新课标高中数学第3章不等式3.2均值不等式第2课时均值不等式的应用证明问题课件新人教B必修5_图文

新课标导学 数 学 必修5 ·人教B版 第三章 不等式 3.2 均值不等式 第2课时 均值不等式的应用——证明问题 1 课前自主学习 2 3 课堂典例讲练 课 时 作 业 课前自主学习 现有A、B、C、D四个长方体容器,A、B的底面积均为a2,高分别为a和b, C、D的底面积均为b2,高分别为a和b(其中a≠b).现规定一种游戏规则:每人一 次从四个容器中取两个,盛水多者为胜.先取者有没有必胜的方案?若有,有 几种? 常见的不等式: 2ab a、b∈R). 1.a2+b2≥________( a+b 2 2 2 a + b ( ) 2 2.ab≤________ ≤ (a、b∈R). 2 1.已知 a、b∈R+,则下列不等式不一定成立的是 导学号 27542680 ( D ) 1 A.a+b+ ≥2 2 ab a2+b2 C. ≥a+b ab 1 1 B.(a+b)( + )≥4 a b 2ab D. ≥ ab a+b 1 1 [解析] A 中 a+b+ ≥2 ab+ ≥2 2, ab ab 1 1 B 中(a+b)· ( + )≥2 ab· 2 a b 1 =4,当且仅当 a=b 时取等号. ab C 中(a2+b2)2-ab(a+b)2=(a-b)(a3-b3)≥0 当且仅当 a=b 时,取等号.∴选 D. 2.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是 导学号 27542681 ( D ) A.a2+b2 C.2ab B.2 ab D.a+b [解析] 解法一:∵0<a<1,0<b<1, ∴a2+b2>2ab,a+b>2 ab,a>a2,b>b2, ∴a+b>a2+b2,故选 D. 1 1 13 2 2 解法二:取 a= ,b= ,则 a +b = , 2 3 36 6 1 5 5 2 ab= ,2ab= ,a+b= ,显然 最大. 3 3 6 6 3.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,若 a、b、c 成等差数列, 则 B 的取值范围是 导学号 27542682 ( B ) π A.0<B< 4 π C.0<B≤ 2 π B.0<B≤ 3 π D. <B<π 2 [解析] ∵a、b、c 成等差数列,∴2b=a+c. a+c 2 a2+c2-b2 a +c -? 2 ? ∴cosB= = 2ac 2ac 2 2 3?a2+c2? 1 6ac 1 1 = - ≥ - = , 8ac 4 8ac 4 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. π ∵余弦函数在(0,π)上为减函数,∴0<B≤ .故选 B. 3 8 4 .已知正数 x 、 y 满足 x + 2y - xy = 0 ,则 x + 2y 的最小值为 ________. 导学号 27542683 1 2 [解析] ∵x+2y-xy=0,∴ + =1. y x 1 2 x 4y ∵x>0,y>0,∴(x+2y)( + )= + +4≥2 y x y x x 4y 当且仅当 = ,即 x=2y 时,等号成立. y x 2 1 ? ? ? + =1 ?x=4 由?x y ,得? . ? ?y=2 ? x = 2 y ? ∴x=4,y=2 时,x+2y 取最小值 8. x 4y · +4=8, y x 5.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a、b 恒成立的是 ①③⑤ 写出所有正确命题的编号). 导学号 27542684 _________( ①ab≤1; ② a+ b≤ 2; ③a2+b2≥2; 1 1 ④a +b ≥3; ⑤ + ≥2. a b 3 3 [解析] ?a+b? ?2 ①ab≤? ? 2 ? =1,成立. ? ? ②欲证 a+ b≤ 2,即证 a+b+2 ab≤2,即 2 ab≤0 显然不成立. ③欲证 a2+b2=(a+b)2-2ab≥2,即证 4-2ab≥2,即 ab≤1,由①知成立. 3 3 3 2 ④a +b = (a+ b)(a - ab+b )≥3?a -ab+b ≥ ?(a + b) -3ab≥ ?4 - 2 2 2 3 3 2 2 2 2 5 5 ≥3ab?ab≤ ,由①知,ab≤ 不恒成立. 6 6 a+b 1 1 ⑤欲证 + ≥2,即证 ≥2,即 ab≤1,由①成立. a b ab 课堂典例讲练 命题方向1 ?不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法 已知 a、b、c 为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc + ca. 导学号 27542685 [解析] ∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca, 以上三式相加:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca, ∴a2+b2+c2>ab+bc+ca. [点评] 本题中的表达式具有轮换对称关系,将表达式中字母轮换 a→b→c→a后表达式不变,这类问题证明一般变为几个表达式 (通常几个字母就 需几个表达式)迭加(乘),从而获解. 〔跟踪练习 1〕 导学号 27542686 若 a、b、c 均为正数,求证:a3+b3+c3≥3abc. [解析] b), ∵a、b 为正数,∴(a-b)2≥0,a+b>0, ∴a3+b3≥a2b+ab2,① 同理可得 b3+c3≥b2c+bc2,② a3+c3≥a2c+ac2.③ a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+ 将①②③式两边分别相加,得 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2 =(a2b+bc2)+(ab2+ac2)+(b2c+a2c) =b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2) ≥b·2ac+a·2bc+c·2ab=6abc, ∴a3+b3+c3≥3abc. 显然,当且仅当a=b=c时, a3

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