三角函数的图像和性质(复习课教案-含解答)

三角函数的图像与性质 知识梳理: y y y=cosx -2 ? 3? 2 ? 2 1 -1 O -? y=sinx 3? 2 ? ? 2 1 cosx- 的定义域. 2 解:要使函数有意义,只需 ? 2 k? ? x ? 2 k? ? ? , ?sin x ? 0, ? ? ,∴ ? ? ? ? 1 2k? ? ? x ? 2k? ? . cos x ? . ? ? 3 3 2 ? ? 例 1 求函数 y=lgsinx+ O? 2 ? x ∴定义域为 (2k? ,2k? ? 2? x -? ? 2 ? 3 . ] (k∈Z) 例 2(1)求函数 y=cos2x+sinx,x∈[- (2)求函数 y ? ? 4 , ? 4 ]的值域; 定义域 值域 y=sinx R [-1,1] y=cosx R [-1,1] 当 x=2k?,k∈Z, ymax=1; 当 x=2k?+?, k∈Z, ymin=-1 偶函数 T=2? [2k?,2k?+?], k∈Z 减函数, [2k?-?, 2k?], k∈Z 增函数 y=tanx {x | x ? R, 且x ? k? ? R 无 ? 2 , k ? Z} 5 1 (3)若函数 f(x)=a-bcosx 的最大值为 ,最小值为- ,求 a, b 的值. 2 2 解: (1)令 sinx=t,∵x∈[- cos x ? 3 的值域; cos x ? 3 ? ? 当 x=2k?+ ,k∈Z 2 ymax=1 最 ? 值 当 x=2k?- ,k∈Z, 2 ymin=-1 奇函数 奇偶性 T=2? 周期性 ? ? [2k?- ,2k?+ ], k∈Z 2 2 单 增函数 调 3? ? [2k?+ , 2k?+ ],k∈Z 2 2 性 减函数 题组 1:基础再现 1.函数 y ? sin 奇函数 T=? (- ? 2 +k?, ? 2 +k?)(k∈Z) 增函数 4 4 1 5 ∴y=-t2+t+1=-(t- )2+ . 2 4 2 1? 2 1 5 ∴当 t= 时,ymax= ;当 t=- 时,ymin= . 2 2 2 4 1? 2 5 ∴所求值域为[ , ]. 2 4 3y ? 3 cos x ? 3 (2)∵ y ? ,∴ cos x ? . 1? y cos x ? 3 3y ? 3 1 | ≤1,∴-2≤y≤- . ∵|cosx|≤1,∴ | 1? y 2 1 ∴所求值域为[-2,- ]. 2 , ? ],∴t∈[- 2 2 , ]. 2 2 题组 3:三角函数的单调性与对称性问题 ? 一般地, 函数 y=Asin(?x+?)的对称中心横坐标可由?x+?=k?解得, 对称轴可由?x+?=k?+ 解得; 2 函数 y=Acos(?x+?)的对称中心、对称轴同理可得. 例 3 求函数 y=sin( x 的最小正周期为 2 . ? 2.函数 y ? sin( x ? ? 4 ) 的单调增区间为 3 ) 的定义域为 . . 4 -2x)的单调减区间. 3.函数 y ? tan(2 x ? ? 解:∵定义域为 R,又 y ? ? sin(2 x ? ) , ∴要求 y ? sin( ? 4.不求值,判断下列各式的符号: (1) tan138 ? tan143 (2) tan( ? 13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5 题组 2:三角函数的定义域与值域问题 ? 2 x) 的减区间即求 y ? sin(2 x ? ) 的增区间. 4 4 ? ? ? ? 3? ∴ 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ∴ k? ? ? x ? k? ? (k∈Z) . 2 4 2 8 8 ? 3? ? ? ∴ 函数的定义域为 ? k? ? , k? ? (k∈Z) . 8 8 ? ? ? ? 4 ? 变 1 求函数 y ? log 1 cos x 的单调减区间. 2 解:∵ cos x ? 0 ,∴定义域为 (k? ? 2 . , k? ? ) (k∈Z) 4 4 ∴要求 y ? log 1 cos 2 x 的减区间即求 y ? cos 2 x 在定义域内的增区间. ∴ 2k? ? ? ? ? π 3π ? ? 3π ? ∴函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 f ? ? ? ?1 . ? 4 ? ?8 4 ? 3.设函数 f ( x) ? ? cos2 x ? 4t sin cos ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 , x ? R ,其中 t ≤1 ,将 f ( x) 的最小值记 为 g (t ) . (1)求 g (t ) 的表达式; . (2)讨论 g (t ) 在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 解: (1)f(x) ? sin 2 x ? 1 ? 2t sin x ? 4t 3 ? t 2 ? 3t ? 4 2 ?si n x ? 2 t s ix n? 2t ? 3t4 ? t3 ? x 2 x 2 ? 2 ? 2x ? 2k? ,∴函数的定义域为 (k? ? ? 4 . , k? ] (k∈Z) 变 2 已知函数 y ? tan ? x 在 (? ? ? , ) 内是增函数,则?的取值范围为 2 2 例 4 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x cos( 3? ? x) ; 2 3 (2) f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) ; ? (sin x ? t )2 ? 4t 3 ? 3t ? 3 . 由于 (sin x ? t )2 ≥ 0 , t ≤1 ,故当 sin x ? t 时, f ( x) 达到其最小值 g (t ) ,即 g (t ) ?4t 3 ?3t ?3 . (2) g ?(t ) ? 12t 2 ?

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