2016届高考数学大一轮复习 第7章 第1节 空间几何体的结构及其三视图和直观图课件 文 新人教版_图文

第七章 第一节

立体几何

空间几何体的结构及其三视图和直观图

考纲要求:1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结 构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结 构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模 型,会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心 投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空 间图形的不同表示形式.

[基础真题体验] 考查角度[ 三视图] 1.(2014· 课标全国卷Ⅰ)如图 711,网格纸的各小格都 是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几 何体是( )

图 711

A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【解析】 如图,几何体为三棱柱.

【答案】 B

2.(2014· 福建高考)某空间几何体的正视图是三角形,则 该几何体不可能是( A.圆柱 ) C.四面体 D.三棱柱

B.圆锥

【解析】 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒 看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角 形,故选 A.

【答案】 A

3.(2014· 江西高考)一几何体的直视图如图 712,下列 给出的四个俯视图中正确的是( )

图 712

【解析】 该几何体是组合体,上面的几何体是一个五 面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的 一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两 边距离相等,因此选 B.

【答案】 B

4. (2013· 四川高考)一个几何体的三视图如图 713 所示, 则该几何体的直观图(如右图)可以是( )

图 713

【解析】 由俯视图是圆环可排除 A,B,C,进一步将 已知三视图还原为几何体,可得选项 D.

【答案】 D

[ 命题规律预测] 从近几年的高考试题看,对本节内容的考查 体现在以下两个方面: 1.几何体的三视图是高考的热点,主要考查 几何体的三视图以及空间想象能力与逻辑推 理能力. 2.试题以选择题为主,难度多为中低档题 预测 2016 年高考仍将以空间几何体的三视 图为主要考查点,重点考查空间想象能力, 命题角度重点关注以下两点: 1.与几何体的体积、表面积相联系,也可能 与组合体相联系,难度不大. 2.可能在解答题中出现,根据三视图得到几 何体,再进行相关的证明与计算.

命题 规律

考向 预测

考向一空间几何体的结构特征 [典例剖析] 【例 1】 给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是 棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两 垂直;

④若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则 该四棱柱为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是( A.①②③④ C.③④⑤ ) B.②③④⑤ D.①②③④⑤

【思路点拨】 一进行辨析.

根据常见几何体的结构特征或举反例逐

【解析】 ①不正确,如长方体的侧面不一定全等. ②不正确,截面与底面不一定平行. ③正确,由面面垂直的判定及性质可知该命题正确. ④正确, 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱, 又垂直于底面. ⑤正确,如正方体 ABCDA1B1C1D1 中四面体 C1ABC 满 足题意.

【答案】 C

1. 关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间 几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说 明一个命题是错误的,只需举一个反例否定即可. 2.常见四棱柱间的内在联系

[对点练习] 下列结论中正确的是( )

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边绕旋 转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等, 则该棱锥 可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母 线

【解析】 A 不正确,如图(1)所示;B 不正确,如图(2) 所示;C 不正确,如图(3)所示,当且仅当点 O 落在正六边形 ABCDEF 所在的平面内时,才满足 OA=OB=OC=OD=OE =OF=AB=BC=CD=DE=EF; D 正确,结合母线的概念可知.

【答案】 D

考向二空间几何体的三视图 [典例剖析] 【例 2】 (1)(2014· 湖北高考)在如图 714 所示的空间直 角坐标系 Oxyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2), (2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,

图 714

则该四面体的正视图和俯视图分别为(

)

A.①和② C.④和③

B.③和① D.④和②

(2)(2015· 长沙模拟 ) 某几何体的正视图和侧视图均如图 715 所示,则该几何体的俯视图不可能 是( ... )

图 715

【思路点拨】 (1)根据正视图、俯视图的投影规则,找 出它们各个顶点的坐标即可. (2)先由正视图和侧视图推断原几何图形,然后再分析每 个图形的俯视图.

【解析】

(1)由三视图可知,该几何体的正视图是一个

直角三角形,三个顶点的坐标分别是 (0,0,2),(0,2,0),(0,2,2) 且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线), 故正视图是 ④;俯视图即在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐 标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②. (2)A 图是两个圆柱的组合体的俯视图;B 图是一个四棱 柱与一个圆柱的组合体的俯视图;C 图是一个底面为等腰直 角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图,采用排 除法,故选 D.

【答案】 (1)D (2)D

[对点练习] 1. (2015· 长春模拟)一个几何体的三视图如图 716 所示, 正视图和侧视图都是等边三角形.若该几何体的四个顶点在 空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0),则第五个顶点的坐标可能为( )

图 716 A.(1,1,1) C.(1,1, 3)或(1,1,- 3) B.(1,1, 2) D.(2,2, 3)

【解析】 因为正视图和侧视图是等边三角形,俯视图 是正方形,所以该几何体是正四棱锥,还原几何体并结合其 中四个顶点的坐标,建立空间直角坐标系,设 O(0,0,0) , A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),则所求的第五个顶点的坐标为 S(1,1,z),正视图为等边三角形,且边长为 2,故其高为 3, 又正四棱锥的高与正视图的高相等,故 z=± 3,故第五个顶 点的坐标可能为(1,1, 3)或(1,1,- 3),选 C.

【答案】 C

2.(文)(2013· 湖南高考)已知正方体的棱长为 1,其俯视 图是一个面积为 1 的正方形, 侧视图是一个面积为 2的矩形, 则该正方体的正视图的面积等于( 3 A. 2 2+1 C. 2 ) B.1 D. 2

【解析】 由于该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形, 侧视图是一个面积为 2的矩形,因此该几何体的正视图是一 个长为 2,宽为 1 的矩形,其面积为 2.

【答案】 D

考向三空间几何体的直观图 [典例剖析] 【例 3】 (2014· 豫州九校联考)有一块多边形的菜地, 它 的水平放置的平面图形的斜二测直观图

图 717 是直角梯形(如图 717 所示), ∠ABC=45° , AB=AD=1, DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.

【思路点拨】 直观图→斜二测画 法规则→原几何体→面积

【解析】 足为 E.

如图①,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂

① 在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45° ,∴BE= 而四边形 AECD 为矩形,AD=1, ∴EC=AD=1. 2 ∴BC=BE+EC= +1. 2 2 . 2

② 由此可还原原图形如图②. 2 在原图形中, A′D′=1, A′B′=2, B′C′= +1, 2 且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,

1 ∴这块菜地的面积 S= (A′D′+B′C′)· A′B′ 2 1 ? 2 2? ? ? = ×?1+1+ ?×2=2+ . 2 ? 2 2?

2 【答案】 2+ 2

1.斜二测画法中的“三变”与“三不变” ?坐标轴的夹角改变, ? “三变”?与y轴平行的线段的长度改变?减半?, ?图形改变. ? ?平行性不变, ? “三不变”?与x轴平行的线段长度不变, ?相对位置不变. ?

2.另外本题也可以直接套用公式:S 解.

原图形

=2 2· S

直观图



[对点练习] 已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面直 观图△A′B′C′的面积为( 3 2 A. a 4 6 2 C. a 8 ) 3 2 B. a 8 6 2 D. a 16

【解析】 图(1)、(2)分别为实际图形和直观图.

1 3 由图(2)可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a, 2 4 2 在 图 (2) 中 作 C′D′ ⊥ A′B′ 于 D′ , 则 C′D′ = 2 6 O′C′= a. 8 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′= A′B′· C′D′= ×a× a= a . 2 2 8 16

【答案】

D

误区分析 11

误读三视图导致空间几何体还原错误 [典例剖析]

【典例】 (2014· 课标全国卷Ⅰ)如图 718,网格纸上 小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )

图 718 A.6 2 B.4 2 C.6 D.4

【解析】 将三视图还原为几何体再计算,几何体为三 棱锥. 如图,侧面 SBC⊥底面 ABC. 点 S 在底面 ABC 的射影点 O 是 BC 的中点,△ABC 为直角三角形. 误区:此处常因三图之间的关系理 解不清, 导致点 S 与平面 ABC 的关系错 误,进而导致度量失误.

∵AB=4,BO=2, ∴AO= 20,SO⊥底面 ABC, ∴SO⊥AO,SO=4, ∴最长的棱 AS= 20+16=6.

【答案】 C

【防范措施】

1.由三视图确定空间几何体的形状及其

结构特征,要遵循以下三步:(1)看视图,明关系;(2)分部分, 想整体;(3)综合起来,定整体. 2.在还原几何体实际形状时,一般以正视图和俯视图为 主,结合侧视图综合考虑.

[对点练习] (2015· 冀州模拟)某四面体的三视图如图 719 所示, 该 四面体的六条棱中,长度最长的是( )

图 719

A.2 5 C.2 7

B.2 6 D.4 2

【解析】 由三视图可知该四面体的直观图如图所示, 其中 AC=2,PA=2,△ABC 中,边 AC 上的高为 2 3,所以 BC = 42+?2 3?2 = 2 7 ,而 PB = PA2+AB2 = 22+42 = 2 5,因此在四面体的六条棱中,长度最长的是 BC,其值为 2 7,选 C.

【答案】 C

课堂达标训练 1. 如图 7110 所示, 正方形 O′A′B′C′的边长为 1, 它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是 ( )

图 7110

A.6 C.2+3 2

B.8 D.2+2 3

【解析】 对应的原图形如图,显然原图形 OABC 是平 行四边形, 且 OA=O′A′=1, OB = 2O′B′ = 2 12+12 = 2 2, 故由勾股定理,得 AB= 12+?2 2?2=3. 故原图形的周长是 2×(3+1)=8.

【答案】 B

2.下列命题中正确的个数是(

)

①由五个面围成的多面体只能是四棱锥;②用一个平面 去截棱锥便可得到棱台;③仅有一组对面平行的五面体是棱 台;④有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱 锥. A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个

【解析】 对于①,五个面围成的多面体也可以是三棱 柱或三棱台,故①错; 对于②,当平面与棱锥底面不平行时,截得的几何体不 是棱台,故②错; 对于③,仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱, 故③错; 对于④,当各三角形面没有一个公共顶点时,也不是棱 锥,故④错.

【答案】 A

3.(2013· 课标全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐 标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则 得到的正视图可以为( )

【解析】

根据已知条件作出图形:四面体 C1A1DB,

标出各个点的坐标如图(1)所示,

可以看出正视图是正方形,如图(2)所示.故选 A.

【答案】 A

4.(2014· 北京高考)某三棱锥的三视图如图 7111 所示, 则该三棱锥最长棱的棱长为________.

图 7111

【解析】

根据三视图还原几何体,得

如图所示的三棱锥 PABC.由三视图的形状 特征及数据,可推知 PA⊥平面 ABC,且 PA =2.底面为等腰三角形,AB=BC,设 D 为 AC 中点,AC=2,则 AD=DC=1,且 BD= 1, 易得 AB=BC= 2, 所以最长的棱为 PC, PC= PA2+AC2 =2 2.

【答案】 2 2


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