2013-2014学年第一学期赣州市十二校联考高一期中数学试题(含参考答案)


2013—2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考 高一数学试卷
命题学校:定南中学 命题人:郭永富 审题人:陈凯晨 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

2 1 1 2 1 1 3 3 7.设 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? ( ) 3 ,则 a, b, c 的大小关系是( 3 3 3



一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? y y ? 2 x , x ? R , B ? y y ? x 2 , x ? R ,则(

C .c ? a ?b A.b ? c ? a B .a ?b ?c D.a ?c ?b 8. 函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点( ) C . (2, 0) A . (2, ?1) B . (2, 2) D . (2,1) 2 9.如果函数 f ( x) ? ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4 ? 上单调递增,
那么实数 a 的取值范围是( )

?

?

?

?



A.a ?5

B .a ?5
1 2

C . a ? ?3

D . a ? ?3


C . A? B D . A? B ? ? B . A? B ? A 2.下列函数中,在区间 (0, ??) 上是增函数的是( ) 2 1 C . y ? log3 x A. y ? B . y ? ( )x D . y ? ( x ? 2) 2 x 3 3 .已知 ( x, y ) 在映射下的象是 ( x ? y, x ? y) ,则象 (2, 4) 在 f 下的原象为( )

A . A? B ? A

10.对任意实数 x 规定 f ( x) 取 5 ? x, x ? 2, (5 ? x) 三个值中的最小值,则 f ( x) (

7 A .有最大值 ,最小值 0 3 C .有最大值 0 ,无最小值

7 B .有最大值 ,无最小值 3 D .无最大值,无最小值

A . (3, ?1) A.a
3 ? 5

B . (3,1)
)

C . (?3,1)

D . (?3, ?1)
3 2 3 2

4.下列各式正确的是(

?
1 4

1
3

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

a5
1 ? 8

B. x ?x
?a
1 1 1 ? ?( ? ) 2 4 8

二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,各题答案必须填写在答题卡上.
1 3 2 ? 3

C . a ?a ?a

1 2

1 4 D . 2x ( x ? 2x ) ? 1 ? 2 x
( ) ② f ( x) ? x 与 g ( x ) ?
2
3

1 ? 3

11.幂函数的图像过点 ( , ) ,则它的单调递减区间是 12.计算 l o g9 2?l o g 4 27 ? . .

5.下列各组函数是同一函数的是
3

1 1 2 4

.

① f ( x) ? ?2 x 与 g ( x) ? x ?2 x

x

3

1 ③ f ( x) ? x 与 g ( x) ? 0 x
0

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? t ? 2t ? 1
2

13.已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( x) =

A .①②

B .①③

C .③④

D .①④
)

14.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的值域是 [1, 2] ,那么函数 f ( x) 的定义域是 15. 下列几个命题: ①方程 x 2 ? (a ? 3) x ? a ? 0 若有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ②函数 y ?

.

6. 函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 g ( x) ? 2? ( x ?1) 在同一直角坐标系下的图像大致是(

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f ( x) 的值域是 [?2, 2] ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 [?3,1] ; ④ 一条曲线 y ?| 3 ? x 2 | 和直线 y ? a (a ? R) 的公共点个数是 m , 则 m 的值不可能是1 .其中正确的有___________________.

期中联考高一数学试卷第 1 页( 共 4 页)

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,各题解答必须答在答题卡上,必须写出必要的文 字说明、演算步骤或推理过程. 16.(本小题满分 12 分) 设集合 A ? x a ? x ? a ? 3 , B ? x x ? ?1 或 x ? 5? , 当 a 为何值时, (1) A ? B ? ? ; (2) A ? B ? A ; (3) A ? (C R B) ? C R B .

19. (本小题满分 12 分) 有甲、 乙两种商品, 经营销售这两种商品所能获得的利润依次为 Q1 万元和 Q2 万元,它们与投入资金的关系是 Q1 ? 0.4 x , Q2 ? ?0.2 x 2 ? 1.6 x ,今有 10 万 元资金投入经营甲、乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分 别为多少?并求最大利润是多少?

?

?

?

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?? x ? 1, (?1 ? x ? 1)
2

? x ? 1, ( x ? 1)



20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a , (1)若 a =2 ,求 f ( x) 在区间 ? 0,3? 上的最小值;

(1)求 f ( f (2)) 的值; (2)在给出的坐标系中画出函数 f ( x) 的图像.

y

(2)若 f ( x) 在区间 ? 0,1? 上有最大值 3 ,求实数 a 的值.

2 1
?2 ?1
0 1 2 3

x

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ?1 定义在 R 上. 且 f ( x) 可以表示为 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

3 , x

一个偶函数 g ( x) 与一个奇函数 h( x ) 之和. (1)求 g ( x) 与 h( x) 与的解析式;

(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并用奇偶性的定义证明你的结论; (2)用函数单调性的定义证明:函数 f ( x) 在 [ 3, ??) 内是增函数.

(2)设 h( x) ? t , p(t ) ? g (2 x) ? 2mh( x) ? m2 ? m ? 1(m ? R) ,求出 p (t ) 的解析式; (3)若 p(t ) ? m2 ? m ? 1 对于 t ? R 恒成立,求 m 的取值范围.

期中联考高一数学试卷第 2 页( 共 4 页)

2013—2014 学年第一学期赣州市十二县(市)期中联考 高一数学参考答案与评分标准
1~10. BCA, DCC, DDA, B 11. (??,0) 12.

17.解: (1) f ( f (2)) ? f (1) ? 0 …………5 分 (2)函数图像为

y
3 8
13. x ? 1
2

14. [1,3]

15.①④

2 1
?2 ?1
0 1 2 3

16.解: (1)若 A ? B ? ? ,

x

…………12 分

B

?1

0

A

a

a?3

0

B

5

x

由图可知, ?

?a ? ?1 ?a ? 3 ? 5

18.解:(1) f ( x) 是奇函数,证明如下:…………1 分 函数的定义域是 (??, 0) ? (0, ??) ,关于原点对称,…………2 分 又 f ( ? x) ? ? x ?

,解得 ? 1 ? a ? 2 .…………4 分

(2)若 A ? B ? A ,则 A ? B ,

3 3 ? ?( x ? ) ? ? f ( x) , …………4 分 ?x x

所以 f ( x) 是定义域内的奇函数. …………5 分

B [来源:学科网 ZXXK] A 0 a a ? 3 ?1
由图可得 a ? 3 ? ?1 解得 a ? ?4 或

5

0

A

B
a?3 x

a

(2)设任意 x1 , x2 ? [ 3, ??) ,且 x1 ? x2

则…………6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ?


a ? 5,

3 3 ? ( x2 ? ) x1 x2 3 3 ? ) x1 x2

a ? 5 .…………8 分

? ( x1 ? x2 ) ? (

(3)由补集的定义知, C R B ? {x | ?1 ? x ? 5} , 若 A ? (C R B) ? C R B ,则 A ? C R B

?

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 3) …………9 分 x1 x2

? 3 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 0 ,…………10 分

?1

CR B

A

a

a?3

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即? f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………11 分

5

x

?a ? ?1 由图可知, ? ?a ? 3 ? 5

故函数 f ( x) 在 [ 3, ??) 内是增函数. …………12 分

,解得 ? 1 ? a ? 2 .…………12 分

19. 解:设投入乙 x(0 ? x ? 10) 万元,则投入甲 (10 ? x) 万元,…………2 分 利润 Q1 ? Q2 ? ?0.2 x ? 1.6 x ? 0.4(10 ? x) …………5 分
2

期中联考高一数学试卷第 3 页( 共 4 页)

? ?0.2 x2 ? 1.2 x ? 4
? ?0.2( x ? 3)2 ? 5.8 …………8 分
当 x ? 3 时,利润有最大值为 5.8 万元,…………10 分 答,为为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为 7 万元和 3 万元,…11 分 最大利润是 5.8 万元. …………12 分 20.解: (1)若 a ? 2 ,则 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 1 ? ?( x ? 2) ? 3
2 2

由①②解得 g ( x) ?

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , h( x ) ? . 2 2

∵ f ( x) 定义在 R 上,∴ g ( x) , h( x ) 都定义在 R 上. ∵ g ( ? x) ?

f (? x) ? f ( x) f (? x) ? f ( x) ? g ( x ) , h( ? x ) ? ? ? h( x ) . 2 2
x ?1

∴ g ( x) 是偶函数, h( x ) 是奇函数,∵ f ( x) ? 2 ∴ g ( x) ?



f ( x) ? f (? x) 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? ? 2x ? x , 2 2 2
. …………5 分

函数图像开口向下,对称轴为 x ? 2 , 所以函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上是增加的,在区间 [2,3] 上是减少的, 有又 f (0) ? ?1 , f (3) ? 2

f ( x) ? f (? x) 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 h( x ) ? ? ? 2x ? x 2 2 2
(2)由 2 ?
x

1 1 1 ? t ,则 t ? R , 平方得 t 2 ? (2 x ? x )2 ? 22 x ? 2 x ? 2 , x 2 2 2
2x

∴ g (2 x) ? 2

?

? f ( x)min ? f (0) ? ?1 …………3 分
(2)对称轴为 x ? a 当 a ? 0 时,函数在 f ( x) 在区间 [0,1] 上是减少的,则

1 ? t2 ? 2 , 2x 2
2

∴ p(t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 .
2 2 2 2

…………10 分

(3) p(t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? m ? m ? 1 对于 t ? R 恒成立, 即 t ? 2mt ? 2 ? 0 对于 t ? R 恒成立,则
2

f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 3 ,即 a ? ?2 ;…………6 分
当 0 ? a ? 1时,函数 f ( x) 在区间 [0, a] 上是增加的,在区间 [ a,1] 上是减少加的,则

? ? (2m)2 ? 4 ? 2 ? 0 ,解得

? 2 ?m? 2.

. …………14 分

f ( x)max ? f (a) ? a 2 ? a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 2或 ? 1 ,不符合;…………9 分
当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上是增加的,则

f ( x)max ? f (1) ? ?1 ? 2a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ;…………12 分
综上所述, a ? ?2 或 a ? 3 …………13 分 ]21. 解: (1)假设 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ①,其中 g ( x) 为偶函数, h( x ) 为奇函数, 则有 f (? x) ? g (? x) ? h(? x) ,即 f (? x) ? g ( x) ? h( x) ②,

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