江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.4.1基本不等式的证明教学设计1 苏教版必修5

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3.4.1 基本不等式的证明(1)
教学目标: 一、知识与技能 1.探索并了解基本不等式的证明过程,体会证明不等式的基本思 想方法; 2.会 用基本不等式解决简单的最大(小)值问题; 3.学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握
定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几
何解释. 二、过程与方法 1.通过实例探究抽象基本不等 式; 2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃.要善于引导学生从数和形两方面深入地探
究不等式的证明,从而进一步突破难点.变式练习的设计可加深学生对定理的理解,并为以 后实际问题的研究奠定基础.两个定理的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析每一步的 理论依据,培养学生良好的数学品质.
三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣; 2.培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合 的想象力.
教学重点: 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 的证明过程.
教学难点: 理解基本不等式 等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵.
教学方法: 先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式;从生活中实际问题
还原出数学本质,可积极调动学生的学习热情;定理的证明要留给学生充分的思考空间,让 他们自主探究,通过类比得到答案.
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教学过程: 一、问题情景
1.提问: a ? b 与 ab 哪个 大 ? 2
2.基本不等式 ab ? a ? b 的几何背景: 2
如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图 案中找出一些相等关系或不等关系吗?(教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系).
二、学生活动
问题 1 我们把“风车”造型抽象成上图.在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角 形.设直角三角形的长为 a,b ,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
生答: a2 ? b2 , a2 ? b2 .
问题 2 那 4 个直角三角形的面积和呢?
生答 2ab .
问题 3 好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个
不等式, a2 ? b2 ? 2ab .什么时候这两部分面积相等呢? 生答:当直 角三角形变成等腰直角三角形,即 x ? y 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有
a2 ? b2 ? 2ab .
三、建构数学
1.重要不等式:一般地,对于任意实数 a ,b ,我们有 a2 ? b 2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b
时,等号成立. 问题 4:你能给出它的证明吗?(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明: a2 ? b 2 ? 2ab ? (a ?b )2,当a ? b时,(a ?b )2 ? 0,当a ? b时,(a ?b )2 ? 0,

所以

a2 ? b 2 ? 2ab

注意强调:当且仅当 a ? b 时, a2 ?b 2 ? 2ab
注意:(1)等号成立的条件,“当且仅当”指充要条件;
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(2) 公式中的字母和既可以是具体的数字,也可以是比较复杂的变量式,因此应用 范围比较广泛.

问题 5:将 a 降次为 a , b 降次为 b ,则由这个不等式可以得出什么结论?

2.基本不等式:对任意正数 a ,b ,有 a ? b ? 2
生讨论回答证明 方法)

ab, 当且仅当 a ? b 时等号成立.(学

证法 1: a ? b ? ab ? 1 [( a )2 ? ( b)2 ? 2 a b] ? 1 ( a ? b)2 ? 0 当且仅当

2

2

2

a ? b 即 a ? b 时,取“ ? ”.

证法 2:要证 ab ? a ? b ,只要证 2 ab ? a ? b ,只要证 0 ? a ? 2 ab ? b ,只要证 2
0 ? ( a ? b)2 .因为最后一个不等式成立,所以 ab ? a ? b 成立,当且仅当 a ? b 即 2
a ? b 时,取“=”号.

证法 3:对于正数 a, b 有 ( a ? b )2 ? 0 ,
? a ? b ? 2 ab ? 0 ? a ? b ? 2 ab,? a ? b ? ab 2
说明: 把 a ? b 和 ab 分别叫做正数 a, b 的算术平均数和几何平均数,上述不等式可 2
叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

注意:(1)基本不等式成立的条件是: a ? 0,b ? 0 ;

(2)不等式证明的三种方法:比较法(证法 1)、分析法(证法 2)、综合法(证法 3);

(3)a ? b ? ab 的几何解释:(如图 1)以 a ? b 为直径作圆,在直径 AB 上取一点 C , 2

过 C 作 弦 D D? ? A B, 则 CD2 ? CA ? CB ? ab , 从 而 CD ? ab , 而 半 径

a ? b ? CD ? ab 2 基本不等式 ab ? a ? b 几何意义是:“半径不小于半弦”; 2

D A a C bB

(图 1) D? (4)当且仅当 a ? b 时,取“ ? ”的含义:一方面是当 a ? b 时取等号,即

a ? b ? ab ? a ? b ;另一方面是仅当 a ? b 时取等号,即 ab ? a ? b ? a ? b ;

2

2

(5)如果 a,b ? R ,那么 a2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”);

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(6)如果把 a ? b 看作是正数 a 、b 的等差中项, ab 看作是正数 a ,b 的等比中项, 2
那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

四、数学运用

1.例题.

例 1 设 a, b 为正数,证明下列不等式成立:(1) b ? a ? 2 ;(2) a ? 1 ? 2 .

ab

a

证明 (1)∵ a, b 为正数,∴ b , a 也为正数,由基本不等式得 b ? a ? 2 b ? a ? 2 ∴原

ab

a b ab

不等式成立.

(2)∵ a, 1 均为正数,由基本不等式得 a ? 1 ? 2 a ? 1 ? 2 ,∴原不等式成立.

a

a

a

例 2 已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca .

证明 ∵ a, b, c 为两两不相等的实数,∴ a2 ? b2 ? 2ab ,b2 ? c2 ? 2bc ,c2 ? a2 ? 2ca ,

以上三式相加: 2(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca ,

所以, a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca .

例 3 已知 a,b, c, d 都是正数,求证 (ab ? cd)(ac ? bd) ? 4abcd .

证明 由 a,b, c, d 都是正数,得: ab ? cd ? ab ? cd ? 0 , ac ? bd ?

2

2

∴ (ab ? cd )(ac ? bd ) ? abcd ,即 (ab ? cd)(ac ? bd) ? 4abcd . 4

2.练习.

ac ?bd ? 0 ,

(1)已知 x, y 都是正数,求证: (x ? y)(x2 ? y2 )(x3 ? y3 ) ? 8x3 y3 ;

(2)已知 a,b, c 都是正数,求证: (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc ; (3)思考题:若 x ? 0,求 x ? 1 的最大值.
x
五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容: 1.算术平均数与几何平均数的概念; 2.基本不等式及其 应用条件; 3.不等 式证明的三种常用方法.
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小结 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 六、课外作业 课后练 习第 2 题,第 6 题;习题 3.4 第 1 题,第 2 题,第 3 题.
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