18版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2第1课时对数函数的图象及性质课件新人教A版必修1_图文

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2.2.2 第 1 课时
阶 段 二

对数函数及其性质 对数函数的图象及性质
学 业 分 层 测 评

1.理解对数函数的概念,会求对数函数的定义域.(重点、难点) 2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的 性质.(重点)

[基础· 初探] 教材整理1 对数函数的概念 阅读教材P70前两个自然段,完成下列问题. 对数函数:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且a≠1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域为 (0,+∞) .

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 1 (1)函数 y=logx 是对数函数.( 2 (2)函数 y=2log3x 是对数函数.( ) ) )

(3)函数 y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).(

【解析】 (1)×.对数函数中自变量x在真数的位置上,且x>0,所以(1)错; (2)×.在解析式y=logax中,logax的系数必须是1,所以(2)错; (3)×.由x+1>0得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞),所以(3)错.

【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理 2 对数函数的图象和性质 阅读教材 P70 第三自然段至 P71“例 7”以上部分,完成下列问题. 对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象和性质如下表所示:

a>1 图象

0<a<1

性质 性质

(0,+∞) 定义域:__________ R 值域:___ 过定点(1,0) ,即x=1时,y=0 增函数 减函数 在(0,+∞)上是________ 在(0,+∞)上是________

1.函数y=log(3a-1)x是(0,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是________.

1 2 【解析】 由题意可得 0<3a-1<1,解得 <a< ,所以实数 a 的取值范围是 3 3
?1 2? ? ? , ?3 3?. ? ?

【答案】

?1 2? ? ? , ?3 3? ? ?

2.函数 y=loga(x-1)+1(a>0,且 a≠1)恒过定点________.

【解析】 当x=2时,y=1,故恒过定点(2,1). 【答案】 (2,1)

教材整理 3 反函数 阅读教材 P73 至“练习”以上的部分,完成下列问题.
x 反函数:对数函数 y=logax 与指数函数y=a (a>0,且 a≠1)互为反函数.

?1? ?x 函数f(x)=? ?2? 的反函数为g(x),则g(x)=________. ? ?

【解析】

?1? 1 ? ?x f(x)=?2? 的反函数为g(x)=log x. 2 ? ?

1 【答案】 log x 2

[小组合作型]

对数函数的概念
(1)下列函数表达式中,是对数函数的个数有( )

①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=ln x;⑤y=logx(x+2); ⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

(2)若对数函数f(x)的图象过点(4,-2),则f(8)=________.

【精彩点拨】 (1)根据对数函数的定义逐一进行判断;(2)设出对数函数的解 析式,利用条件求出其解析式,进而求f(8)的值.

【自主解答】 (1)由于①中自变量出现在底数上,∴①不是对数函数;由于 ②中底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,∴②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别 为(x+2),(x+1),∴⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x的系数为2,∴⑥也不 是对数函数;只有③④符合对数函数的定义. 1 (2)由题意设f(x)=logax,则f(4)=loga4=-2,所以a =4,故a= ,即f(x)= 2
-2

1 log x, 2 1 所以f(8)=log 8=-3. 2

【答案】 (1)B (2)-3

1.判断一个函数是对数函数必须是形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的形式, 即必须满足以下条件: (1)底数 a>0,且 a≠1; (2)自变量 x 在真数的位置上,且 x>0; (3)在解析式 y=logax 中,logax 的系数必须是 1,真数必须是 x. 2. 对数函数的解析式中只有一个参数 a, 故用待定系数法求对数函数的解析 式时只需一个条件即可求出.

[再练一题] 1.若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=________.

?a2-2a-8=0 ? 【解析】 由题意可知?a+1>0 ?a+1≠1, ?

解得a=4.

【答案】 4

对数函数的定义域
(1)函数 f(x)= 1 的定义域为( 1 log x+1 2 B.(0,2)
? 1? ? D.?0,2? ? ? ?

)

A.(2,+∞) C.(-∞,2)

1 (2)函数 f(x)= +ln(x+1)的定义域为____________________________. 2-x (3)函数 f(x)=log(2x-1)(-4x+8)的定义域为___________________________.

【精彩点拨】 (1)(2)不仅要符合对数的定义,而且还要保证二次根式开方有 意义,分母不为0等条件的限制. (3)结合对数函数的定义2x-1>0且2x-1≠1,-4x+8>0,求解.

1 1 【自主解答】 (1)要使函数 f(x)有意义,则 log x+1>0,即 log x>-1,解得 2 2 0<x<2,即函数 f(x)的定义域为(0,2),故选 B. ?x+1>0 ? (2)函数式若有意义,需满足?2-x≥0 ?2-x≠0 ? 义域为(-1,2).
? ?x>-1 即? ? ?x<2,

解得-1<x<2,故函数的定

?-4x+8>0 ? (3)由题意得 ?2x-1>0 ?2x-1≠1, ?
? ? ? ?1 ? 域为 x?2<x<2,且x≠1 ? ? ? ? ? ?. ? ?

? ?x<2 ? 1 解得 ? x>2 ? ? ?x≠1.

故函数y=log(2x-1)(-4x+8)的定义

【答案】 (1)B

(2)(-1,2)
? ? ? ? ?

? ? ? ?1 ? (3) x?2<x<2,且x≠1 ? ? ?

求与对数函数有关的函数的定义域问题应遵循的原则为: ?1?要保证根式有意义; ?2?要保证分母不为 0; ?3?要保证对数式有意义, 即若自变量在真数上, 则必须保证真数大于 0; 若自变量在底数上,应保证底数大于 0 且不等于 1.

[再练一题] 2.函数f(x)= 3-x+lg(x+1)的定义域为( A.[-1,3) C.(-1,3]
? ?3-x≥0 根据题意,得? ? ?x+1>0,

)

B.(-1,3) D.[-1,3]

【解析】

解得-1<x≤3,

∴f(x)的定义域为(-1,3].故选C.

【答案】 C

3.函数y= log3?2x-1?的定义域为( A.[1,+∞)
?1 ? ? C.?2,+∞? ? ? ?

)

B.(1,+∞)
?1 ? ? D.?2,1? ? ? ?

【解析】 要使函数y= 解得x≥1,

? ?2x-1>0 log3?2x-1?有意义,有? ? ?log3?2x-1?≥0,

所以函数f(x)的定义域是[1,+∞).故选A.

【答案】 A

[探究共研型]

对数函数的图象及性质
探究 1 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过哪一定点?函数 f(x)=loga(2x -1)+2(a>0 且 a≠1)的图象又过哪一定点呢?

【提示】 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0); 在 f(x)=loga(2x -1)+2 中,令 2x-1=1,即 x=1,则 f(x)=2,所以函数 f(x)=loga(2x-1)+2(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,2).

探究 2

如图 221,曲线 C1,C2,C3,C4 分别对应

y=loga1x,y=loga2x,y=loga3x,y=loga4x 的图象, 你能指出 a1,a2,a3,a4 以及 1 的大小关系吗?

图2-2-1

【提示】 作直线 y=1,它与各曲线 C1,C2,C3,C4 的交点的横坐标就是各 对数的底数,由此可判断出各底数的大小必有 a4>a3>1>a2>a1>0.

(1)已知 a>0 且 a≠1,函数 y=logax,y=ax,y=x+a 在同一坐标系中 的图象可能是( )

(2)作出函数 y=|log2(x+1)|+2 的图象.

【精彩点拨】 (1)根据函数 y=ax 与 y=logax 互为反函数, 得到它们的图象关 于直线 y=x 对称,从而对选项进行判断即得. (2)作 y=log2x 的图象,再作 y=log2(x+1)的图象,然后对其进行适当变换, 即可得到所求函数的图象.

【自主解答】 (1)∵函数 y=ax 与 y=logax 互为反函数, ∴它们的图象关于直 线 y=x 对称. 再由函数 y=ax 的图象过(0,1),y=logax 的图象过(1,0),排除选项 A,B,从 C, D 选项看,y=logax 递减,即 0<a<1,故 C 正确.

【答案】 C

(2)第一步:作 y=log2x 的图象,如图(1)所示.

(1)

(2)

第二步:将 y=log2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度,得 y=log2(x+1) 的图象,如图(2)所示.

第三步: 将 y=log2(x+1)的图象在 x 轴下方的部分作关于 x 轴的对称变换, 得 y=|log2(x+1)|的图象,如图(3)所示. 第四步:将 y=|log2(x+1)|的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度,即得到所求 的函数图象,如图(4)所示.

(3)

(4)

函数图象的变换规律 (1)一般地,函数 y=f(x± a)+b(a,b 为实数)的图象是由函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向左或向右平移|a|个单位长度,再沿 y 轴向上或向下平移|b|个单位长度 得到的. (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地,y=f(|x- a|)的图象是关于直线 x=a 对称的轴对称图形; 函数 y=|f(x)|的图象与 y=f(x) 的图象在 f(x)≥0 的部分相同,在 f(x)<0 的部分关于 x 轴对称.

[再练一题] 4.函数y=a-x与y=loga(-x)的图象可能是( )

【解析】 ∵在y=loga(-x)中,-x>0,∴x<0,∴图象只能在y轴的左 侧,故排除A,D;当a>1时,y=loga(-x)是减函数,y=a = 排除B;当0<a<1时,y=loga(-x)是增函数,y=a 件,故选C.
-x -x

?1? ? ? x ?a? 是减函数,故 ? ?

?1? ?x =? ?a? 是增函数,∴C满足条 ? ?

【答案】 C

1.已知函数f(x)= M∩N=( )

1 1 -x

的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则

A.{x|x>-1} C.{x|-1<x<1}

B.{x|x<1} D.?

【解析】 由题意得M={x|x<1},N={x|x>-1},则M∩N={x|-1<x<1}. 【答案】 C

2.若f(x)是对数函数,且f(2)=2,则f(x)=________.

【解析】 设f(x)=logax(a>0,且a≠1), 则f(2)=loga2=2,即a= 2, 所以f(x)= .

【答案】

3.函数 f(x)=loga(2x+1)+2(a>0 且 a≠1)必过定点________.

【解析】 令2x+1=1,得x=0,此时f(x)=2, 故函数f(x)=loga(2x+1)+2(a>0且a≠1)必过定点(0,2).

【答案】 (0,2)

4.已知函数y=f(x)与g(x)=log3x(x>0)互为反函数,则f(-2)=________.

【解析】 ∵函数y=f(x)与g(x)=log3x(x>0)互为反函数,∴f(x)=3x, 1 则f(-2)=3 = . 9
-2

1 【答案】 9

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5.已知 f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; (2)当 0<a<2 时,利用图象判断是否有满足 f(a)>f(2)的 a 值. 【解】 (1)作出函数 y=log3x 的图象如图所示:

(2)令 f(x)=f(2),即 log3x=log32,解得 x=2. 由如图所示的图象知:当 0<a<2 时,恒有 f(a)<f(2). 故当 0<a<2 时,不存在满足 f(a)>f(2)的 a 值.

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