宁夏银川二中2011届高三第一次月考试题(数学理)

银川二中 2011 届第一学期高三月练试题(一) 数学(理科) 2010、8
第一部分 选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的. ) 1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2x ? 1}, 则CU ( A ? B) ? A. (??,1) B. (1, ??) C. (??,1] D. [1, ??) ( ) ( )

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x , x ? R
3

B.

y ? sin x, x ? R
1 2

C. y ? x, x ? R 3. 设 f ( x) ? ? A. 6

D. y ? ( ) x , x ? R

x ? ?2 ? t , x ? 2 且 f (2) ? 1 ,则 f ( f ( 5)) 的值为 2 log ( x ? 1), x ? 2 ? ? t





B. 8

C . 10

D.12 ( )

2 4.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若点 (1,3) 和 (?4, ?2) 在直线 2 x ? y ? m ? 0 的两侧,则 m 的取值范围是 A. m ? ?5或m ? 10 B. m ? ?5或m ? 10 C. ?5 ? m ? 10 2 2 6.已知 a ? R ,b ? R 且 a +b =10,则 a+b 的取值范围是( )





D. ?5 ? m ? 10

A. [-2 5 ,2 5 ] B.[-2 10 ,2 10 ] C.[- 10 , 10 ] D.[0, 10 ] 7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f(6)的值为 ( ) A.-1 B. 0 C. 1 D. 2 8.给出命题 :若函数 y ? f ( x) 是幂函数,则函数 y ? f ( x) 的图像不过第四象限。在它的逆命题,否命题, 逆否命题三个命题中,真命题的个数是 ( ) A.3 B. 2 C. 1 D.0 9. 设函数 f(x)是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数,若 f (2) ? 0, f (3) ? ( ) A. (?2, 0)

a?2 , 则 a 的取值范围是 a ?3

(3, ??)

B. (?3, 2)

C. (??,3)

(2, ??)

D. (?2,3) )

10.已知函数 f ? x ? ? x2 ? (1? k ) x ? k 的一个零点在 (2,3) 内,则实数 k 的取值范围是( A. (?3, ?2)
2

B. (2,3)

C. (3, 4)

D. (0,1)

11.已知函数 f(x)=2x ? (4 ? m) x ? 4 ? m, g ( x) ? mx, 若对于任一实数 x, f ( x)与g ( x) 的值至少有一个为 正数,则实数 m 的取值范围是 ( )

A. [?4, 4]

B. (?4, 4)

C. (??, ?4)

D. (??, 4)

12. 已知函数 f ( x) 的定义域为[—2,? ?) , 部分对应值如下表, f ' ( x) 为 f ( x) 的导函数, 函数 y ? f ' ( x) 的图象如右图所示:

x
f ( x)

—2 1

0 —1

4 1

若两正数 a , b 满足 f ( a ? 2b) ? 1,则 A. ( , )

6 4 7 3

b?4 的取值范围是 a?4 3 7 2 6 B. ( , ) C. ( , ) 5 3 3 5

( D. ( ?1, ? )



1 2

第二部分

非选择题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 13.若 a ? b ? 0, 则

1 1 与 的大小关系为_______________ _ a?b a

14.已知函数 f(x)=ax ? a? x (a ? 0, 且a ? 1) 且 f (1) ? 3 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) 的值是__ 15.已知函数 y ? f ( x)是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数,它们的 定域 [?? , ? ] ,且它们在 x ? [0, ? ] 上的图象如图所示, 则不等式
f ( x) ? 0 的解集是 g ( x)

.

16.由命题 “Rt ABC 中, 两直角边分别为 a,b,斜边上的高为 h,则得

1 1 1 ? 2? 2” 由此可类比出命题 “若 2 h a b

三棱 锥 S-ABC 的三条 侧棱 SA , SB , SC 两两 垂直, 长分别 为 a,b,c ,底 面 ABC 上的 高 为 h, 则 得 ____________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题 10 分)
2 若不等式 (1 ? a) x ? 4 x ? 6 ? 0 的解集是 x ?3 ? x ? 1 .

?

?

(1)解不等式 2 x ? (2 ? a) x ? a ? 0 ;
2

(2)b 为何值时, (a ? 3 ? b) x ? bx ? 3 ? 0 的解集 R
2

18. (本题 12 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x

(1)求函数的定义域; (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并加以证明; (3)求使 f ( x) ? 0 时的 x 取值范围.

19. (本题 12 分) 火车站有某公司等待运送的甲种货物 1530 吨,乙种货物 1150 吨。现计划用 A、B 两种型号的车厢共 50 节 运送这批货物。已知 35 吨甲种货物和 15 吨乙种货物可装满一节 A 型车厢;25 吨甲种货物和 35 吨乙种货 物可装满一节 B 型车厢。 (Ⅰ)请你根据以上条件,安排 A、B 两种型号的车厢的节数,列出所有可能的方案; (Ⅱ)若每节 A 型车厢的运费是 0.5 万元,每节 B 型车厢的运费是 0.8 万元,哪种方案的运费最少?请你说明 理由.

20. (本题 12 分)

已知函数 f ( x ) ?

1 4 ?2
x

(1)证明:函数 f ( x ) 关于点 ( , ) 对称. (2)求 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ?

1 1 2 4

1 8

2 8

7 ? f ( ) ? f (1) 的值. 8

21. (本题 12 分) 设函数 f ( x ) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 M ( 3,f ( 3)) 处的切线方程为 2 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 . x
(2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;

(1)求 f ( x ) 的解析式;

(3)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并求 此定值.

22. (本题满分 12 分) 设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点.
3 2 2

(1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值; (3)设函数 g ( x) ? f ' ( x) ? a( x ? x1 ) , x ? ( x1 , x2 ) ,当 x2 ? a 时,

求证:

g ( x) ≤

1 a(3a ? 2) 2 12

银川二中 2011 届月考(一)试题

理科数学答案
第一部分 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的. ) 1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2x ? 1}, 则CU ( A ? B) ? A. (??,1) B. (1, ??) C. (??,1] D. [1, ??) ( A ) ( B )

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? ? x , x ? R
3

B.

y ? sin x, x ? R
1 2

C. y ? x, x ? R 3. 设 f ( x) ? ? A. 6

D. y ? ( ) x , x ? R

x ? ?2 ? t , x ? 2 且 f (2) ? 1 ,则 f ( f ( 5)) 的值为( 2 log ( x ? 1), x ? 2 ? ? t

B



B. 8

C . 10

D.12 A )

2 4.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ a ? 2a ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若点 (1,3) 和 (?4, ?2) 在直线 2 x ? y ? m ? 0 的两侧,则 m 的取值范围是( A. m ? ?5或m ? 10

C



m ? ?5或m ? 10 C. ?5 ? m ? 10 6.已知 a ? R ,b ? R 且 a ? b ? 10 ,则 a ? b 的取值范围是( A
B.
2 2

D. ?5 ? m ? 10 )

A. [-2 5 ,2 5 ] B.[-2 10 ,2 10 ] C.[- 10 , 10 ] D.[0, 10 ] 7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则,f(6)的值为 ( B ) A.-1 B. 0 C). 1 D.2 8.给出命题:若函数 y ? f ( x) 是幂函数,则函数 y ? f ( x) 的图像不过第四象限。在它的逆命题,否命题, 逆否命题三个命题中,真命题的个数是( C ) A.3 B. 2 C. 1 D.0 9. 设函数 f(x)是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数,若 f (2) ? 0, f (3) ? ( D ) A. (?2, 0) (3, ??) B. (?3, 2) C. (??,3)

a?2 , 则 a 的取值范围是 a ?3

(2, ??)

D. (?2,3)

10.已知函数 f ? x ? ? x2 ? (1? k ) x ? k 的一个零点在 (2,3) 内,则实数 k 的取值范围是( B ) A. (?3, ?2)
2

B. (2,3)

C. (3, 4)

D. (0,1)

11.已知函数 f(x)=2x ? (4 ? m) x ? 4 ? m, g ( x) ? mx, 若对于任一实数 x, f ( x)与g ( x) 的值至少有一个为 正数,则实数 m 的取值范围是( D ) A. [?4, 4] B. (?4, 4) C. (??, ?4) D. (??, 4)
' ' 12. 已知函数 f ( x) 的定义域为[—2,? ?) , 部分对应值如下表, f ( x) 为 f ( x) 的导函数, 函数 y ? f ( x)

的图象如右图所示:

x
f ( x)

—2 1

0 —1

4

[

1

若两正数 a , b 满足 f (a ? 2b) ? 1 ,则 A. ( , )

6 4 7 3

b?4 的取值范围是( a?4 3 7 2 6 B. ( , ) C. ( , ) 5 3 3 5

D

) D. ( ?1, ? )

1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 13.若 a ? b ? 0, 则

1 1 1 1 ? ________ 与 的大小关系为________ a ?b a a?b a

14.已知函数 f(x)=ax ? a? x (a ? 0, 且a ? 1) 且 f (1) ? 3 ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) 的值是_12_ 15.已知函数 y ? f ( x)是偶函数, y ? g ( x) 是奇函数,它们的 定域 [?? , ? ] ,且它们在 x ? [0, ? ] 上的图象如图所示, 则不等式
f ( x) ? 0 的解集是 g ( x)

(

? ? , ? ) (? , 0) 3 3

. h, 则

16.由命题 “Rt ? ABC 中, 两直角边分别为 a,b,斜边上的高为

1 1 1 ? 2 ? 2 ”可类比出命题“若三棱锥 S-ABC 的三条侧棱 SA,SB,SC 两两垂直,长分别为 a,b,c,底 2 h a b 1 1 1 1 面 ABC 上的高为 h,则_______ 2 ? 2 ? 2 ? 2 _____________ h a b c
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2 17.若不等式 (1 ? a) x ? 4 x ? 6 ? 0 的解集是 x ?3 ? x ? 1 .

?

?

(1)解不等式 2 x2 ? (2 ? a) x ? a ? 0 ; (2)b 为何值时, (a ? 3 ? b) x2 ? bx ? 3 ? 0 的解集为 R 17.解答: ( 1)由根与系数的关系或者解的意义 解得: a ? 3 . 所以不等 式变为:

3 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 解集为: (??, ?1) ( , ??) 2
(2)由题意知: bx ? bx ? 3 ? 0 的解集为 R
2

当 b ? 0 ;成立 则b ? 0

? ? b2 ? 4 ? b ? 3 ? 0

解得 b 的范围: (0,12]

综合上述 b 的范围为: [0,12]

18. 已知函数 f ( x) ? log a (1)求函数的定义域;

1? x (a ? 0且a ? 1) 1? x

(2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并加以证明 (3)求使 f ( x) ? 0 时的 x 取值范围 18:解答(1)由

1? x ? 0 得 x ? (?1,1) ,关于原点对称; 1? x 1? x 1? x ? ? log a ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数; (2) f (? x) ? log a 1? x 1? x 1? x ?0 (3)由 log a 1? x 1? x ? 1 ,解得 0 ? x ? 1 ①当 a ? 1 时,得 1? x 1? x ? 1 ,解得 ?1 ? x ? 0 ②当 0 ? a ? 1 时,得 1? x

19.火车站有某公司等待运送的甲种货物 1530 吨,乙种货物 1150 吨。现计划用 A、B 两种型号的车厢共 50 节运送这批货物。已知 35 吨甲种货物和 15 吨乙种货物可装满一节 A 型车厢;25 吨甲种货物和 35 吨乙 种货物可装满一节 B 型车厢。 (Ⅰ)请你根据以上条件,安排 A、B 两种型号的车厢的节数,列出所有可能的方案; (Ⅱ)若每节 A 型车厢的运费是 0.5 万元,每节 B 型车厢的运费是 0.8 万元,哪种方案的运费最少?请你说明 理由. 解:(Ⅰ)设安排 A 型车厢 x 节,B 型车厢 y 节,总运费为 z 万元.则由题意可得

? x ? y ? 50, ? x ? y ? 50, ? ? ?35 x ? 25 y ? 1530, ?7 x ? 5 y ? 306, ? ? ? ? 约束条件为 ?15 x ? 35 y ? 1150, ? ?3 x ? 7 y ? 230, ? ? ? x ? 0, x ? N , ? x ? 0, x ? N , ? ? 50 y ? 0, y ? N . ? ? ? ? y ? 0, y ? N .
目标函数为 z ? 0.5x ? 0.8 y .

y

l2 : 7x+5y=306

A(28,22) 作出二元一次不等式组所表示的可行域, 如图所示。设直线 l1 :x+y=50、 B C(30,20)

l2 :7x+5y=306、 l3 :3x+7y=230.
解方程组可得 l1 与 l2 的交点 A 的坐标; O 50

l3 : 3x+7y=230
x

l1 与 l3 的交点 C 的坐标。

l1 : x+y=50

? ? ? x ? y ? 50 ? x ? 28 ? ? l1 l2 ? A(28, 22) ? ? 7 x ? 5 y ? 306 y ? 22 ? ? ? ?

? ? ? x ? y ? 50 ? x ? 30 ? ? l1 l3 ? C (30, 20) ? ? 3 x ? 7 y ? 230 y ? 20 ? ? ? ?

根据图象可知:28≤x≤30, 20≤y≤22,x,y∈N,且 x+y=50. 于是安排 A、B 两种型号的车厢的节数的所有可能方案为: 方案 1:安排 A 型车厢 28 节,B 型车厢 22 节; 方案 2:安排 A 型车厢 29 节,B 型车厢 21 节; 方案 3:安排 A 型车厢 30 节,B 型车厢 20 节。 (Ⅱ)考虑目标函数为 z ? 0.5x ? 0.8 y ,将它变形为 y ? ? 过可行域(线段 AC)上的点 C 时,截距

5 4 5 4 x ? z ,由图可见,当直线 y ? ? x ? z 经 8 5 8 5

4 z 最小,即 z 最小 。z=0.5×30+0.8×20=31(万元) 即方案 3:安 5

排 A 型车厢 30 节,B 型车厢 20 节,最少的运费为 31 万元。 20.已知函数 f ( x ) ?

1 4 ?2
x

(1)证明:函数 f ( x ) 关于点 ( , ) 对称。

1 1 2 4

7 9 ? f ( ) ? f (1) 的值 8 4 1 1 1 ' 20 解答: (1)设曲线上任意一点 A( ( x1 , y1 ) 关于 ( , ) 的对称点 A (1 ? x1 , ? y1 ) 2 4 2
(2)求 f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? 由 f (1 ? x1 ) ?

1 8

2 8

1 41? x1 ? 2

?

4 x1 4 x1 ? 2 ? 2 1 1 ? ? ? x1 ? 1 ? y1 x1 x1 4 ? 2?4 2(4 ? 2) 2 4 ? 2

1 ? y1 ) 2 1 1 所以 f ( x ) 关于点 ( , ) 对称. 2 4 9 (2) 由(1)的对成性得 4 b 21. 设函数 f ( x ) ? ax ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 M ( 3,f ( 3)) 处的切线方程为 2 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 . x
' 所以图像过 A (1 ? x1 ,

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间

(Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值. 21.解: (Ⅰ)∵切点在切线上∴将点 M 代入切线方程解得 f ( 3) ?
'

4 3 ………1 分 3



f ( x) ? a ? x

b
2

,………2 分

根据题意得关于 a,b 的方程组:

? b 2 ? a ?3 ? 3 ? 解得:a=1,b=1………3 分 ? ? 3a ? b ? 4 3 ? 3 3 ?
所以 f ( x ) 的解析式的解析式为: f ( x) ? x ?

1 ………4 分 x

(Ⅱ)由
'

f ( x) ? 1 ? x

'

1
2

( x ? 0 ) ……5 分



f ( x) ? 0 ,解 得: ?1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 ………7 分
1 知曲线在点 P( x0,y0 ) 处的切线方程为 x2

所以 f ( x ) 的单调减区间为 (?1, 0), (0,1) ……8 分 (Ⅲ) (Ⅱ)设 P( x0,y0 ) 为曲线上任一点,由 y ? ? 1 ?

? 1 ? y ? y0 ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) ? x0 ? , ? 1? ? 1? y ? ? x0 ? ? ? ?1 ? 2 ? ( x ? x0 ) x0 ? ? x0 ? ? 即 .
令x ? 0得 y ?

? 2? 2 ,从而得切线与直线 x ? 0 的交点 坐标为 ? 0, ? . x0 ? x0 ?

令 y ? x 得 y ? x ? 2x0 ,从而得切线与直线 y ? x 的交点坐标为 (2x0, · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 2x0 ) . · 所以点 P( x0,y0 ) 处的切线与直线 x ? 0 , y ? x 所围成的三角形面积为

1 2 2 x0 ? 2 . 2 x0
22. (本题满分 16 分)设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点.
3 2 2

(I)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f ( x) 的解析式; (II)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值; (III)设函数 g ( x) ? f ' ( x) ? a( x ? x1 ) , x ? ( x1 , x2 ) ,当 x2 ? a 时, 求证:

1 a(3a ? 2) 2 12 3 2 2 2 2 22、 解答(I)∵ f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) ,∴ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) g ( x) ≤

依题意有 ?

?3a ? 2b ? a 2 ? 0 ? f ?(?1) ? 0 ? (a ? 0) . ,∴ ? 2 ? ? f ?(2) ? 0 ?12a ? 4b ? a ? 0

解得 ?

?a ? 6 ,∴ f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x . . ?b ? ?9

(II)∵ f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? a 2 (a ? 0) , 依题意, x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,且 | x1 | ? | x2 |? 2 2 , ∴ ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2 | x1 x2 |? 8 . ∴ (?
2

2b 2 a a ) ? 2 ? (? ) ? 2 | ? |? 8 ,∴ b 2 ? 3a 2 (6 ? a) . 3a 3 3

∵b ≥0∴0 ? a ≤6 . 设 p(a) ? 3a 2 (6 ? a) ,则 p?(a) ? ?9a2 ? 36a . 由 p?(a) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p?(a) ? 0 得 a ? 4 . 即:函数 p (a ) 在区间 (0, 4] 上是增函数,在区间 [4, 6] 上是减函数, ∴当 a ? 4 时, p (a ) 有极大值为 96,∴ p (a ) 在 (0,6] 上的最大值是 96, ∴ b 的最大值为 4 6 . (III) 证明:∵ x1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两根, ∴ f ' ( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) .

a 1 , x2 ? a ,∴ x1 ? ? . 3 3 1 1 1 ∴ | g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) |?| a( x ? )[ 3( x ? a) ? 1] | 3 3 3 1 ? ? x ? a. ∵ , 即 ∴ x1 ? x ? x2 3
∵ x1 ? x2 ? ? ∴ | g ( x) | ? ?3a ( x ? )( x ?

1 | g ( x) |? a( x ? )( ?3x ? 3a ? 1) 3

1 3

3a ? 1 a 3a 3 1 ) ? ?3a( x ? ) 2 ? ? a2 ? a 3 2 4 3

3a3 1 a(3a ? 2) 2 2 ≤ ?a ? a ? . 4 3 12
∴ | g ( x) | ≤

a (3a ? 2) 2 成立. 12


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