黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二数学理上学期期中试题新人教A版


大庆铁人中学 2013 级高二上学期期中考试数学试题(理)
时间:120 分钟 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. “a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(y-b)2=2 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.执行如图所示的程序框图,若输入 x=0.1,则输出的 m 的值是( A.0 B.0.1 C.1 D.-1 3.如果向量 a = (1,0,1), b = (0,1,1)分别平行 于平面 , 且都与这两个平面的交线 l 垂直, 则二面角 -l- 的大小可能是( ). A.90? B.30? C.45? D.60? 4.如图为一个求 20 个数的平均数的程序, 在横线上应填充的语句为( ) A.i<=20 B.i<20 C.i>=20 D.i>20 2013.11 满分:150 分

).

)

5.F1,F2 是椭圆 C:

x2 y 2 + =1 8 4 的焦点,

在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4

S=0 i=1 DO INPUT x S=S+x i=i+1 LOOP UNTIL a=S/20 PRINT a END

6.给出 30 个数:1,2,4,7,11,?,要计算这 30 个数的和,现已给出了该问题的程序框图如图, 那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入 A.i≤30?和 p=p+i-1 B.i≤31?和 p=p+i+1 C.i≤31?和 p=p+i D.i≤30?和 p=p+i

x2 7.若椭圆 9 +y2=1 上一点 A 到焦点 F1 的距离为 2,B 为 AF1 的中点,O 是坐标原点,则
|OB|的值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4

8. 把边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC 边上的中线 AD 折成 90? 的二面角 B—AD—C 后, 点D 到 平面 ABC 的距离为( ).

1

3 A. 2

B. D.1 x2 y2 9.过双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线,分别与双曲线、双曲线 a2 b2 → → 的渐近线交于点 M、N(均在第一象限内),若FM=4MN,则双曲线的离心率为( 5 A. 4 5 B. 3 3 C. 5 4 D. 5 )

21 7

15 C. 5

10.如果点 P 在以 F 为焦点的抛物线 x2=2y 上,且∠POF=60?(O 为原点),那么△POF 的面 积是( ).

A.

3

B.

3 2

C.

3 6

3 D. 2

11.过点(4, 0)的直线与双曲线 的取值范围是( ) A.| k |≥1

x2 y2 ? ?1 4 12 的右支交于 A、B 两点,则直线 AB 的斜率 k
3 3

B.| k | >

C.| k |≤

D.| k | < 1

12.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物 线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 4 A. 5 2 B. 3 4 C. 7 1 D. 2

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.把“五进制”数

1234(5)

转化为“八进制”数

14.用秦九韶算法计算 f(x)=3x4+2x2+x+4 当 x=10 时的值的过程中, v1 的值为________.

x2 x2 +y 2=1 -y 2=1 15.椭圆 4 和双曲线 2 有相同的左、右焦点 F1,F2,P 是两曲线的一
个交点,则|PF1|·|PF2|的值是 . x2 y2 3 16.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与 C a2 b2 2 → → 相交于 A、B 两点,若AF=3FB,则 k 等于

2

三、解答题: (共 70 分) 1 17.(10 分)已知条件 p:|5x-1|>a 和条件 q: >0,请选取适当的实数 a 的值,分 2x2-3x+1 别利用所给的两个条件作为 A,B 构造命题:若 A 则 B.使得构造的原命题为真命题,而其逆 命题为假命题,并说明为什么这一命题是符合要求的命题.

18.(12 分)在四棱锥 P-ABCD 中, 已知 PA⊥平面 ABCD, PB 与平面 ABC 成 60°的角, 底面 ABCD 是直角梯形, 1 ∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC= AD. 2 (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; 1 (2)设 E 是棱 PD 上一点,且 PE= PD, 3 求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值.

19.(12 分)双曲线 C 的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1 , l2 ,经过右焦点

F 垂直于 l1 的直线分别交 l1 , l2 于 A, B 两点.已知
(I)求双曲线 C 的离心率;

OA ? 2 FA

,且 BF 与 FA 同向

(II)设 AB 被双曲线 C 所截得的线段的长为 4,求双曲线 C 的方程.

3

20.(12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形.?BCD ? 60 ,AB ?

PB ? PD ? 2 ,
P

PC ? 3 , AC 与 BD 交于 O 点, E , H 分别为 PA , OC 的中点.
(1)求证: PH ? 平面 ABCD ; (2)求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值.
E

D H O

C

x
21.(12 分) 已知椭圆 a

2 2



y

2

b2

= 1

A

B

(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在此椭圆

4 上,且 PF1⊥F1F2,|PF1|= 3

14 ,|PF2|= 3 .

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 且交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 关于点 M 对 称,求直线 l 的方程.

22.(12 分)如图,在三棱锥 A—BCD 中,侧面 ABD、 ACD 是全等的直角三角形, AD 是公共的斜边, 且 AD= 3 ,BD=CD=1,另一个侧面 ABC 是正三角形. (1)求证:AD⊥BC; (2)求二面角 B—AC—D 的余弦值; (3)在线段 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30? 角?若存在,确定 CE 大小; 若不存在,说明理由. 参考答案 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) AADDC DBBBC BA 二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.302 14.30 15.2 16. 三、解答题: (共 70 分) 17,18 2

A

B C

D

17. (10 分)已知条件 p 即 5x-1<-a 或 5x-1>a,∴x< 1 已知条件 q 即 2x2-3x+1>0,∴x< 或 x>1. 2

1-a 1+a 或 x> . 5 5

??3 分

??6 分

4

3 令 a=4,则 p 即 x<- 或 x>1,此时必有 p? q 成立,反之不然, 5 故可以选取的一个实数是 a=4. 由以上过程可知,这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题的假命题. 注意:a 的值满足 a≥4 的都可以 18. (12 分) [解析]因为 AB,AD,AP 两两垂直,建立空间直角坐标系 A-xyz. ??1 分 ∵PA⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABC 成 60°, ∴∠PBA=60°. 取 AB=1,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0, 3),D(0,2,0).??3 分 → → → (1)∵AC=(1,1,0),AP=(0,0, 3),CD=(-1,1,0), → → → → ∴AC·CD=-1+1+0=0,AP·CD=0. ∴AC⊥CD,AP⊥CD, ∴CD⊥平面 PAC. CD? 平面 PCD,∴平面 PCD⊥平面 PAC. ??6 分

2 2 3 2 2 3 → 1→ → → (2)∵PE= PD,∴E(0, , ),∴AE=(0, , ).又PB=(1,0,- 3), 3 3 3 3 3 → → AE·PB -2 3 → → → → ∴AE·PB=-2.∴cos〈AE·PB〉= = =- . → → 4 4 |AE|·|PB| ×2 3 3 ∴异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值 . 4 ??12 分

e?
19. (12 分)

5 2 , ??6 分
P

x2 y2 ? ?1 36 9 ??12 分
20. (12 分)(1)证明:连结 OP ,
E

因为 PB ? PD ,
D C H O A B

所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC , 又因为 OP

AC ? O ,

所以 BD ? 平面 PAC . 又 PH ? 平面 PAC ,
5

所以 BD ? PH . 在直角三角形 POB 中, OB ? 1 , PB ? 2 , 所以 OP ? 3 .又 PC ? 3 , H 为 OC 的中点, 所以 PH ? OC .又因为 BD 所以 PH ? 平面 ABCD .

OC ? O

??6 分

(2)解:过点 O 作 OZ ∥ PH ,所以 OZ ? 平面 ABCD . 如图,以 O 为原点, OA , OB , OZ 所在直线为 分 可得, A( 3,0,0) , B(0,1, 0) , C (? 3,0,0) ,

x, y, z 轴,建立空间直角坐标系.??7

P(?

3 3 3 3 , 0, ) E ( , 0, ) 2 2 , 4 4 .

所以 AB ? (? 3,1,0) ,

AP ? (?

3 3 3 5 3 3 , 0, ) CE ? ( , 0, ) 2 2 , 4 4 .

设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PAB 的一个法向量,则

?? 3x ? y ? 0 ? ?n ? AB ? 0 ? ? 3 3 3 ? x? z ?0 ?? n ? AP ? 0 ? 2 2 ? ,即 ? ,
令 x ? 1 ,则 n ? (1, 3, 3) . 设直线 CE 与平面 PAB 所成的角为 ? ,

sin ? ? cos 〈n, CE 〉 ?
可得

4 7.

4 所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值为 7 .
21,22 21. (12 分) (1):由|PF1|+|PF2|=2a,知 a=3.

??12 分

又 PF1⊥F1F2,在 Rt△PF1F2 中,有(2c)2+|PF1|2=|PF2|2,有 c= 5 .
x2 y 2 + =1 2 2 4 ∴b= a -c =2.所以 9 .

??4 分

6

(2)已知直线 l 过(-2,1), 当 k 存在时,设直线 y=kx+2k+1 代入椭圆方程. 整理有:(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.
36k 2 +18k
2 由韦达定理可知 x1+x2=- 4 +9 k

=2×(-2)=-4.

8 ∴k= 9 . 即 8x-9y+25=0. 当 k 不存在时,直线 l 为 x=-2,不合题意舍去. 即 l 的方程为 8x-9y+25=0. ??12 分
22. (12 分) (1)坐标法,以 D 为原点,直线 DB,DC 为 x,y 轴,??1 分 可得 BC ? DA= 0 . AD⊥BC ?? 4分

(2) 平面 ABC、ACD 的法向量取 n1=(1,1,-1)、n2=(1,0,-1),可得
6 3 cos<n1,n2>= .

?? 8 分

(3)存在,CE=1. 设 E(x,y,z)可得 DE =(x,1,x),又面 BCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),
2 由 cos< DE ,n>=cos 60?,得 x= 2 . 2 2 uur CE =( 2 ,0, 2 )

CE=1??12 分

7


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