高三文科数学复习——立体几何中的垂直问题_图文

立体几何中的垂直问题

二、解题思想:化归转化的数学思想
线线垂直 线面垂直 面面垂直

三、转化依据:垂直的判定和性质

1、直线和平面垂直的判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

l
l ? n, l ? m ? ? m ? n ? o ? ?? l ? ? m ? ?,n ? ?? ?
o
m n

?

线线垂直

线面垂直

2、直线和平面垂直的性质定理:
如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线 垂直这个平面内的任意一条直线。
L

l ?? ? ? ?? l ? m m ???

P

?
线面垂直 线线垂直

m

3、 平面与平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面相互垂直。

?

m

m⊥α m?β
?

α⊥ β

线面垂直

面面垂直

4、 平面与平面垂直的性质定理:
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

?

l

m
?

? ? ?? ? ? ? ? ? ? m ? ?? l ? ? l ?? ? ? l?m ?

面面垂直

线面垂直

5 、三垂线定理: 直线 l是平面 ? 的一条斜线 直线BC是直线 l 在平面 ?内的射影,直线m在? 内

l
则m ⊥BC m ⊥l
A

m

?

C

B

返回

四、线线

线面 面面垂直的转化关系: 面面垂直 判 性 定 质 线面垂直 判 定 性 质 三垂线定理

平面几何定理

线线垂直

例1:(2010年)如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, O为底面中心,AB=BC=3,BB1=4。 D A 求证:AO ? BD B C 证法一:三垂线定理

证明:∵ 长方体ABCD-A1B1C1D1
? AA1 ? 面A1B1C1D1 又? AO在底面上的射影为A1O
B1

A1 o

D1
C1

而A1O ? B1D1 故AO ? B1D1 (三垂线定理)
又∵BD//B1D1

故 AO ? BD

例1:(2010年)如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, O为底面中心,AB=BC=3,BB1=4。 D A 求证:AO ? BD B C 证法二:线面垂直 证明: ∵长方体ABCD-A1B1C1D1
而A1O ? B1D1
? AO ? B1D1 又∵BD//B1D1 故 AO ? BD ? AA1 ? B1D1
? AA1 ? 面A1B1C1D
A1 o B1

D1

C1

又 ? AO ? 面AA1O

? B1D1 ? 面AA1O

例1:(2010年)如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中, O为底面中心, AB=BC=3,BB1=4 。 D A 求证:AO ? BD B C 证法三:直接证
证明:连接AB1,AD1 ∵ 长方体ABCD-A1B1C1D1
AB=BC=3,BB1=4 故AB1=AD1 又∵O是B1D1中点 ? AO ? B1D1
B1 A1 o

D1
C1

又∵BD//B1D1

故 AO ? BD

练习1: 已知:M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D! (2009年)
的棱BB1和B1C1的中点。
A D C

求证:MN⊥AB

B

M D? B1

A1 N

D1 C1

例2:(2007年)已知AB是圆的直径,PA垂直圆 O所在的平面,C是圆上任一点。 P 求证: BC⊥面PAC 证明:∵PA⊥⊙O所在的平面 ∴PA⊥BC
A C B

又∵AB是圆的直径,C是圆上任一点 ∴AC⊥BC 又∵AC∩PA=A
故BC⊥面PAC

练习2: 如图A为△BCD所在平面外一点,AC=AD, BC=BD,E为CD中点。 求证:CD ⊥面ABE A

B E C

D

例3:已知平面ADE ⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形. 求证:平面ADE ⊥平面CDE 证明: ∵四边形ABCD是矩形. ∴ CD⊥AD 又∵平面ADE ⊥平面ABCD
E

面ADE ? 面ABCD ? AD
故DC ⊥面ADE
A

D

C

B

又? DC ? 面CDE
∴平面ADE ⊥平面CDE

练习3:
已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。

求证:平面PAC?平面PBD。
P

A

D

B

C

五、课堂小结:
一个考点:空间垂直

一种思想:化归与转化的思想


相关文档

高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习含答案
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含标准答案)
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第6讲平行垂直的综合问题课件(文科)
高考总复习数学文科 第七篇 立体几何第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含问题详解)
2020年高考文科数学一轮总复习:立体几何平行、垂直的综合问题
2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第6讲平行垂直的综合问题分层演练(文科)
立体几何(必修2)第5节直线、平面垂直的判定与性质-高考文科数学一轮复习
电脑版