【全程复习方略】2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件:7.4 直线、平面平行的判定及其性质_图文

第四节
直线、平面平行的判定及其性质

【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判 定 定 理
此平面内 平面外一条直线与_________ 的一条直线平行,则该直线与 此平面平行(线线平行?线面

图形语言

符号语言
l∥a, 因为_____ a?α ,l?α , ___________ 所以l∥α

平行)

文字语言 一条直线与一个平面平行,

图形语言

符号语言 因为 l∥α ,l?β , ___________ α ∩β =b _________, 所以l∥b

性 质 定 理

则过这条直线的任一平面 交线 与该直线 与此平面的_____
平行(简记为“线面平行? 线线平行)

(2)平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 相交直线 判 一个平面内的两条_________ 定 与另一个平面平行,则这两个 定 平面平行(简记为“线面平行 理 ?面面平行”) 性 如果两个平行平面同时和 质 相交 那么它们 第三个平面_____, 定 交线 平行 的_____ 理 图形语言 符号语言 a∥β , 因为_______ b∥β ,a∩b=P, ______________ a?α ,b?α ___________, 所以α ∥β α ∥β , 因为________ α ∩γ =a, __________ β ∩γ =b, __________ 所以a∥b

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β .
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α ∥β ,β ∥γ ,则α ∥γ .

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:证明线面平行,面面平行的方法.
(2)数学思想:数形结合思想与转化与化归思想.

(3)记忆口诀: 判断线和面平行,面中找条平行线;

已知线和面平行,过线作面找交线;
要证面与面平行,面中找出两交线;

线面平行若成立,面面平行不用看;
若是面面已平行,线面平行是必然.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平

行.(

)

(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异

面.(

)
)

(3)若直线a与平面α 内无数条直线平行,则a∥α .( (4)平行于同一平面的两条直线平行.( (5)若α ∥β ,且直线a∥α ,则直线a∥β .( ) )

【解析】(1)错误.当这两条直线为相交直线时,才能保证这两个平面 平行. (2)正确.如果两个平面平行,则在这两个平面内的直线没有公共点,则 它们平行或异面. (3)错误.若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α或a?α. (4)错误.两条直线平行或相交或异面. (5)错误.直线a∥β或直线a?β. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×

2.教材改编

链接教材

练一练 )

(1)(必修2P61习题T1改编)下列命题中正确的是(

A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α 满足a∥α ,那么a与α 内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α 满足a∥b,a∥α ,b?α ,则b∥α

【解析】选D.A错误,因a可能在经过b的平面内;B错误,a与α内的直 线平行或异面;C错误,两个平面可能相交;D正确,由a∥α,可得a平行 于经过直线a的平面与α的交线c,即a∥c,又a∥b,所以b∥c,b?α, c?α,所以b∥α.

(2)(必修2P56T2改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1
与平面ACE的位置关系为 .

【解析】由正方体知,四边形ACC1A1为平行四边形,则A1C1∥AC,又 A1C1?平面AEC,AC?平面AEC,所以A1C1∥平面ACE. 答案:平行

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2013·广东高考)设l为直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中 正确的是( )

A.若l∥α ,l∥β ,则α ∥β B.若l⊥α ,l⊥β ,则α ∥β C.若l⊥α ,l∥β ,则α ∥β D.若α ⊥β ,l∥α ,则l⊥β

【解析】选B.选项A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相交,
故错误;选项B,若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故正确;选项C,若l⊥α,

l∥β,则α⊥β,故错误;选项D,若α⊥β,l∥α,则l与β的位置关系
有三种可能:l与β相交,l∥β,l?β,故错误,故选B.

(2)(2015·潍坊模拟)若直线a⊥b,且直线a∥平面α ,则直线b与平面α

的位置关系是(
A.b?α

)

B.b∥α
C.b?α 或b∥α

D.b与α 相交或b?α 或b∥α
【解析】选D.当b与α 相交或b?α或b∥α 时,均有满足直线a⊥b,且直

线a∥平面α 的情况,故选D.

(3)(2015·马鞍山模拟)设α ,β ,γ 为平面,a,b为直线,给出下列条件: ①a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α ②α ∥γ , β ∥γ ③α ⊥γ , β ⊥γ ④a⊥α ,b⊥β ,a∥b 其中能推出α ∥β 的条件是( A.①② B.②③ ) D.③④

C.②④

【解析】选C.①中条件得到的两个平面α,β,也可能相交,故①不正 确;②由α∥γ,β∥γ?α∥β,故②正确;③中α⊥γ,β⊥γ,可得 α与β相交或平行,故③不正确;④a⊥α,b⊥β,a∥b,得a⊥β,所以 α∥β,故④正确.

考点1

与线、面平行关系有关命题真假的判断

【典例1】(1)(2015·宁德模拟)设a,b为两条不同的直线,α ,β 为两个 不同的平面.则下列四个命题中,正确的是( )

A.若a,b与α 所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α ,b∥β ,α ∥β ,则a∥b

C.若a?α ,b?β ,a∥b,则α ∥β
D.若a⊥α ,b⊥β ,α ⊥β ,则a⊥b

(2)(2015·厦门模拟)已知α ,β 是两个不同的平面,下列四个条件中能
推出α ∥β 的是( )

①存在一条直线a,a⊥α ,a⊥β ;
②存在一个平面γ ,γ ⊥α ,γ ⊥β ;

③存在两条平行直线a,b,a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α ;
④存在两条异面直线a,b,a?α ,b?β ,a∥β ,b∥α .

A.①③

B.②④

C.①④

D.②③

【解题提示】(1)对每个选择支,全面考虑空间线面位置关系的各种可 能,依据相应的判定定理和性质定理进行判断 . (2)根据线面、线线平行或垂直的判定或性质求解 .

【规范解答】(1)选D.对于选项A,当a,b与α均成0°角时,a,b就不一 定平行;对于选项B,只需找个平面γ,使γ∥α∥β,且a?γ,b?γ即 可满足题设,但a,b不一定平行;对于选项C,可参考直三棱柱模型排除. 故选D.

(2)选C.对①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β?α∥β,故①正确,排除 B,D,对于③,存在两条平行直线a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,如图所 示,不能推出α∥β,故排除A.

【规律方法】与平行关系有关命题真假的判断技巧 (1)熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选 择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或 排除,再逐步判断其余选项. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (3)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形.

【变式训练】(2015·龙岩模拟)已知两条直线a,b,两个平面α ,β ,则 下列结论中正确的是( )

A.若a?β ,且α ∥β ,则a∥α B.若b?α ,a∥b,则a∥α C.若a∥β ,α ∥β ,则a∥α D.若b∥α ,a∥b,则a∥α

【解析】选A.A.因为α∥β,又a?β,所以a∥α,故A正确; B.因为b?α,a∥b,若a?α,则a不可能与α平行,故B错误; C.因为a∥β,α∥β,若a?α,则结论不成立,故C错误; D.因为b∥α,a∥b,若a?α,则结论不成立,故D错误.

【加固训练】设a,b为不重合的两条直线,α ,β 为不重合的两个平面, 给出下列命题: ①若a?α ,b?α ,a,b是异面直线,那么b∥α ; ②若a∥α 且b∥α ,则a∥b; ③若a?α ,b∥α ,a,b共面,那么a∥b; ④若α ∥β ,a?α ,则a∥β . 上面命题中,所有真命题的序号是 .

【解析】①中的直线b与平面α也可能相交,故不正确;

②中的直线a,b可能平行、相交或异面,故不正确;由线面平行的性质
得③正确;由面面平行的性质可得④正确.

答案:③④

考点2

直线与平面平行的判定与性质 知·考情

直线与平面平行的判定与性质是高考考查平行关系的一个重要考 向,常与线线平行、面面平行及垂直关系综合出现在解答题中,考查线 面平行的判定定理与性质定理在证明中的应用.

明·角度 命题角度1:证明直线与平面平行 【典例2】(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,E为PD的中点,AB=1, 求证:CE∥平面PAB.

【解题提示】根据线面平行的判定定理在平面PAB内找一条直线,证明 其与CE平行即可. 【规范解答】由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4, CD=2 3.如图所示,延长DC,AB,设其交于点N,连接PN, 因为∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,所以C为ND的中 点,又因为E为PD的中点,所以EC∥PN,因为EC?平面PAB,PN?平面PAB, 所以CE∥平面PAB.

【一题多解】解答本题,你知道几种证法. 解答本题,还有以下方法:

取AD中点为M,连接ME,MC,因为E为PD的中点,
所以EM∥PA,EM?平面PAB,PA?平面PAB,所以EM∥平面PAB,由已知得

AC=2AB=2,AD=2AC=4,则CM=AM=2,所以∠BAC=∠ACM=60°,所以MC∥AB,
又CM?平面PAB,所以CM∥平面PAB,而CM∩EM=M,所以平面EMC∥平面

PAB,又EC?平面EMC,
所以EC∥平面PAB.

【互动探究】在本例的条件下,若PA⊥平面ABCD,PA=2AB,求三棱锥 P-ACE的体积. 【解析】方法一:由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 3 . 因为 PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为CD⊥AC,AC∩PA=A,所以CD⊥平面 PAC.因为E是PD的中点,所以点E到平面PAC的距离h= CD= 3 ,S△PAC= 2
1 ×2×2=2.所以四面体PACE的体积V= 1 S△PAC×h= 1 ×2× 3 = 2 3 . 2 3 3 3 1

方法二:由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2 3 .因为PA⊥平面
1 ABCD,所以VP-ACD= S△ACD×PA= 1 ×2 3 ×2= 4 3 .因为E是PD的中点, 3 3 3 1 所以四面体PACE的体积V= VP-ACD= 2 3 . 2 3

命题角度2:直线和平面平行性质定理的应用 【典例3】(2014·安徽高考)如图,四棱锥P-ABCD的 底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 17.点 G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面 GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)证明:GH∥EF. (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.

【解题提示】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH.

(2)连接AC,BD交于点O,设BD交EF于点K,则点K为OB的中点,由面面
垂直得出GK⊥EF,再由梯形面积公式S= GH ? EF ·GK计算求解.
2

【规范解答】(1)因为BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面

GEFH=GH,
所以GH∥BC,同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.

(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK, 因为PA=PC,点O是AC的中点, 所以PO⊥AC, 同理可得PO⊥BD, 又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内, 所以PO⊥底面ABCD, 又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH, 所以PO∥平面GEFH,

因为平面PBD∩平面GEFH=GK, 所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,从而GK⊥EF, 所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4, 从而KB= 1 DB= 1 OB,即点K是OB的中点.
4 2

再由PO∥GK得GK= PO,即点G是PB的中点, 且GH= 1 BC=4,由已知可得OB=4 2 ,PO= PB2 ? OB2 ? 68 ? 32 ? 6, 所以GK=3,故四边形GEFH的面积S= GH ? EF ·GK= 4 ? 8×3=18.
2 2 2

1 2

悟·技法 1.证明线线平行的常用方法 (1)利用公理4:找第三线,只需证明两线都与第三线平行即可. (2)利用三角形的中位线的性质. (3)构建平行四边形利用其对边平行.

2.证明直线与平面平行的两种重要方法及关键 (1)利用直线与平面平行的判定定理.关键:在该平面内找或作一线证 明其与已知直线平行. (2)利用面面平行的性质.关键:过该线找或作一平面证明其与已知平 面平行. 3.线面平行性质定理的应用 转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行.

通·一类 1.(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是 AB,BB1的中点.

(1)证明:BC1∥平面A1CD.
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2 2 ,求三棱锥C-A1DE的体积.

【解析】(1)连接AC1,交A1C于点F,则F为AC1中点.
又D是AB的中点,连接DF,则BC1∥DF.

因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.

(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD. 由已知AC=CB,D为AB的中点, 所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1=AC=CB=2,AB=2 2 得 ∠ACB=90°,CD= 2 ,A1D= 6 ,DE= 3 ,A1E=3, 故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以 VC?A DE ? ? ? 6 ? 3 ? 2 ? 1.
1

1 1 3 2

2.(2015·合肥模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯

形,AD∥BC,PB⊥平面ABCD,CD⊥BD,PB=AB=AD=1,点E在线段PA上,且满
足PE=2EA.

(1)求三棱锥E-BAD的体积.

(2)求证:PC∥平面BDE.

【解析】(1)过点E作EF⊥AB,垂足为F.
因为PB⊥平面ABCD,

所以平面PAB⊥平面ABCD.
又平面PAB∩平面ABCD=AB,EF?平面PAB,

所以EF⊥平面ABCD,
即EF为三棱锥E-BAD的高. 由PB⊥平面ABCD得PB⊥AB,故PB∥EF. 因为PE=2EA,且PB=1,故EF=
1 . 3

因为CD⊥BD,所以在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°.
因为AB=AD=1,所以S△BAD=
1 . 2 1 . 18

从而VE-BAD=

1 S△BAD·EF= 3

(2)连接AC交BD于点G,连接EG. 因为在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°, 又因为AB=AD=1, 所以BD= 2 ,∠ABD=45°,从而∠CBD=45°. 因为CD⊥BD,所以BC=2. 因为AD∥BC,BC=2,AD=1, 所以AG∶GC=1∶2.

又因为PE=2EA,所以EG∥PC. 因为PC?平面BDE,EG?平面BDE, 所以PC∥平面BDE.

3.(2015·宿州模拟)一个多面体的直观图及三视图

如图所示(其中M,N分别是AF,BC的中点).
(1)求证:MN∥平面CDEF. (2)求多面体A-CDEF的体积.

【解析】由三视图可知:AB=BC=BF=2,DE=CF=2 2 ,∠CBF= ? .
2

(1)取BF的中点G,连接MG,NG,由M,N分别为AF,BC的 中点可得,NG∥CF,MG∥EF,且NG∩MG=G,CF∩EF=F, 所以平面MNG∥平面CDEF,又MN?平面MNG, 所以MN∥平面CDEF.

(2)取DE的中点H. 因为AD=AE,所以AH⊥DE, 在直三棱柱ADE-BCF中,平面ADE⊥平面CDEF, 平面ADE∩平面CDEF=DE.所以AH⊥平面CDEF. 所以多面体A-CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中, AH= 2 . S矩形CDEF=DE·EF=4 , 2
1 ·S矩形CDEF·AH= 3 1 8 ?4 2? 2 ? . 3 3

所以棱锥A-CDEF的体积V=

考点3

面面平行的判定和性质

【典例4】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,证明:平面 A1BD∥平面CD1B1.

【解题提示】在平面A1BD找两条相交直线,分别证明其平行平面CD1B1 即可.

【规范解答】由题设知,BB1

DD1,

所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.
又BD?平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1 B 1C 1 BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,

所以A1B∥D1C, 又A1B?平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1. 又BD∩A1B=B,所以平面A1BD∥平面CD1B1.

【规律方法】

1.判定面面平行的方法
(1)利用定义:常用反证法. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行. (4)利用两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.

2.面面平行的性质

(1)两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.
(2)若一平面与两平行平面相交,则交线平行. 提醒:利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平 面内的两条相交直线与另一个平面平行.

重视三种平行间的转化关系

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题
的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条 件,选择正确的转化方向.

【变式训练】

(2015·盐城模拟)如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为
AC,A1C1上的点. (1)当 A1D1 等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
D1C1

(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求

AD 的值. DC

【解析】(1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时
A1D1 =1.连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性 D1C1

质知,四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的 中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,所以OD1∥BC1.又因 为OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,所以BC1∥平面AB1D1.所以当 时,BC1∥平面AB1D1.
A1D1 =1 D1C1

(2)由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩
A D DC 平面AB1D1=D1O得BC1∥D1O,所以 A1D1 = A1O , 又由题可知 1 1 = ,
A1O 所以 DC =1,即 AD =1. = 1, OB AD DC

D1C1

OB

D1C1

AD

【加固训练】1.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是

棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在
BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点. (1)求证:E,B,F,D1四点共面. (2)求证:平面A1GH∥平面BED1F.

【证明】(1)连接FG.因为AE=B1G=1,所以BG=A1E=2,又BG∥A1E,所以四

边形BGA1E为平行四边形.则A1G∥BE.又C1F∥B1G,C1F=B1G,所以四边形
C1FGB1为平行四边形.则FG∥B1C1,FG=B1C1.又B1C1∥D1A1,B1C1=D1A1,所

以FG∥D1A1,FG=D1A1.则四边形A1GFD1为平行四边形.则A1G∥D1F,所以
D1F∥BE.故E,B,F,D1四点共面.

B1G 2 FC 2 3 = .又 = , (2)因为H是B1C1的中点,所以B1H= .又B1G=1, B1H 3 BC 3 2

且∠FCB=∠GB1H=90°.所以△B1HG∽△CBF,则∠B1GH=∠CFB=∠FBG.

所以HG∥FB.又由(1)知,A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,所以平面
A1GH∥平面BED1F.

2.平面α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形BCDE的底DE=2,过EB的中

点B1的平面β ∥α ,若β 分别交EA,DC于A1,C1,求△A1B1C1的面积.

【解析】因为α∥β,所以A1B1∥AB,B1C1∥BC,

又因∠A1B1C1与∠ABC同向.
所以∠A1B1C1=∠ABC.
52 ? 8 2 ? 7 2 1 又因为cos∠ABC= ? , 2? 5?8 2

所以∠ABC=60°=∠A1B1C1.

又因为B1为EB的中点, 所以B1A1是△EAB的中位线,
5 1 所以B1A1= AB= , 2 2

同理知B1C1为梯形BCDE的中位线,
1 2 则 S? A1B1C1= 1 A1B1·B1C1·sin60° 2 1 5 3 25 ? ? ?5? ? 3. 2 2 2 8 25 3. 故△A1B1C1的面积为 8

所以B1C1= (BC+DE)=5.

规范解答10

线、面平行中的探索性问题

【典例】(12分)(2014·四川高考)在如图所示的多面体 中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. (1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1. (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直 线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.

解题导思

研读信息

快速破题

规范解答

阅卷标准

体会规范

(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,

AA1⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以
AA1⊥平面ABC.………………………………………2分

因为直线BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.……………………………3分
又由已知,AC⊥BC, AA1,AC为平面AAC1A1内两条相交直线. 所以BC⊥平面ACC1A1.………………………………………6分

(2)取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1.设O为A1C,AC1的交点.由已

知,O为AC1的中点,连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD
1 AC,OE 2 1 AC,因此MD 2

OE,………………………8分

连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE MO.

因为直线DE?平面A1MC,
MO?平面A1MC, 所以直线DE∥平面A1MC.………………………………………10分 即线段AB上存在一点M (线段AB的中点), 使直线DE∥平面A1MC.………………………………………12分

高考状元

满分心得

把握规则

争取满分

1.注意答题的规范性 在解题过程中,注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求答题, 如本例中证明直线与平面垂直,要先证直线与平面内两相交直线垂直, 再证结论,另外还要注意解题过程中取的点,连的线,都要适时的交待.

2.关键步骤要全面

阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有关键步骤、关键点则得分,没有
要相应扣分,所以解题时要写全关键步骤,踩点得分,如本例阅卷提示 的前两处,不能漏掉,否则要扣分.


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2014年高考数学(文科)一轮复习课件第七章第四节 直线、平面平行的判定及其性质(人教A版-广东)
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