2014高三数学北师大版一轮总复习课件8-2空间图形的基本关系与公理81_图文

走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第八章 立体几何初步

第八章
第二节 空间图形的基本关系与公理

高考目标

3 课堂典例讲练

课前自主预习

4 思想方法点拨

5 课后强化作业

高考目标

考纲解读 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形 的位置关系的简单命题.

考向预测 1.以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推 理能力与空间想象能力. 2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共 面的问题. 3.多以选择题、填空题的形式考查,有时也出现在解答 题中,属低中档题.

课前自主预习

知识梳理 1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直
线上所有的点都在这个平面内. 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有 一条 通过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
???共面直线?????平相行交直直线线 ??异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①过空间任意一点 P 分别引两条异面直线 a,b 的平行线 l1,
l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面
直线 a,b 所成的角. ②范围:???0,π2???.

3.直线与平面的位置关系有相交、平行、 在平面内 三种情况.
4.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 5.定理 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角相等或互补 .

基础自测

1.(教材改编题)若点 M 在直线 b 上,b 在平面 β 内,则 M,b,

β 之间关系可表示为( )

A.M∈b∈β

B.M∈b β

C.M b β

D.M b∈β

[答案] B

[解析] 用集合语言表示,只有 B 正确.

2.(文)已知 a、b 是异面直线,直线 c∥直线 a,则 c 与 b( )
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
[答案] C

[解析] a、b 是异面直线,直线 c∥直线 a.因而 c 不与 b 平行,否则,若 c∥b,则 a∥b,与已知矛盾,因而 c 不与 b 平行.

(理)给出下列命题: ①和一条直线都相交的两条直线在同一个平面内;

②三条两两相交的直线在同一个平面内;

③有三个不同公共点的两个平面重合;

④两两平行的三条直线确定三个平面.

其中正确命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

[答案] A

[解析] 对于①两条直线可以异面;对于②三条直线若交 于一点,则可以异面;对于③这三点若共线,则两平面可以相 交;对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面.

3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面与也 CC1 共面的棱的条数为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

[答案] C

[解析] 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1,与 AB,CC1 都 共面的棱为 BC,C1D1,DC,AA1,BB1 共 5 条.

4.(文)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给

出下列命题:

①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c;

③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b.

其中真命题的序号是( )

A.①②

B.②③

C.①④

D.③④

[答案] C

[解析] 本题主要考查平面几何,立体几何的线线,线面 的关系.
①平行关系的传递性. ②举反例:在同一平面内若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c.故②错.

③举反例:

a∥γ,b∥γ,则 a 与 b 相交.

④垂直于同一平面的两直线互相平行.

故①,④正确.

(理)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1,B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角为( )

A.45° C.90°
[答案] B

B.60° D.120°

[解析] 如下图,取 A1B1 中点 M,连接 GM、MH,
则△MGH 为正三角形. ∵MG∥EF, ∴异面直线 EF 与 GH 所成的角为∠MGH=60°.

体.P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,过四个点共面的 图形是________.
[答案] ①②③

[解析] 在④选项中,可证 Q 点所在棱与 PRS 平行,因 此,P、Q、R、S 四点不共面.可证①中 PQRS 为梯形;③中 可证 PQRS 为平行四边形,②中如右图取 A1A 与 BC 的中点为 M、N,可证明 PMQNRS 为平面图形,且 PMQNRS 为正六边 形.

6.直线 AB、AD α,直线 CB、CD β,点 E∈AB,点 F ∈BC,点 G∈CD,点 H∈DA,若直线 EH∩直线 FG=M,则 点 M 与 BD 的关系是________.
[答案] M∈BD

[解析] 由 EH∩FG=M,知 M∈EH,所以 M∈平面 CBD, 同理 M∈平面 ABD,又平面 ABD∩平面 CBD=BD, 故 M∈BD.

7.如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠FAB=90°,BC 綊12AD,BE 綊12FA,G、H 分别为 FA,FD
的中点.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)证明:C,D,F,E 四点共面.

[解析] (1)由已知 FG=GA,FH=HD,可得 GH 綊12AD. 又 BC 綊12AD,∴GH 綊 BC. ∴四边形 BCHG 为平行四边形.

(2)证法一:由 BE 綊12AF,G 为 FA 的中点,知 BE 綊 FG,
∴四边形 BEFG 为平行四边形. ∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,∴EF∥CH. ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C,D,E,F 四点共面.

证法二:如图,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, ∵BE 綊12AF,∴B 为 MA 的中点.

∵BC 綊12AD,∴B 为 M′A 中点.
∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′). ∴C,D,F,E 四点共面.

课堂典例讲练

点共线、线共点问题
[例 1] 如图所示,已知△ABC 的三个顶点都不在平面 α 内,它的三边 AB,BC,AC 延长后,分别交平面 α 于点 P, Q,R.求证:点 P,Q,R 在同一直线上.

[分析] 要证明 P,Q,R 三点共线,只需证明 P,Q,R 三点在平面 α 和平面 ABC 的交线上,可先用任意两点确定交 线所对应的直线,再证明第三点在该直线上,本题体现了空间 问题转化为平面问题的思想和方法.

[证明] 由已知 AB 的延长线交平面 α 于点 P,根据公理 3, 三角形 ABC 所在的平面与平面 α 必相交于一条直线,设为 l.
∵P∈直线 AB,P∈平面 ABC. 又直线 AB∩平面 α=P,∴P∈平面 α. ∴P 是平面 ABC 与平面 α 的公共点. ∵平面 ABC∩平面 α=l, ∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l. ∴点 P,Q,R 在同一条直线 l 上.

[点评] 证明三点共线通常有两种方法:一是首先找出两 个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,于是可得 这三点都在这两个平面的交线上,即三点共线;二是选择其中 两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得 出三点共线.

已知空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的中点 F,G 分别是边 BC,CD 上的点,且CCFB=CCGD=23(如图所示),求 证:三条直线 EF,GH,AC 交于一点.

[分析] 欲证三线共点,可证其中两条直线有交点,且该 交点在第三条直线上.

[证明] ∵AEEB=HAHD=1,∴EH 綊12BD,
而CCFB=CCGD=23,
∴FBGD=23,且 FG∥BD,
∴四边形 EFGH 为梯形, 从而两腰 EF,GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF,EF 平面 ABC,

∴P∈平面 ABC.同理 P∈平面 ADC. ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上. 故 EF,GH,AC 三条直线交于一点.

[点评] 平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用,只 是在思考中应考虑空间图形的新特点.

共面问题
[例 2] 求证:两两相交而不通过同一点的四条直线必在 同一平面内.
[分析] 已知 a、b、c、d 四条直线不共点但是两两相交, 求证:a、b、c、d 共面.a、b、c、d 四条直线或者有三条共 点或无三条共点,分两种情形证:

(1)设有三条直线共点,不失一般性,可设此三条直线为 a、b、c,它们均过 P 点(如下图甲),此时 d 必不过点 P(因四 线不共点)

因此过 d 和点 P 可以确定平面 α,再设法证明其他三条直 线 a、b、c 均在 α 内即可.
(2)设没有三条直线共点(如图乙) ∵a∩b=Q, ∴a 与 b 可确定一个平面 β. 再设法证明其余二线 c、d 均在 β 内即可.

[证明] (1)若 a、b、c 三线共点 P,但点 P?直线 d. ∴直线 d 和其外一点 P 可以确定一个平面 α, 又 a∩d=C,∴C∈α 且点 P∈α, ∴直线 a 平面 α, 同理可证:直线 b 上有两点 B、P 在平面 α 上, ∴b 平面 α,∴c 平面 α,∴a、b、c、d 四线共面.

(2)若 a、b、c、d 两两相交但不过同一点. ∵a∩b=Q,∴a 与 b 可以确定一个平面 β, 又∵c∩b=E,E∈b 平面 β,∴E∈β, 同理 c∩a=F,F∈a 平面 β,∴F∈β, ∴直线 c 上有两点 E、F 在 β 上, ∴c 平面 β. 同理可证 d 平面 β , 故 a、b、c、d 四线共面 β. 得(1)、(2)可知:两两相交而不通过同一点的四条直线必 在同一平面内.

[点评] 利用基本性质 2 及其三个推论,可以用来证明点, 线共面.证明此类问题,常用的方法有:
(1)纳入法:先利用基本性质 2 及其三个推论证明某些点 和直线在一个确定的平面内,再证明其余的点和直线也在这个 确定的平面内.
(2)同一法:先利用基本性质 2 及其三个推论证明某些点 和直线在一个确定的平面内,另一些点和直线在另外一个确定 的平面内,…,最后再证明这些平面重合.

(3)反证法:可以假设这些点和直线不在一个平面内,然 后通过推理,找出矛盾,从而否定假设、肯定结论.

一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.

[解析] 已知:a∥b∥c,
l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:直线 a,b,c,l 共面.
证明:∵a∥b,
∴a、b 确定一个平面 α,

∵l∩a=A,l∩b=B, ∴A∈α,B∈α,故 l α.
又∵a∥c,
∴a、c 确定一个平面 β,同理可证 l β, ∴α∩β=a 且 α∩β=l, ∵过两条相交直线 a、l 有且只有一个平面, 故 α 与 β 重合,即直线 a,b,c,l 共面.

平面基本性质的综合应用
[例 3] 在正方体 AC1 中,E 是 CD 的中点,连接 AE 并 延长与 BC 的延长线交于点 F,连接 BE 并延长交 AD 的延长 线于点 G,连接 FG.
求证:直线 FG 平面 ABCD 且直线 FG∥直线 A1B1.
[分析] 先由基本性质 1 判定 FG 平面 ABCD,再由平 行公理有线线平行.

[解析] 由已知知 E 是 CD 的中点,

在正方体 AC1 中, A∈平面 ABCD,E∈平面 ABCD, 所以 AE 平面 ABCD. 又 AE∩BC=F,所以 F∈AE, 从而 F∈平面 ABCD. 同理 G∈平面 ABCD,所以 FG 平面 ABCD. 因为 EC 綊12AB,

故在 Rt△FBA 中,CF=BC, 同理 DG=AD. 又在正方形 ABCD 中,BC 綊 AD,
所以 CF 綊 DG,
所以四边形 CFGD 是平行四边形,
所以 FG∥CD,又 CD∥AB,AB∥A1B1, 所以直线 FG∥直线 A1B1.

[点评] 判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基 本性质及几何体内线面之间的位置关系,其中基本性质 4 是论 证空间中两条直线平行的重要方法之一,使用基本性质 4 的关 键是“桥梁直线”,即第三条直线的选择.同时,解立体几何 问题应注意平面几何知识的应用.

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.
求证:(1)D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线.

[证明] 如图所示,

(1)∵EF 是△D1B1C1 的中位线,
∴EF∥B1D1. 在正方体 AC1 中,B1D1∥BD,∴EF∥BD.
∵EF,BD 确定一个平面,即 D、B、F、E 四点共面. (2)正方体 AC1 中,设 A1ACC1 确定的平面为 α,又设平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又 Q∈EF,∴Q∈β. 则 Q 是 α 与 β 的公共点.

同理,P 点也是 α 与 β 的公共点. ∴α∩β=PQ,又 A1C∩β=R, ∴R∈A1C,∴R∈α,则 R∈PQ. 故 P、Q、R 三点共线.

[点评] 1.共点问题 证明 l1、l2 和 l 三线共点,一般先证两条直线 l1 与 l2 相交 于点 O;再由点 O 既在直线 l1、l 确定的平面 α 内,又在直线 l2、l 确定的平面 β 内;由公理 3 可得点 O∈l=α∩β,即 l1、l2、 l3 三线共点. 2.共线问题 证明 A、B、C 三点共线,一般先证 A、B 两点连线是平面 α、β 的交线;再证点 C∈直线 AB=α∩β,即 A、B、C 三点共 线.

3.共面问题 证明多个几何元素(点和线)共面,一般先由公理 2 或其推 论确定平面 α 经过某些元素(或者说这些元素在平面 α 内);再 由公理 1 和公理 3 证明其他元素也在平面 α 内.

异面直线问题 [例 4] 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问:

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.
[分析] 第(1)问,连接 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与
CN 共面;第(2)问可采用反证法.

[解析] (1)不是异面直线.理由如下: 连接 MN、A1C1、AC.

∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,
∴MN∥A1C1.
又∵A1A 綊 C1C,
∴四边形 A1ACC1 为平行四边形,
∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直 线.

(2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B 平面 α,CC1 平面 α, ∴D1、B、C、C1∈α,与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线.

[点评] (1)见中点,应构造中位线并利用中位线性质转化 为平行关系.
(2)判定两条直线异面可用:经过平面内一点和平面外一 点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线,或用反证 法.
(3)异面直线的判定高考一般不会出大题,但在选择题中 可能会涉及.

(文)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )

A.只有 1 个

B.恰有 3 个

C.恰有 4 个

D.有无穷多个

[答案] D

[解析] 本题考查空间想象能力. 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直 线都成 45°角直线上所有点到两条直线的距离都相等,故选 D.

(理)(2012·江门模拟)如图是某个正方体的侧面展开图,l1, l2 是两条侧面对角线,则在正方体中,l1 与 l2( )

A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为π3 D.相交且夹角为3π
[答案] D

[解析] 将侧面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重合.故 l1 与 l2 相交,连接 AD,△ABD 为正三角形,所 以 l1 与 l2 的夹角为3π.故选 D.

思想方法点拨

1.平面的基本性质(三个公理、三个推论)是整个立体几 何的基础,其中确定一个平面的四种情形是将立体几何问题转 化为平面几何问题的依据.高考中对平面基本性质的考查一般 不会单独命题,常是融该知识点于其他知识点之中综合命题.
“空间两直线”中,“异面直线”是重点,也是难点,几 乎每年高考都要涉及.考查的内容多涉及异面直线的定义、异 面直线所成的角.

2.公理的应用 (1)证明线共面 证明线共面,一般是三线共面作原始题从而推广到多线共 面,一般有两种证法,一是两线确定一个平面,再证明第三线 在这个平面内;二是其中两条直线确定一个平面 α,另两条直 线确定平面 β,而 α,β 又同时具有确定平面的公共条件,进 而 α,β 重合.从而三线共面.

(2)证明三点共线 三点都是某两平面的公共点,则三点共线. (3)证明三线共点 与初中证明三线共点的思路一样,先证两条直线交于一 点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归到证明点在直线 上的问题了.

3.空间两条直线位置关系有三种情况:相交、平行、异 面,而两条直线异面是个重点.要正确理解异面直线的定义, 其特征既不相交又不平行.
4.求两条异面直线所成的角的大小一般方法,是通过平 行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等 角定理及推论、异面直线所成的角的大小与顶点位置无关,将 角的顶点取在其中的一条直线上,特别地可以取其中一条直线 与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.理科还用向 量法求异面直线所成的角.

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