2015-2016学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列课件 新人教B版必修5_图文

第二章 数列
2.2 等差数列

观察:这些数列有什么共同特点? (1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为

1984,1988,1992,1996,2000,2004
(2)某剧场前10排的座位数分别是: 38,40,42,44,46,48,50,52,54,56 (3)3,0,-3,-6,-9,-12,…… (4)2,4,6,8,10 (5)1,1,1,1,1,1……

从第二项起,第一项与前一项的差都是同一个常数.

等差数列的定义
一般地,如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同 一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。 公差通常用字母 d 表示。

定义的符号表示是:an - an-1=d(n≥2,n∈N),这就是数列 的递推公式。

请你写出这些数列的公差
(1)从0开始,将5的倍数按从小到大的顺序排列,组成的数列为: 0,5,10,15,20,25,……. (2)在2000年悉尼奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目,该项目共设置了7个级 别,其中较轻的4个级别体重(单位:kg),组成数列 : 48,53,58,63. (3)水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放 水清库的办法 清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低 降至5m.那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位(单位 m)组成的数列为: 18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本息计 算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×存期).按 活期存入10 000元钱,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和(单位: 元)组成的数列为: 10072,10144,10216,10288,10360.

1 、已知数列1, 8, 15, 22, 29;

公差d=7

2、若将数列中各项的次序作一次颠倒所得的数列29,22,15,8,1;是否为等
差数列?若是,是否与原数列相同?公差是多少?若不是,说明理由

公差d=﹣7
3、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是,
说明理由

公差d=0

4、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是多少?若不是, 说明理由

不是

公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差,防止把被减 数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为0。

例 1:下列数列是等差数列的是( 1 1 1 1 A. , , , 3 5 7 9 C.1,-1,1,-1

)

B.1, 3, 5, 7 D.0,0,0,0

[解析]

1 1 1 1 ∵5-3≠7-5,故排除 A; ∵ 3-1≠ 5- 3,故排除 B; ∵-1-1≠1-(-1),故排除 C, ∴选 D.

等差中项
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列:

(1)2 ,( 3 ) , 4

(2)-12,( -6 ) ,0

( 3 )a , ( a?b ) , b
2

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,

那么A叫做a与b的等差中项。

a?b A? 2

an ?1

an ? an ? 2 ? 2

例 2: 已知: 1, x, y,10 构成等差数列, 则 x、 y 的值分别为________.

解析:由已知,x 是 1 和 y 的等差中项,即 2x=1+y y 是 x 和 10 的等差中项,即 2y=2x+10 由①、②可解得 x=4,y=7.

①, ②

通项公式的推导一:

an+1-an=d

已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d

a2-a1=d

a2=a1+d

a3-a2=d
a4-a3=d

a3=a2+d =(a1+d)+d=a1+2d
a4=a3+d =(a1+2d)+d=a1+3d

a5呢? ……

a9呢?

由此得到 a = a +(n-1)d , n∈N+,d是常数 n 1

通项公式的推导二:

a2-a1=d a3-a2=d a3-a2=d
+) an-an-1=d
……

总之
已知等差数列是的首项为a1, 公差为d,则等差数列的通项 公式为:

an-a1=(n-1)d

an=a1+(n-1)d
这个方法我们称之为累加法,或者叠加法。

典例展示
等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d
例3:已知等差数列的首项 a1=3 ,公差 d =2,求它的通项公式an。

分析:知道a1,d ,求an ;代入通项公式。
解:∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d

=3+(n-1) ×2 =2n+1

例4: (1) 求等差数列8,5,2,…,的第20项。
解: ? a1

an ? a1 ? (n ?1)d

? 8 , d ? 5 ? 8 ? ?3, n ? 20 ,

? a20 ? 8 ? (20 ?1) ? (?3) ? ?49
(2) 等差数列 -5,-9,-13,…,的第几项是 –401?
解: ? a1

? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4, an ? ?401 ,
?5 ? (n ? 1) ? (?4)

因此, ? 401? 解得

n ? 100

变式1:
a4 ? 15 ,

an ? a1 ? (n ?1)d
a7 ? 27, a10 ? 39

1. 求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项;

2. 100是不是等差数列2,9,16,…中的项?

100 ? 2 ? (n ? 1) ? 7 ? n ? 15
7 3. -20是不是等差数列0,- 2 ,-7…中的项;

47 ? 7? ? 20 ? 0 ? (n ? 1) ? ? ? ? ? n ? (舍) 7 ? 2?

例5:在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d. 解:由题意可知

?

a1 ? 4 d ?10 a1 ?11d ? 31

an ? a1 ? (n ?1)d

这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次方程组, 解这个方程组,得

?

a1 ? ? 2 d ?3

即这个等差数列的首项是-2,公差是3.

求通项公式的关键步骤:
1.求基本量a1和d :根据已知条件列方程,由此解出a1 和d ,再代入通项公式。
2.像这样根据已知量和未知量之间的关系,列出方程求解的 思想方法,称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。

变式2:(1)求等差数列9,5,1,…的第10项; (2)已知等差数列{an},an=4n-3,求首项a1和公差d. 解:(1)由a1=9,d=5-9=-4,得

an = a1+(n-1)d=9+(n-1)(-4)=13-4n.
当n=10时,a10

=13-4×10=-27.

(2)由an=4n-3知

a1=4×1-3=1 且 d=a2-a1=(4×2-3)-1=4
所以,等差数列{an}的首项a1=1,公差d=4.

变式3:已知等差数列{an}中,a5=-20, a20=-35,
试求出数列的通项公式.

解:由等差数列的通项公式:an

= a1+(n-1)d 有



-20= a1+4d -35= a1+19d

解得:a1=-16,d=-1 故数列{an}的通项公式为

an=-16+(n-1)(-1)=-15-n.

例 6: (1)在等差数列{an}中,已知 a7+a8=16,则 a2+a13=( A.12 C.20 B.16 D.24

)

(2)已知等差数列{an}中,a2=4,a4+a6=26,则 a8 的值是________.

解析: (1)在等差数列{an}中,a2+a13=a7+a8=16,故选 B. (2)∵a2+a8=a4+a6=26, ∴a8=26-a2=26-4=22.
小结:对任意正整数 p、q、r、s,若 p+q=r+s,则 ap+aq=ar+as. 特别地对任意正整数 p、q、r 若 p+q=2r,则 ap+aq=2ar.

思考:

10 9 8
7 6 5 4 3








2
1 0 1
● ●



2

3

4

5

6

7

8

9

10

定义: 如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数 公差:

d=an-an-1 (n≥2,n∈N*)

等差数列

通项公式: an=a1+(n-1)d 等差中项

an ?1

an ? an ? 2 ? 2

性质


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