20 分钟。 第 I 卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上。 1、i 是虚数单位,复数 A、i 【答案】A B、-i

3+2i 等于 2-3i
D、12+13i

C、12-13i

3+2i = (3+2i)(2 ? 3i) ? 13i ? i (2 【解析】 2 ? 3i (2 ? 3i) ? 3i) 13 ,选 A.
2、下列命题中是假命题的是 A、 ?x ? (0,

?
2

),x> sin x
x

B、 ?x0 ? R, sin x0 + cos x0 =2 D、 ?x0 ? R, lg x0 =0

C、 ?x ? R,3 >0 【答案】B

sin x0 + cos x0 = 2 sin x0 ? ) 2 ( ? 4 【解析】因为 ,所以 B 错误,选 B.
3、在下列区间中,函数 f (x)=e +4 x ? 3 的零点所在的区间为
x

?

A、 (

1 ,0) 4

B、 (0,

1 ) 4

C、 (

1 1 , ) 4 2

D、 (

1 3 , ) 2 4

【答案】C 【解析】

1 1 1 1 1 1 1 , 1 ,所以函数的零点在 ( , ) , 4 4 4 2 f ( )=e ? 2=e ? 16 ? 0 f ( )=e ? 1= e ? 1 ? 0 4 2 4 2

选 C. 4、设 a,b ? R,那么“ A、充分不必要条件 C、充要条件 【答案】B

a >1 ”是“ a>b>0 ”的 b
B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

-1-

?b ? 0 ?b ? 0 a a ?b a ? ? ?1 ? ?0 >1 a ? b 或 ?a ? b ,即 a ? b ? 0 或 b b 【解析】由 b 得, b ,即 b(a ? ) ?0 ,得 ?

a >1 a ? b ? 0 ,所以“ b ”是“ a>b>0 ”的必要不充分条件,选 B.
5、把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 有点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上所 3

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 2 ? x ? A、 y = sin (2 x- ),x ? R B、 y = sin ( + ),x ? R 3 2 6 ? 2? C、 y = sin (2 x + ),x ? R D、 y = sin (2 x + ),x ? R 3 3

【答案】C 【解析】把函数 y = sin x( x? R) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度,得到函数

3

y ? sin(x ?

?
3

),再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数
2

y ? sin(2 x ? ) ,所以选 C. 3
6、已知函数 f (x)=x ? cos x ,则 f (0.6),f (0),f (-0.5) 的大小关系是
2

?

A、 f (0)<f (0.6)<f (-0.5) C、 f (0.6)<f (-0.5)<f (0) 【答案】B

B、 f (0)<f (-0.5)<f (0.6) D、 f (-0.5)<f (0)<f (0.6)

【解析】因为函数 f (x)=x 2 ? cos x 为偶函数,所以 f (?0.5) ? f (0.5) , f ' (x)=2x ? sin x , 当 0? x?

?

时 , f '( x = 2x ) ? 2

s ? n x0 所 以 函 数 在 0 ? x ? 2 递 增 , 所 以 有 i ,

?

f (0)<f (0.5)<f (0.6) ,即 f (0)<f ( ? 0.5)<f (0.6) ,选 B.
7、在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 3 ,b= 2 ,且 1+2cos(B+C)=0,则 BC 边上的高等于 A、 3 -1 【答案】D B、 3 +1 C、

3-1 2

D、

3+1 2

-2-

【解析】由 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,得 1 ? 2cos A ? 0, cos A ?

1 ? ,所以 A ? 。有正弦定理得 3 2

3 2 a b ? 2 ? ? ,即 ,因为 b ? a ,所以 B ? A ,即 B ? 。 ? sin B ,得 sin B ? sin 4 sin A sin B 2 3
由 余 弦 定 理 得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 3 ? 2 ? c 2 ? 2c , 即 c 2 ? 2c ? 1? 0 , 解 得

c?

2? 6 2? 6 2 1? 3 ,所以 BC 边上的高为 h ? c sin B ? ,选 D. ? ? 2 2 2 2

8、定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x+2)=2 f (x) ,当 x? [0,2)时,

? x 2 -x,x ? [0,1) t 1 f (x)= ? 若 x ?[-4,-2] 时, f (x) ? - 恒成立,则实数 t 的取值范围是 |x-1.5| 4 2t ,x ? [1,2) ?-(0.5)
A、[-2,0) ? (0,l) B、[-2,0) ? [l,+∞) C、[-2,l] 【答案】D 【解析】当 x ?[-4,-2] ,则 x ? 4 ?[0,2] ,所以 f ( x) ? D、( -? ,-2] ? (0,l]

1 1 f ( x ? 2) ? f ( x ? 4) 2 4

?1 2 ? 4 [( x ? 4) ? ( x ? 4)], x ? [?4, ?3) ? =? ?? 1 (0.5) x ? 4?1.5 , x ? [?3, ?2) ? 4 ?
时, f ( x)=

?1 2 ? 4 ( x ? 7 x ? 12), x ? [?4, ?3) ? =? , 当 x ? [ ?4 , ? 3 ] ?? 1 (0.5) x ? 2.5 , x ? [?3, ?2) ? 4 ?

1 2 1 7 1 7 ( x ? 7 x ? 12) ? [( x ? )2 ? ] 的对称轴为 x= ? ,当 x ? [ ?4, ?3] 时,最 2 4 4 2 4 7 1 1 x ? 2.5 小值为 f (? )= ? ,当 x ? [?3, ?2), f (x )= ? (0.5) ,当 x ? ?2.5 时,最小,最小值 4 2 16 1 1 1 t 1 为 ? , 所 以 当 x ?[-4,-2] 时 , 函 数 f ( x) 的 最 小 值 为 ? , 即 ? ? ? ,所以 4 4 4 4 2t ?t ? 0 ?t ? 0 t2 ? t ? 2 ,即 或? 2 ,解得 ? 0 ,所以不等式等价于 ? 2 t 1 1 t ?t ? t ? 2 ? 0 ?t ? t ? 2 ? 0 ? ? ?0 4 2t 4

0 ? t ? 1 或 t ? ?2 ,即 t 的取值范围是 (??, ?2] ? (0,1] ,选 D.
第 II 卷 (非选择题共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请将答案填写在答题纸上. 9、计算

?

1

-1

(2 x+e x )dx =
1 e



【答案】 e ?

-3-

【解析】

?

1

-1

2 x (2 x+e x )dx ? ( x ? e )

1 ?1

1 1 =1 ? e ? 1 ? ? e ? e e

10、 设集合是 A={ a|f (x)=8 x ? 3ax +6 x 是(0, +∞)上的增函数},B ={y|y =
3 2

5 ,x ? [-1,3]} , x +2

则 ?R (A ? B) =



【答案】 (??,1) ? (4, ??) 【 解 析 】 f ' (x)=24 x ? 6ax ? 6 , 要 使 函 数 在 (0, ??) 上 是 增 函 数 , 则
2

f ' (x)=24 x ? 6ax ? 6 ? 0 恒成立, 即
2

a ? 4x ?

1 1 1 4x ? ? 2 4x ? ? 4 x x x, 因为 , 所以 a ? 4 ,

即 集 合

A ? { a ?a 4 }

B= y y | {

. 集 合

5 = x? , x +2

[? { y1 ? x ?] }5 } - 1 3 ,

, 所 以

A? B ? {

x ? x ? } ?R (A ? B)= (??,1) ? (4, ??) 1 4 ,所以 .

11、函数 f (x)=Asin (? x+? )(A,?,? 为常数,A>0,

? >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值





【答案】

6 2

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 所以函数 , )= 2 sin (2? +? )= 2 sin ( + )= ? ? 2 f (x)= 2 sin (2 x+? ) ,由 f ( 12 12 6 得 sin ( 7? +? )= ? 1 , 所 以 7? +? = 3? ? 2k? ,k ? Z , 即 ? = ? ? 2k? ,k ? Z , 所 以 6 6 2 3
【解析】由图象可知 A ?

2,

f (x)= 2 sin (2 x+

? , ? 3 6。 ) f (0)= 2 sin ? 2 ? ?
3
3 2 2

12、已知 a>0,且 a ? 1,若函数 f (x)=a

lg (x 2 -2 x +3)

有最大值,则不筹式 log a (x -5 x +7)>0 的解

2

-4-

集为 【答案】 (2,3)



【解析】 所以 x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 2 有最小值 2, x 2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 , 要使函数 f ( x) lg( 有最大值,则指数函数单调递减,则有 0 ? a ? 1,由
2

log a ( 2-5x +7)>0 得 0 ? x 2 ? 5x+7 ? 1 , x

? 即 ?0 ? x ? 5 x +7 ,解得 2 ? x ? 3 ,即不等式的解集为。 ? 2 ? x ? 5 x +7 ? 1 ?

13、在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a +b =2012c ,则

2

2

2

tan A? B tan 的值为 tan C ( tan A+ tan B )
【答案】



2011 2

sin A sin B tan A? B tan cos Acos B ? tan C ( tan A+ tan B) sin C( sin A ? sin B ) cos C cos A cos B 【解析】 sin A sin B sin A sin B cos C sin A sin B cos C cos Acos B ? = = sinC sin Acos B ? cos A sin B sinC sin A ? B ( ) sin 2 C ? cos C cos Acos B
= ab a 2 ? b 2 ? c 2 2012c 2 ? c 2 2011 。 ? ? ? c2 2ab 2c 2 2
2

14、 若关于 x 的不等式 x + 的取值范围是 【答案】 (??, ?1]

1 1 则实 常数 ? x ? ( )n ? 0 对任意 n ? N * 在 x ? (-?,? ] 上恒成立, 2 2


1 1 1 1 1 1 x ? ( )n ? 0 得 x 2 + x ? ( ) n , 即 x 2 + x ? ( ) n max 恒 成 立 。 因 为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( )n max ? + x 则 , 即 x + x? 在 ( ? ?,? ] 恒 成 立 , 令 y ? x , 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 y ? x 2 + x ? x ? ) ? ,二次函数开口向上,且对称轴为 x= ? 。当 x ? ? 时,函数 ( 4 4 2 4 16 1 1 1 2 单调递减,要使不等式恒成立,则有 ? + ? ? ,解得 ? ? ?1 。当 x ? ? ,左边的最小值 4 2 2
【解析】 x +
2

-5-

在 x= ?

1 1 1 1 1 2 ? ? ? ,不成立,综上 ? 的取值范围是 ? ? ?1 ,即 处取得,此时 x + x ? 4 2 16 8 6

(??, ?1] 。
三、解答题;本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题满分 13 分,已知函数 f (x)= 3 sin (2 x(1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求使函数 f (x) 取得最大值的 x 集合; (3)若 ? ? (0,

?
6

)+2 sin 2 (x-

?
12

)(x ? R)

?

5 ) ,且 f (? )= ,求 cos 4? 的值。 3 2

16、(本小题满分 13 分)口袋中有大小、质地均相同的 9 个球,4 个红球,5 个黑球,现在从 中任取 4 个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率; (2)若取出的红球数设为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

17、(本小题满分 13 分)在△ABC 中,A,C 为锐角,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c, 且 cos 2 A= , sin C =

3 5

10 。 10

(1)求 cos (A+C ) 的值; (2)若 a-c= 2-1 ,求 a,b,c 的值; (3)已知 tan (? +A+C )=2 ,求

1 的值。 2 sin ? cos ? + cos 2 ?

18、(本小题满分 13 分)在如图所示的多面体中,EF ? 平面 AEB,AE ? EB,AD//EF, EF//BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G 为 BC 的中点。 (1)求证:AB//平面 DEG; (2)求证:BD ? EG; (3)求二面角 C—DF—E 的正弦值。

-6-

19、(本小题满分 14 分)设函数 f (x)=a(x-

1 )- ln x x

(1)当 a=1 时,求曲线 y =f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f (x) 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 g (x)= 范围。

e ,若在[l,e]上至少存在一点 x0 使 f (x0 ) ? g (x0 ) 成立,求实数 a 的取值 x

20、(本小题满分 14 分)设函数 f (x)=x +bln (x +1) ,其中 b≠0。 (1)当 b>

2

1 时,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性; 2

(2)求函数 f (x) 的极值点; (3)证明对任意的正整数 n,不等式 ln (

1 1 1 +1)> 2 - 3 都成立。 n n n

-7-

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -

- 12 -


相关文档

【解析版】天津市耀华中学2013届高三第一次月考 理科数学试题
天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题 Word版
天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题
【Word版解析】天津市耀华中学2013届高三第一次月考 理科数学试题
高三数学试题-天津市耀华中学2018届高三第一次月考数学试卷理科 最新
新领航教育特供:天津市耀华中学2013届高三第一次月考 理科数学试题
天津市耀华中学2013届高三上学期第一次月考数学理试题 Word版
天津市耀华中学2012届高三第二次月考_理科数学试题
天津市耀华中学2013届高三第一次月考 化学试题解析
天津市耀华中学2013届高三第一次校模拟理数试题
电脑版