河南省郑州市2015年高中毕业年级第二次质量预测数学文试题(扫描版)[来源:学优高考网885760]

2015 年高中毕业年级第二次质量预测 文科数学
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 B 15. 7 A 10 ; 8 D 9 C 10 C 11 D 12 A

参考答案

二、填空题 13. 28; 14. 0 ; 三、解答题

16. ①②④.

17. 解:(1)由 S n ? 2an ? 2 可得 a1 ? 2 ,

因为 S n ? 2an ? 2 ,

所以,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 , 即:

an ? 2. a n ?1

数列 {an } 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以, an ? 2 n ( n ? N? ).??? 6 分 (2) bn ? log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? log 2 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 由 (n ? 8)bn ? nk 对任意 n ? N * 恒成立,即实数 设 cn ?

n(n ? 1) . 2

(n ? 8)( n ? 1) ? k 对 n ? N* 恒成立; 2

1 ( n ? 8)( n ? 1) ,则当 n ? 3 或 4 时, cn 取得最小值为 ? 10 ,所以 k ? ?10 . ??? 12 分 2 x ? 0.3,? x ? 150 ,所以 y ? z ? 60 , 18.解解: (Ⅰ) 由题意 500 50 50 ? 20 ? 2, 应抽取学生人数 ? 40 ? 4. 因为 z ? 2 y ,所以 y ? 20, z ? 40, 则应抽取教师人数 500 500

?? 5 分

(Ⅱ)所抽取的“不赞成改革”的 2 名教师记为 a , b , 4 名学生记为 1,2,3,4 ,随机选出三人的不同选法有

(a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4), (a,3,4) , (b,1,2)(b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4), (b,3,4) , (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4),共 20 种,??? 9 分
至少有一名教师的选法有

(a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4), (a,3,4) , (b,1,2)(b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4), (b,3,4) 共 16 种,

16 4 ? . ?? 12 分 20 5 19.证明(I)取 A?B ? 得中点 E ,连接 ME, NE ,因为 M , N 分别为 A?B 和 B?C ? 的中点, 所以 NE // A?C?, ME // AA? 又因为 A?C ? ? 平面AA?C ?C , A?A ? 平面AA?C ?C ,
至少有一名教师被选出的概率 p ? 所以 ME // 平面AA?C?C , NE // 平面AA?C?C , ??? 5 分

所以 平面MNE // 平面AA?C ?C ,因为 MN ? 平面A?MN , 所以 MN // 平面AA?C ?C ; ??? 6 分 ? (II)连接 BN ,设 AA ? a ,则 AB ? ?AA? ? ?a ,

1 2?a, NC ? BN ? a 2 ? ?2 a 2 , 2 因为三棱柱 ABC ? A? B?C? 侧棱垂直于底面, 所以 平面A?B?C ? ? 平面BB?C ?C , 因为 AB ? AC ,点 N 是 B?C ? 的中点,所以 A?N ? 平面BB?C?C , ? CN ? A?N ,??? 9 分 要使 CN ? 平面A?MN , 只需 CN ? BN 即可, 1 2 a 2 ? ?2 a 2) ? 2?2 a 2 ,? ? ? 2 , 所以 CN 2 ? BN 2 ? BC 2 ,即 ( 2 则 ? ? 2 时, CN ? 平面A?MN . ??? 12 分
由题意知 BC ?

x2 y 2 20.解:(1)因为椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意得 a b
S ?BF1F2 ? 1 c 2 2 2 2 ? 2c ? b ? 4 , e ? ? ,a ? b ? c , 2 a 2
?? 4 分

?a 2 ? 8, x2 y 2 ? ? 1. 解得 ? 2 所以椭圆 C 的方程为 C : 8 4 ?b ? 4,
2 2 2

(2)假设存在圆心在原点的圆 x ? y ? r ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M , N , 因为

OM ? ON ? OM ? ON ,所以有 OM ? ON ? 0 ,

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? m ? 当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 。解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8
得 x ? 2(kx ? m) ? 8 ,即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ,
2 2

2

2

2

??? 6 分

2 2 2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

x1, 2 ?

? 4km ? 16 k 2 m 2 ? 4(1 ? 2k 2 )( 2m 2 ? 8) 2(1 ? 2k 2 )

? x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? ; 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0, 要使 OM ? ON ? 0 ,需 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? m2 ? 2 3m2 ? 8 2 2 ? 0 又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 ,所以 k ? , 8 ?3m ? 8
2 2

2

2 所以 m ?

8 2 6 2 6 ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆的一条切线, 3 3 3

所以圆的半径为 r ?

m 1? k 2

, r2 ?

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ,所求的圆为 x ? y ? , ? ,r ? 2 3 3m ? 8 3 3 1? 8

??? 10 分

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m ? ? , 3 3

而当切线的斜率不存在时,切线为 x??

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的 两 个 交 点 为 ( 与椭圆 ,? )或 8 4 3 , 3 3
?? 12 分

(?

8 2 6 2 6 ,? ) 满足 OM ? ON ? 0 , 综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? 满足条件. 3 3 3
/

1 1 1 1 ,令 f / ( x) ? 0 解得 x ? ? 因为 a ? (?? ,? ) ,所以 0 ? ? ? e , a x e a 1 1 由 f / ( x) ? 0 解得 0 ? x ? ? ,由 f / ( x) ? 0 解得 ? ? x ? e a a 1 1 从而 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ? ) ,减区间为 (? , e) a a 1 1 2 所以, f ( x) max ? f ( ? ) ? ?1 ? 1 ? ln( ? ) ? ?4 , 解得, a ? ?e .??. 5 分 a a ln x b ln x b ? 有实数根, ? 存在零点,即方程 f ( x) ? (Ⅱ)函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 x 2 1 x 1 1 x?e 由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,当 a ? ? 时, f ( x) ? ? ? 1 ? ln x ,所以 f ?( x) ? ? ? ? ? , e x ex e e 当 0 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,所以, f ( x ) 的单调增区间为 (0, e) ,减区间为 (e,??) ,
21. 解: (Ⅰ)由题意 f ( x ) ? a ? 所以 f ( x) max ? f (e) ? ?1 , 令 h( x ) ? 所以, | f ( x) | ≥1. ??? 9 分

ln x b 1 ? ln x ? ,则 h ?( x) ? . 当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, x 2 x2 从而 h( x) g ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e, ??) 上单调递减, 1 b ln x b ? 有实数根, 所以, h( x) max ? h(e) ? ? 要使方程 f ( x ) ? x 2 e 2, 1 b 2 只需 h( x) max ? h(e) ? ? ? 1 即可,则 b ? 2 ? . ?12 分 e 2 e
22. (Ⅰ)证明:连结 BE ,由题意知 ?ABE 为直角三角形. 因为 ?ABE ? ?ADC ? 90 , ?AEB ? ?ACB , ?ABE ∽ ?ADC ,
0

F A

AB AE ? 所以 ,即 AB ? AC ? AD ? AE . AD AC
又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE . ??? 5 分

O B E D C

(Ⅱ)因为 FC 是圆 O 的切线,所以 FC 2 ? FA ? FB ,又 AF ? 2, CF ? 2 2 ,所以 BF ? 4, AB ? BF ? AF ? 2 , 因为 ?ACF ? ?FBC ,又 ?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB . 所以

AF AC AF ? BC ? ? 2 ,得 AC ? FC BC CF
?? 10 分

cos?ACD ?

2 14 AB 4 14 ,? sin ?ACD ? ? sin ?AEB, ? AE ? ? . 4 4 sin ?AEB 7

23. (Ⅰ)由 x ? 3 cos? ? sin ? 得 x2 ? ( 3 cos? ? sin ? )2 ? 2 cos2 ? ? 2 3 sin ? cos? ? 1 , 所以曲线 M 可化为 y ? x2 ?1 , x ? [?2,2] , ??2 分 由 ? sin(? ?

?
4

)?

2 2 2 2 t ,得 ? sin ? ? ? cos? ? t, 2 2 2 2

所以 ? sin ? ? ? cos ? ? t ,所以曲线 N 可化为 x ? y ? t .??? 4 分 (Ⅱ)若曲线 M , N 有公共点,则当直线 N 过点 (2,3) 时满足要求,此时 t ? 5 ,并且向左下方平行运动直到相 切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,联立 ?

?x ? y ? t 2 ,得 x ? x ? 1 ? t ? 0 , 2 ? y ? x ?1
??? 10 分

? ? 1 ? 4(1 ? t ) ? 0 ,解得 t ? ?

5 5 ,综上可求得 t 的取值范围是 ? ? t ? 5 . 4 4
解得 ?

24. 解: (I)不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 1 ,即 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4 , 当x? ? 当?

2 时,即 ? 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 3

2 ? x ? 1 时,即 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 3 当 x ? 1 时,即 3x ? 2 ? x ? 1 ? 4, 无解, 5 1 综上所述 x ? ( ? , ) . ??? 5 分 4 2 1 1 1 1 n m ? 4, (Ⅱ) ? ? ( ? )( m ? n) ? 1 ? 1 ? ? m n m n m n 2 ? 2 x ? 2 ? a , x ? ? , ? 3 ? 2 ? 令 g ( x) ? x ? a ? f ( x) ? x ? a ? 3 x ? 2 ? ??4 x ? 2 ? a, ? ? x ? a, 3 ? ??2 x ? 2 ? a, x ? a, ? ? 2 2 ? x ? ? 时, g ( x ) max ? ? a ,要使不等式恒成立, 3 3 2 10 只需 g ( x ) max ? ? a ? 4 即 0 ? a ? . ??? 10 分 3 3

5 2 ?x?? , 4 3 2 1 解得 ? ? x ? , 3 2


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