高中数学 2.1 第1课时 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修11_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·选修1-1 1-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 圆锥曲线与方程 第二章 2.1 椭圆 第1课时 椭圆及其标准方程 1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案 自主预习学案 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程 和椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形,会用待定系数法 求椭圆的标准方程. 重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式. 难点:椭圆标准方程的建立和推导. 椭圆的定义思维导航 在生活中,我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横截面 的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆; 灯光斜照在圆形桌面上,地面上形成的影子也是椭圆形 的.那么椭圆是怎样定义的?怎样才能画出椭圆呢? 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,能画出椭圆 吗? 新知导学 1.我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为 ______________________________.也曾讨论过到两定点距 连离结之这比两为点某的个线常段数的的垂点直的平轨分迹线的情形.那么平面内到两定点 距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢? 2.平面内与两个定点F1、F2的距离的_______等于常数(大于 |的F_1_F_2|__)的_,点_的__轨__迹__(_或间集的合距)离叫叫做做椭椭圆圆.的这焦两和距个.定当点常叫数做等椭于圆 |F1F2|时轨迹为__________,当常数小于|F1F2|时,轨迹 焦__点______.两焦点 线段|F1F2| 不存在 椭圆的标准方程思维导航 1.如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单. 求椭圆的方程,首先要建立直角坐标系,由于曲线上同一个 点在不同的坐标系中的坐标不同,曲线的方程也不同,为了 使方程简单,必须注意坐标系的选择.一般情况下,应使已 知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单,在求椭圆的 标准方程时,选择x轴经过两个定点F1、F2,并且使坐标原点 为线段F1F2的中点,这样两个定点的坐标比较简单,便于推 导方程. 2.在推导椭圆方程时,为何要设|F1F2|=2c,常数为2a? 为何令a2-c2=b2, 在求方程时,设椭圆的焦距为2c(c>0),椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0),这是为了使推导出的椭圆的 方程形式简单.令a2-c2=b2是为了使方程的形式整齐而便 于记忆. 3.推导椭圆方程时,需化简无理式,应注意什么? (1)方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧, 把其他项移到另一侧;(2)方程中有两个根式时,需将它们放在 方程的两侧,并使其中一侧只有一个根式,然后两边平方. 4.椭圆的标准方程 ,参数 a、b(a>b>0)有什么意义?方程 ax22+by22=1 与ay22+bx22=1 有何不同?a、b、c 满足什么关系? a 表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半,a、b、c 的关系 如图. 当 a>b>0 时,方程ax22+by22=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,方 程ay22+bx22=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,即焦点在哪个轴上相应 的那个项的分母就大. 牛刀小试 1.椭圆2x52 +1y629=1 的焦点坐标是( ) A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0) [答案] C [解析] ∵椭圆方程为2x52 +1y629=1, ∴椭圆焦点在 y 轴上, 又∵a=13,b=5,∴c=12, ∴椭圆焦点坐标为(0,±12). 2.椭圆1x62 +y72=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,一直线过 F1 交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为( ) A.32 B.16 C.8 D.4 [答案] B [解析] 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+ |BF1|+|BF2|=4a=16. 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点 P 与 两焦点的距离的和等于 8; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且椭圆经过 点( 3,- 5). [分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上,且可知 c 的值,由 P 到两焦点距离和可求出 a,进而可求出 b2. (2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上,结合 a2=b2+ c2 可设出椭圆的标准方程,再结合椭圆经过点( 3,- 5),可 确定 a、b 的值. [解析] (1)椭圆的焦点在 x 轴上,设它的标准方程为ax22+by22 =1(a>b>0). 由已知,得 2a=8,得 a=4. 又因为 c=3,所以 b2=a2-c2=42-32=7. 因此,所求椭圆的标准方程为1x62 +y72=1. (2) 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 , 设 它 的 标 准 方 程 为 y2 a2 + x2 b2 = 1(a>b>0). 由已知,得 c=4. 因为 c2=a2-b2,所以 a2=b2+16. ① 因为点( 3,- 5)在椭圆上, 所以?-a25?2+? b32?2=1,即a52+b32=1. 将①式代入②,得b2+5 16+b32=1, 解得 b2=4(b2=-12 舍去). 由①得 a2=4+16=20. 因此,所求椭圆的标准方程为2y02 +x42=1. [点评] (1)要注意焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形 式也不同,从方程看哪个分母大,焦点就在哪个轴上. (2)解题(2)时,也可以根据椭圆的定义,由点( 3,- 5) 与焦点 F1,F2 的距离的和等于 2a,求出 a 的值;然后由 b2= a2-c2,确定 b2 的值. 典例探究学案 椭圆的定义及其标准方程 (1)椭圆2x52 +1

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