知识讲解_数列的全章复习与巩固_基础

数列的全章复习与巩固 编稿:李霞 【学习目标】 1.系统掌握数列的有关概念和公式; 2.掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前 n 项和公式,并运用这些知识解决问题; 3.了解数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 S n 的关系,能通过前 n 项和公式 S n 求出数列的通项公 式 an ; 4.掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】 审稿:张林娟

数列的通项 an ? ?

(n ? 1) ? S1 , ? Sn ? Sn ?1 , (n ? 2)
通项公式

数列的递推公式

等差数列

等差中项 前 n 项和公式

性质



数列

通项公式 用 等比数列 等比中项 前 n 项和公式 数列前 n 项和 性质

【要点梳理】 要点一:数列的通项公式 数列的通项公式 一个数列 {an } 的第 n 项 an 与项数 n 之间的函数关系,如果可以用一个公式 an ? f (n) 来表示,我 们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。 要点诠释: ①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列 1,2,3,―1,4,―2,就写不出通项公式; ②有的数列虽然有通项公式,但在形式上又不一定是唯一的。如:数列―1,1,―1,1,…的通项 公式可以写成 an ? (?1)n ,也可以写成 an ? cos n ? ; ③仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的。

通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系: 任意数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ?

? an ;

? ? S1 an ? ? ? ? Sn ? S n ?1
要点诠释:

(n ? 1) (n ? 2)

由前 n 项和 Sn 求数列通项时,要分三步进行: (1)求 a1 ? S1 , (2)求出当 n≥2 时的 an , (3)如果令 n≥2 时得出的 an 中的 n=1 时有 a1 ? S1 成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形 式,否则就只能写成分段的形式。 数列的递推式: 如果已知数列的第一项或前若干项,且任一项 an 与它的前一项 an ?1 或前若干项间的关系可以用一 个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,简称递推式。 要点诠释: 利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值,可用凑配法、换元法等. 要点二:等差数列 判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法: an?1 ? an ? d (常数) ? {an } 是等差数列; ②中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 (n ? N*) ? {an } 是等差数列; ③通项公式法: an ? pn ? q (p,q 为常数) ? {an } 是等差数列; ④前 n 项和公式法: Sn ? An2 ? Bn (A,B 为常数) ? {an } 是等差数列。 要点诠释:对于探索性较强的问题,则应注意从特例入手,归纳猜想一般特性。 等差数列的有关性质: (1)通项公式的推广: an ? am +(n-m)d (2)若 m ? n ? p ? q(m、n、p、q ? N ) ,则 am ? an ? ap ? aq ;
*

特别,若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p

(3) 等差数列 ?an ? 中, 若 m、n、( p m、n、p ? N *)成等差数列,则 am、an、ap成等差数列 . (4)公差为 d 的等差数列中,连续 k 项和 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,… 组成新的等差数列。 (5)等差数列 {an } ,前 n 项和为 Sn ①当 n 为奇数时, Sn ? n ? an?1 ; S奇 ? S偶 ? an?1 ;
2 2

S奇 S偶

?

n ?1 ; n ?1

an ? an
②当 n 为偶数时, Sn ? n ? (
2 2

?1

2

an S奇 1 ) ; S 偶 ? S奇 ? dn ; ? 2 。 2 S偶 a n
2 ?1

(6)等差数列 {an } ,前 n 项和为 Sn ,则

Sm ? Sn S ? m ? n (m、n∈N*,且 m≠n) 。 m?n m?n

(7)等差数列 {an } 中,若 m+n=p+q(m、n、p、q∈N*,且 m≠n,p≠q) ,则

Sm ? Sn S p ? Sq 。 ? m?n p?q
2

(8) 等差数列 {an } 中, 公差 d, 依次每 k 项和: 新公差 d ' ? k d . S2k ? Sk , S3k ? S2 k 成等差数列, Sk , 等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题: 等差数列 {an } 中 ① 若 a1>0,d<0, Sn 有最大值,可由不等式组 ?

? an ? 0 来确定 n; ? an ?1 ? 0 ? an ? 0 来确定 n ,也可由前 n 项和公式 ? an ?1 ? 0

② 若 a1 < 0 , d > 0 , Sn 有最小值,可由不等式组 ?

Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? )n 来确定 n. 2 2

要点诠释:等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 :等比数列 判定一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:

an ?1 ? q (q 是不为 0 的常数,n∈N*) ? {an } 是等比数列; an

(2)通项公式法: an ? cqn (c、q 均是不为 0 的常数 n∈N*) ? {an } 是等比数列;
2 n ? N * ) ? {an } 是等比数列. (3)中项公式法: an ?1 ? an ? an ? 2 ( an ? an?1 ? an?2 ? 0 ,

等比数列的主要性质:

(1)通项公式的推广: an ? amqn?m (2)若 m ? n ? p ? q(m、n、p、q ? N * ) ,则 am ? an ? a p ? aq . 特别,若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? a p 2 (3)等比数列 ?an ? 中,若 m、n、( 成等差数列,则 am、an、a p 成等比数列. p m、n、p ? N *) (4)公比为 q 的等比数列中,连续 k 项和 Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,… 组成新的等比数列。 (5)等比数列 {an } ,前 n 项和为 Sn ,当 n 为偶数时, S偶 ? S奇q 。 (6)等比数列 {an } 中,公比为 q,依次每 k 项和: Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2 k …成公比为 qk 的等比 数列。 (7)若 {an } 为正项等比数列,则 {log a an } (a>0 且 a≠1)为等差数列;反之,若 {an } 为等差数 列,则 {a n } (a>0 且 a≠1)为等比数列。
n (8)等比数列 {an } 前 n 项积为 Vn ,则 Vn ? a1 q n ( n ?1) 2

a

(n ? N *)

等比数列的通项公式与函数:

an ? a1qn?1
①方程观点:知二求一; ②函数观点: an ? a1q
n ?1

?

a1 n ?q q

q ? 0且q ? 1 时,是关于 n 的指数型函数;
q ? 1 时,是常数函数;
要点诠释: 当 q ? 1 时,若 a1 ? 0 ,等比数列 {an } 是递增数列;若 a1 ? 0 ,等比数列 {an } 是递减数列; 当 0 ? q ? 1 时,若 a1 ? 0 ,等比数列 {an } 是递减数列;若 a1 ? 0 ,等比数列 {an } 是递增数列; 当 q ? 0 时,等比数列 {an } 是摆动数列; 当 q ? 1 时,等比数列 {an } 是非零常数列。 要点四:常见的数列求和方法 公式法:

如果一个数列是等差数列或者等比数列,直接用其前 n 项和公式求和。 分组求和法: 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式,然后分别对等差数列和等比数列求和 .如: an=2n+3n. 裂项相消求和法: 把数列的通项拆成两项之差,正负相消,剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数,分 母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 若 an ?

1 ,分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式, ( An ? B)( An ? C )
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ,如 an= ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C n(n ? 1) n n ? 1

则 an ?

错位相减求和法: 通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式: an ? bn ? cn , 其中 等差数列, ?cn ? 是公比 q≠1 等比数列,如 an=(2n-1)2n. 一般步骤:

?bn ? 是公差 d≠0

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn ,则 qSn ? b1c2 ???? bn?1cn ? bncn?1
所以有 (1 ? q)S n ? b1c1 ? (c2 ? c3 ? ??cn )d ? bn cn?1 要点诠释:求和中观察数列的类型,选择合适的变形手段,注意错位相减中变形的要点. 要点五:数列应用问题 数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有 关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型. 建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题,准确理解题意,达到如下要求: ⑴明确问题属于哪类应用问题; ⑵弄清题目中的主要已知事项; ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻 译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函 数关系、方程、不等式). 要点诠释:数列的建模过程是解决数列应用题的重点,要正确理解题意,恰当设出数列的基本量.

【典型例题】 类型一:数列的概念与通项 例 1.写出数列: ?

1 3 5 7 , ,? , ,……的一个通项公式. 5 10 17 26

【思路点拨】从各项符号看,负正相间,可用符号 (?1) n 表示;数列各项的分子:1,3,5,7,……
2 2 是个奇数列, 可用 2n ? 1 表示; 数列各项的分母: 5, 10, 17, 26, ……恰是 2 ? 1 , 3 ? 1 , 4 ? 1 , 5 ? 1 ,…
2 2

可用 (n ? 1)2 ? 1 表示; 【解析】通项公式为: an ? (?1) 【总结升华】 ①求数列的通项公式就是求数列中第 n 项与项数 n 之间的数学关系式。 如果把数列的第 1, 2, 3, … 项分别记作 f (1) , f (2) , f (3) ,…,那么求数列的通项公式就是求以正整数 n (项数)为自变量的函数
n

2n ? 1 . (n ? 1) 2 ? 1

f (n) 的表达式;
②通项公式若不要求写多种形式,一般只写出一个常见的公式即可; ③给出数列的构造为分式时,可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳,还可联想常见数列 的通项公式,以此参照进行比较. 举一反三: 【变式 1】数列: ?1 , A. an ? (?1)
n

8 15 24 ,? , ,……的一个通项公式是( 5 9 7
B. an ? (?1)
n



n2 ? n 2n ? 1 (n ? 1)2 ? 1 2n ? 1

n(n ? 3) 2n ? 1 n(n ? 2) 2n ? 1

C. an ? (?1)

n

D. an ? (?1)

n

【答案】采用验证排除法,令 n ? 1 ,则 A、B、C 皆被排除,故选 D. 【变式 2】给出数表:

1 2 4

3

5
8 9

6
10
… …

7
… (1)前 m 行共有几个数?



(2)第 m 行的第一个数和最后一个数各是多少?

(3)求第 m 行的各数之和; (4)数 100 是第几行的第几个数? 【答案】

1 m ( m ? 1) ; 2 1 1 (2) m( m ? 1) ? 1 , m ( m ? 1) ; 2 2 1 2 (3) m( m ? 1) ; 2
(1) (4)第 14 行的第 9 个数。 类型二:等差、等比数列概念及其性质的应用 例 2.已知三个数成等比数列,积为 216,若第二个数加上 4,则它们构成一个等差数列,求这三个 数。 【思路点拨】成等比数列的三个数我们可以设为

a 、 a 、 aq ,可以简化运算. q

【解析】设这三个数为

a 、 a 、 aq , q

由题知

a ? a ? aq ? 216 ,解得 a ? 6 , q

又∵

6 , 6 ? 4 , 6q 构成等差数列, q
6 ? 6q ,即 3q2 ?10q ? 3 ? 0 , q
1 , 3

∴ 2 ? (6 ? 4) ?

解得 q ? 3 或 q ?

∴这三个数为 2,6,18 或 18,6,2。 【总结升华】 恰当地选择设未知数,列方程(组)求解。方程思想在数列中很重要。 举一反三: 【变式 1】如果一个等差数列的前 12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32: 27,求公差. 【答案】设等差数列首项为 a1 ,公差为 d,则

1 ? ?12a1 ? 2 ? 12 ? 11? d ? 354 ? ?12a1 ? 66d ? 354 ?a1 ? 2 1 ? ?? ? 6(a1 ? d ) ? ? 6 ? 5 ? 2d 32 ? ? 2 ?d ? 5 ?5a1 ? 2d ? 0 ? ? 1 27 ? 6a ? ? 6 ? 5 ? 2d 1 ? 2 ?
【高清课堂:数列综合 381084 例 1】 【变式 2】已知两个等比数列 ?an? , ?bn? ,满足 a1 ? a (a ? 0) , b1 ? a1 ? 1 ,

b2 ? a2 ? 2 , b3 ? a3 ? 3 .
(1)若 a ? 1 ,求数列 ?an? 的通项公式; (2)若数列 ?an? 唯一,求 a 的值. 【答案】 (1) an ? (2 ? 2)n?1 或 an ? (2 ? 2)n?1 (2) a ?

1 3

例 3.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

S3 1 S ? ,则 6 等于( S6 3 S12

)

A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9

【思路点拨】利用等差数列的性质来解:等差数列 {an } 中, Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2 k 也成等差数 列. 【解析】由题意知 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 , S12 ? S9 成等差数列, 由已知得 S6 ? 3S3 ,故公差为 (S6 ? S3 ) ? S3 ? S3 , 所以 S9 ? S6 ? S3 ? 2S3 ,故 S9 ? 6S3 , S12 ? S9 ? S3 ? 3S3 ,故 S12 ? 10S3 , 所以

S6 3 ? .故选 A。 S12 10

【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点,熟练掌握它们的性质并灵活运用,能使问题 简洁. 举一反三: 【变式】 已知等差数列 {an } , Sn ? 25 , S2n ? 100 , 则 S3n ? ( A.125 【答案】C B.175 C.225 D.250 )

方法一:∵ {an } 为等差数列, ∴ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等差数列,即 2(S2n ? Sn ) ? Sn ? (S3n ? S2n ) ∴ 2(100 ? 25) ? 25 ? (S3n ?100) , 解得 S3n ? 225 ,∴选 C. 方法二: 取特殊值 (适用选择题) : 令n ?1, 由题意可得 Sn ? S1 ? a1 ? 25 , S2n ? S2 ? a1 ? a2 ? 100 , ∴ a2 ? 75 , d ? a2 ? a1 ? 50 , ∴ S3n ? S3 ? 3a1 ? ∴选 C.

3 ? (3 ? 1) d ? 225 , 2

n(n ? 1) 2n(2n ? 1) d ? 25 , S2 n ? 2na1 ? d ? 100 , 2 2 n(3n ? 1) d ? 75 , 两式相减可得 na1 ? 2 3n(3n ? 1) d ? 75 ? 3 ? 225 . ∴ S3n ? 3na1 ? 2
方法三: Sn ? na1 ? ∴选 C. 例 4.设 Sn、Tn 分别为等差数列{an},{bn}的前 n 项和,满足

Sn 7n ? 1 a ,求 11 . ? Tn 4n ? 27 b11

【思路点拨】利用等差数列的前 n 项求和公式及性质是解决本题的关键,主要利用:

S2 n ?1 ?

(2n ? 1)(a1 ? a2 n ?1 ) (2n ? 1) ? 2an ? ? (2n ? 1)an 进行求解. 2 2

【答案】 【解析】

a11 4 ? b11 3

21 (a1 ? a21 ) S a11 2a11 a1 ? a21 7 ? 21 ? 1 4 2 ? ? ? ? 21 ? ? 方法一: b11 2b11 b1 ? b21 21 (b ? b ) T21 4 ? 21 ? 27 3 1 21 2
方法二:设 Sn ? k (7n ? 1)n, Tn ? k (4n ? 27)n (k≠0), ∴a11=S11-S10=11k(7× 11+1)-10k(7× 10+1)=148k b11=T11-T10=11k(4× 11+27)-10k(4× 10+27)=111k ∴

a11 148k 4 ? ? . b11 111k 3

【总结升华】 等差数列的中项在前 n 项和式中的应用是解决本例的关键, 也应注意到前 n 项和与通 项公式的联系. 举一反三: 【变式 1】等差数列{an}中,Sn=50, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 , an?3 ? an?2 ? an?1 ? an ? 10 ,求项 n. 【答案】 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30

(1) , (2) ,

an?3 ? an?2 ? an?1 ? an ? 10

由(1)+(2)得: 4(a1 ? an ) ? 40 ? (a1 ? an ) ? 10 ,

Sn ?

n(a1 ? an ) n ? 10 ? 50 ? ? n ? 10 . 2 2

【变式 2】已知各项均为正数的等比数列 {an } , a1a2 a3 ? 5, a7 a8a9 ? 10 ,则 a4 a5 a6 ? ____.
3 3 3 【答案】由已知得 a1a2a3 ? a3 ? 5, a7 a8a9 ? a8 ? 10 ,故 a4 a5a6 ? a5 ? ( a2a8 )3 ? 5 2 .

【变式 3】等差数列 {an } 中, a1 ? 13 , S3 ? S11 ,则它的前__ 项和最大,最大项的值是____. 【答案】7,49 设公差为 d, 由题意得 3a1+ ∴ Sn 有最大值. 又 S3=S11,可得 n=

3? 2 11 ? 10 d=11a1+ d,得 d=-2, 2 2

3 ? 11 =7, 2

∴S7 为最大值,即 S7=7× 13+

7?6 (-2)=49. 2

类型三:由递推关系求数列通项公式 例 5.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

2 an ? 1 ,求 an . 3 2 2 【思路点拨】把 an ?1 ? an ? 1 整理成 an ?1 ? 3 ? (an ? 3) ,得数列 {an ? 3} 为等比数列,再用叠 3 3

加法,等比数列求和求出通项公式. 【解析】

2 (an ? A) ,解得 A ? ?3 3 2 即原式化为 (an ?1 ? 3) ? ( an ? 3) 3
法一:设 (an ?1 ? A) ? 设 bn ? an ? 3 ,则数列 {bn } 为等比数列,且 b1 ? a1 ? 3 ? ?2

∴ bn ? an ? 3 ? (?2) ? ( ) 法二:∵ an ?1 ?

2 3

n ?1

2 ? an ? 3 ? 3 ? ( ) n 3


2 an ? 1 3

2 an ? an ?1 ? 1 (n ? 2) 3
由①-②得: an ?1 ? an ?



2 (an ? an ?1 ) 3

设 bn ? an?1 ? an ,则数列 {bn } 为等比数列

2 2 n ?1 2 ? ( ) ? ( )n 3 3 3 2 2 n ∴ an ? 1 ? an ? ( ) 3 3 2 n ∴ an ? 3 ? 3 ? ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 法三: a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 1 ? ( ) ? ? 1 , a4 ? a3 ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? 1 ,……, 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 an ? an ?1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? ? ? 1 , 3 3 3 2 n ∴ an ? 3 ? 3 ? ( ) 3
∴ bn ? an ?1 ? an ? 【总结升华】求数列通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除迭加、迭代、迭乘等基本方法外, 还应注意根据递推关系式的特点,进行转化,变形为与是等差(等比)有关的数列. 若数列 ?an ? 满足 ,则令 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) 来构造等比数列,并利用对应项相等求 ? an?1 ? pan ? q( p ? 1, q 为常数) 的值,求通项公式。 举一反三: 【变式 1】数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,则 an ? 【答案】 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) 。

? a2 ? a1 ? 2

??an ? an?1 ?为首项为 2 公比也为 2 的等比数列。

(n>1) an ? an?1 ? 2 n?1 , n>1 时

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ?? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ?? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2

显然 n=1 时满足上式

? an ? 2 n ? 1
【变式 2】在数列{an}中,a1=1,an+1=

an ,求 an. 1 ? na n

【答案】

an?1 ?

an 1 ? nan 1 1 1 1 ,? ? ? ? n ,∴ ? ?n 1 ? nan an?1 an an an?1 an



1 1 ? ?1 a2 a1

1 1 ? ?2 a3 a2
……

1 1 ? ? (n ? 1) (n ? 2) an an ?1
将以上各式叠加,得

1 1 ? ? 1? 2 ? an a1

? (n ? 1) ?

n (n ? 1)(n ? 2) 2



1 n ? 1 ? (n ? 1)(n ? 2) an 2 1 1 (1 ? 1) ? 1 ? 2 a1

又 n=1 时, 1 ? ∴ an ?

2 (n ? N * ) n ?n?2
2

类型四: an 与 Sn 的关系的综合运用 例 6.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n ,n∈N+,其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m∈N+, am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值. 【思路点拨】 (1)利用 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 进行求解,注意对 n=1 时进行验证; (2)利用等比 中项及恒成立问题求解. 【解析】(1)当 n=1 时, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? kn2 ? n ? [k (n ?1)2 ? (n ?1)] ? 2kn ? k ? 1 , 经检验,n=1 时,上式成立,∴ (2)∵
2 S2 m ? 2kn ? k ? 1 . 2 a2 m ? am ? a4 m ,

am , a2 m , a4 m 成等比数列,∴

即 (4km ? k ? 1)2 ? (2km ? k ? 1)

(8km ? k ? 1) ,

整理得: mk (k ? 1) ? 0 ,对任意的 m∈N+成立, ∴ k=0 或 1. 【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,它们是 an ? ? 其注意首项与其他各项的关系. 举一反三:
2 【变式 1】已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6 ,且 a1,a3,a15 成等比数列,

(n ? 1) ?a1 ,尤 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)

求数列{an}的通项 an.
2 【答案】∵ 10Sn ? an ? 5an ? 6 ,



2 ∴ 10a1 ? a1 ? 5a1 ? 6 ,解之得 a1=2 或 a1=3. 2 又 10Sn?1 ? an ?1 ? 5an?1 ? 6 (n ? 2) ,



2 2 由①-②得 10an ? (an ? an ?1 ) ? 5(an ? an?1 ) ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 5) ? 0

∵an+an-1>0,∴an-an-1=5(n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15 不成等比数列 ∴a1≠3; 当 a1=2 时,a3=12,a15=72,有 a32=a1a15, ∴a1=2,∴an=5n-3. 【变式 2】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n ? (1)求 a1 , a2 ; (2)求证:数列 {an } 是等比数列。 【答案】

1 (an ? 1) (n ? N *) 。 3

(1)由 S1 ? ∴ a1 ? ? 又 S2 ?

1 1 (a1 ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) , 3 3

1 , 2

1 1 1 ( a2 ? 1) ,即 a1 ? a2 ? (a2 ? 1) ,得 a2 ? 。 3 3 4

(2)证明:当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ?

1 1 (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) , 3 3



an a 1 1 ? ? ,又 2 ? ? , an ?1 2 a1 2
1 1 ,公比为 ? 的等比数列。 2 2

所以 {an } 为首项为 ?

类型五:数列的求和问题 例 7. 求数列 1, a ? a 2 , a 2 ? a 3 ? a 4 , a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ,......,(a ? 0) 的前 n 项和 S n . 【思路点拨】本题求和后,不宜直接分组,应该把通项化简变形后,再决定如何分组求和。 【解析】 (1)当 a ? 1 时, an ? a
n?1

? a ? ... ? a
n

2 n ?2

a n ?1 (1 ? a n ) 1 ? ? (a n ?1 ? a 2 n ?1 ) 1? a 1? a

? Sn ?

1 (1 ? a) ? (a ? a 3 ) ? (a 2 ? a 5 ) ? ... ? (a n ?1 ? a 2 n ?1 ) 1? a

?

?

1 ? (1 ? a ? a 2 ? ... ? a n ?1 ) ? a (1 ? a 2 ? a 4 ? ... ? a 2 n ? 2 ) ? ? ? 1? a 1 ? 1 ? a n a (1 ? a 2 n ) ? ? ( ? ) 1? a ? 1 ? a2 ? ? 1? a ? ? ? (1 ? a n )(1 ? a n ?1 ) (1 ? a ) 2 (1 ? a)
1 n(n ? 1) ; 2
n ; 2 n ?1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? ... ? 1 ? 0 ? 1 ? . 2

(2)当 a ? 1 时, S n ?

(3)当 a ? ?1 ,原数列为 1,0,1,0,1,0……,
* 若 n 为偶数,令 n ? 2k ( k ? N ) ,则 Sn ? S 2 k ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? ... ? 1 ? 0 ? k ? * 若 n 为奇数,令 n ? 2k ? 1 ( k ? N ) ,则 S n ? S 2 k

【总结升华】分类讨论 a 和 n 的奇偶是本例化简的关键. 举一反三:

【变式 1】求数列 {(1 ? 【答案】

1 1 1 1 ) ? (1 ? 2 )...( 1? 2 ) ? ( )} 的前 n 项和。 2 2 3 n (n ? 1) 2

22 ? 1 32 ? 1 n 2 ? 1 1 an ? 2 ? 2 ... 2 ? 2 3 n (n ? 1) 2 1 ? 3 2 ? 4 ( n ? 1)( n ? 1) 1 ? 2 ? 2 ... ? 2 2 3 n (n ? 1) 2 1 ? 2n(n ? 1) 1 1 1 ? ( ? ) 2 n n ?1
所以可以得到: S n ?

1 1 n 。 (1 ? )? 2 n ? 1 2(n ? 1)
n n ?1

【变式 2】求和: S n ? a ? a

b ? a n ? 2 b 2 ? ? ? a 2 b n ? 2 ? ab n ?1 ? b n (n ? N * )

【答案】a=0 或 b=0 时, S n ? b n (a n ) 当 a=b 时, S n ? (n ? 1)a n ; 当 a ? b 时, S n ? 类型六:应用题 例 8.某商场因管理不善及场内设施陈旧,致使年底结算亏损,决定从今年开始投入资金进行整修, 计划第一个月投入 80 万元,以后每月投入将比上月减少 以后每个月收入会比上个月增加

a n ?1 ? b n ?1 a?b

1 .第一个月的经营收入约为 40 万元,预计 5

1 . 4

(1) 设 n 个月内的总投入为 an 万元,总收入为 bn 万元,写出 an,bn; (2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈. 【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句,容易看出每月的投入和收入均构成等比数列。 【解析】 (1)由题意,得

?4? ?4? an ? 80 ? 80 ? ? ? ? 80 ? ? ? ? ?5? ?5?

2

?4? 1? ? ? n ?1 ? ? 4 ?n ? 5? ?4? ? ? 80 ? ? ? ? 80 ? ? 400 ?1 ? ? ? ? . 4 ?5? ? ? ?5? ? ? 1? 5
2

n

?5? ?5? bn ? 40 ? 40 ? ? ? ? 40 ? ? ? ? ?4? ?4?

?5? ? 40 ? ? ? ?4?

n ?1

?5? 1? ? ? ?? 5 ? n ? 4? ? ? 40 ? ? 160 ?? ? ? 1? . 5 ?? 4 ? ? ? ? 1? 4
(2)由题意,令 an<bn,

n

? ? 4 ?n ? ?? 5 ? n ? 400 1 ? ? 160 ∴ ? ? ? ? ?? ? ? 1? . 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4 ? ?
设t ? ?

? 1? ?5? 2 ? ,则 5 ?1 ? t ? ? 2(t ? 1) ,即 2t -7t+5>0. ? ? ?4?
5 ?5? 5 ,即 ? ? ? . 2 ?4? 2
n

n

∵t>1,∴解得 t>
4

? 5 ? 5 ? 125 ? 5 取 n=4,则 ? ? ? ? ? ?? ; ? 4 ? 2 ? 128 ? 2 ? 5 ? 5 ? 625 ? 5 取 n=5,则 ? ? ? ? ? ?? ? 4 ? 2 ? 512 ? 2
∴第 5 月开始扭亏为盈. 【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型,只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式. 举一反三: 【变式】某地区原有森林木材存量为 a ,且每年增长率为 25% ,因生产建设的需要每年年底要砍 伐的木材量为 b ,设 an 为 n 年后该地区森林木材存量. (1)写出 an 的表达式. (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于 那么今后该地区会发生水土流失吗?若会,要经过几年?(取 lg 2 ? 0.30 ). 【答案】 (1)依题意,第一年森林木材存量为 a ,
5

7 19 a ,如果 b ? a, 9 72

5 a ?b, 4 5 5 2 5 2 年后该地区森林木材存量为: a2 ? a1 ? b ? ( ) a ? ( ? 1)b , 4 4 4 5 5 3 5 2 5 3 年后该地区森林木材存量为: a3 ? a2 ? b ? ( ) a ? [( ) ? ? 1]b , 4 4 4 4 5 5 4 5 3 5 2 5 4 年后该地区森林木材存量为: a4 ? a3 ? b ? ( ) a ? [( ) ? ( ) ? ? 1]b , 4 4 4 4 4
1 年后该地区森林木材存量为: a1 ? ……

5 5 5 5 n 年后该地区森林木材存量为: a n ? ( ) n a ? [( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 ? ... ? ? 1]b 4 4 4 4 19 7 a 时,依题意该地区今后会发水土流失,则森林木材存量必须小于 a , (2)若 b ? 72 9 5 n 5 n 19 7 a? a, 即 ( ) a ? 4[( ) ? 1] ? 4 4 72 9 5 n 5 ( ) ? 5 ,即 n lg ? lg 5 , 解得 4 4
∴n ?

lg 5 1 ? lg 2 ? ?7, lg 5 ? 2 lg 2 1 ? 3lg 2

∴n ? 8. 故经过 8 年该地区就开始水土流失.


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