北京市海淀区2015届高三上学期期末考试 理科数学试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学(理科) 2015.1 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项。 (1)抛物线 x ? ?2 y 的焦点坐标是( 2 ) (C) (0, ? ) (A) (?1, 0) (B) (1, 0) 1 2 (D) (0, ) 1 2 (2)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 y A 1 O x z ,则复数 z 2 ? ( ) -2 (A) ?3 ? 4i (B) 5 ? 4i (C) 5 ? 4i (D) 3 ? 4i ( 3 )当向量 a ? c ? (?2, 2) , b ? (1, 0) 时, 执 行如图所示的程序框图,输出的 i 值为( ) (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 ) (4)已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 ,l2 : x ? ay ? 2 ? 0 . 若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值是( (A) 0 (B) 2 或 ?1 (C) 0 或 ?3 (D) ?3 ·1 · ?2 x ? y ? 2≤0, ? (5)设不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 表示的平面区域为 D . 则区域 D 上的点到坐标原点的距离的 ? x ? y ? 1≥ 0 ? 最小值是( (A) 1 ) (B) 2 2 (C) 1 2 (D) 5 (6)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个 面的面积中最大的是( ) 4 正(主)视图 侧(左)视图 3 4 俯视图 (A) 2 34 (B) 12 (C) 8 3 (D) 6 2 (7)某堆雪在融化过程中,其体积 V (单位: V m )与融化时间 t (单位: h )近似满足函数 关系:V (t ) ? H (10 ? 3 1 3 t ) ( H 为常数) ,其 10 图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的 平均融化速度为 v(m3 / h) . 那么瞬时融化速 度等于 v(m3 / h) 的时刻是图中的( ) O t1 t2 t3 t4 100 t (A) t1 (B) t 2 (C) t3 (D) t 4 ·2 · (8)已知点 A 在曲线 P : y ? x 2 ( x ? 0) 上, 若线段 OM , A 过原点 O ,且与 y 轴的另一个交点为 M . A 和曲线 P 上分别存在点 B 、 点 C 和点 D , 使得四边形 ABCD (点 A, B, C , D ) 顺时针排列) 是正方形, 则称点 A 为曲线 P 的 “完美点”. 那么下列结论中正确的是 ( (A)曲线 P 上不存在“完美点” (B)曲线 P 上只存在一个“完美点” ,其横坐标大于 1 1 且小于 1 2 1 (D)曲线 P 上存在两个“完美点” ,其横坐标均大于 2 (C)曲线 P 上只存在一个“完美点” ,其横坐标大于 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 B ( . 用数字作答) 1 6 (9) 在 ( ? x ) 的展开式中, 常数项是 x C O (10)在极坐标系中,直线 ? sin ? ? 3 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦 长为______. D A y2 ? 1 的一条渐近线的倾斜角为 60 ? ,则 m ? (11)若双曲线 x ? m 2 . (12)如图所示, AD 是 O 的切线, AB ? 2, AC ? 3 , ?ACB ? (13)在等比数列 {an } 中,若 a1 ? ?24 , a4 ? ? 的前 n 项积 最大. . π ,那么 ?CAD ? _______. 4 8 ,则公比 q ? ________;当 n ? ________时,{an } 9 ·3 · (14) 如图所示, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 E 是边 BC 的中点. 动点 P 在直线 BD1 (除 B, D1 两点)上运动的过程中,平面 DEP 可能经过的该正方体的顶点是 的所有顶点) D1 C1 A1 B1 . (写出满足条件 D E A B C 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? (Ⅰ )写出 ? 及图中 x0 的值; y π ) 的部分图象如图所示. 2 3 2 O 1 1 1 (Ⅱ ) 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) , 求函数 g ( x) 在区间 [? , ] 3 2 3 上的最大值和最小值. x0 x (16) (本小题满分 13 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女 同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考 核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等 5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学 间隔的人数为 X , X 的分布列为 X 3 2 1 0 P 求数学期望 EX ; a b 3 10 2 5 (Ⅲ)考核的第二轮是笔试:5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105, 111,109;结合第一轮的 答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121,119. 这 5 位同学笔试成绩与考核成绩的方 2 2 差分别记为 s12 , s2 ,试比较 s12 与

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