2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2直观图学案北师大版必修220171215316

1.2 直观图 [核心必知] 1.斜二测画法的规则 (1)在已知图形中建立直角坐标系 xOy,画直观图时,它们分别对应 x′轴和 y′轴,两轴 交于点 O′,使∠x′O′y′=45°,它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于 x 轴和 y 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x′轴和 y′轴的线 段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 y 轴的线段,长 1 度为原来的 . 2 2.立体图形的直观图的画法 立体图形与平面图形相比多了一个 z 轴,其直观图中对应于 z 轴的是 z′轴,平面 x′O′y′表示水平平面,平面 y′O′z′和 x′O′z′表示直立平面,平行于 z 轴的线段,在 直观图中平行性和长度都不变. [问题思考] 1.斜二测画法中的“斜”、“二测”分别指什么? 提示:斜是指坐标轴倾斜,使之成 45°,二测是指测量与 x 轴平行的线段长度不变,测 量与 y 轴平行的线段长度减半. 2.斜二测画法中,原图中互相平行的线段在直观图中还平行吗? 提示:平行. 3.空间几何体的直观图一定唯一吗? 提示:不一定唯一.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图就不一定相同. 讲一讲 1.用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图. 1 [尝试解答] 法一:(1)如图①所示, 以 BC 边所在的直线为 x 轴,以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴. (2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°. 1 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=2 cm,在 y′轴上截取 O′A′= OA,连接 A′B′, 2 A′C′,则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示. 法二:(1)如图③所示,以 BC 边所在的直线为 y 轴,以 BC 边上的高 AO 所在的直线为 x 轴. (2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°. 1 在 x′轴上截取 O′A′=OA,在 y′轴上截取 O′B′=O′C′= OC=1 cm,连接 A′B′, 2 A′C′,则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图④所示. 在画水平放置的平面图形的直观图时, 选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形 尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点;原图中的共线点,在直观图中仍是共线点,原图中 的平行线,在直观图中仍是平行线. 练一练 1.画出水平放置的等腰梯形的直观图. 解:画法:(1)如图(1),取 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 中点 O 为原点,建立直角坐标系, 设 y 轴与 DC 交于点 E,画对应的坐标系 x′O′y′,使∠x′O′y′=45°. (2)以 O′为中点在 x′轴上取 A′B′=AB, 1 在 y′轴上取 O′E′= OE, 2 以 E′为中点作 C′D′∥x′轴,并使 C′D′=CD. (3)连接 B′C′,D′A′,所得的四边形 A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的 直观图,如图(2). 2 讲一讲 2.画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图. [尝试解答] 画法:(1)画轴.画 Ox 轴,Oy 轴,Oz 轴,∠xOy=45°(或 135°),∠xOz =90°,如图. (2)画底面.以 O 为中心在 xOy 平面内,画出正方形直观图 ABCD. (3)画顶点.在 Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度是原四棱锥的高. (4)成图.顺次连接 PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱 锥的直观图. 画空间几何体的直观图, 可先画出底面的平面图形,坐标系的建立要充分利用几何体的对 称性,然后画出竖轴.此题也可以把点 A,B,C,D 放在坐标轴上,画法实质是各顶点的确定. 练一练 2.画出五棱柱的直观图. 解:画法: (1)画轴:画 x′轴,y′轴,z′轴,记坐标原点为 O′, 使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z′=90°. (2)画底面:在俯视图中,建立直角坐标系 xOy(如图①),利用斜二测画法画出底面 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E′. (3)画侧棱:过 A′,B′,C′,D′,E′各点分别作 z′轴的平行线,并在这些平行线上 截取 A′A″,B′B″,C′C″,D′D″,E′E″,使它们都等于主视图中矩形的高. (4)成图:连接 A″B″,B″C″,C″D″,D″E″,E″A″,并加以整理(去掉辅助线, 并将被遮住的部分改为虚线),就得到原几何体的直观图(如图②). 3 讲一讲 3.一个四边形的直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形.求原四边形 的面积. [尝试解答] 如图(1)是四边形的直观图,取 B′C′所在直线为 x′轴. 因为∠A′B′C′=45°,所以取 B′A′所在直线为 y′轴.过 D′作 D′E′∥A′B′交 B′C′于 E′,则 B′E′=A′D′=1. 又因为梯形为等腰梯形, 所以△E′D′C′为等腰直角三角形.所以 E′C′= 2. 再建立一个直角坐标系 xBy,如图(2)所示,在 x 轴上截取线段 BC=B′C′=1+ 2,在 y 轴上截取线段 BA=2B′A′=2. 过 A 作 AD∥BC,截取 AD=A′D′=1.连接 CD,则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′ 的实际图形. 四边形 ABCD 为直角梯形,上底 AD=1, 下底 BC=1+ 2,高 AB=2, 1 所以 S 梯形 ABCD= AB·(AD+BC) 2 1 = ×2×(1+1+ 2) 2 =2+ 2. (1)由直观图还原平面图形关键有两点: ①平行 x′轴的线段长度不变,平行 y′轴线段变为原来的 2 倍; ②对于相邻两边不与 x′、y′轴平行的顶点可通过作 x′轴,y′轴平行线变换确定其在 xOy 中的位置. (2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图

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