2016_2017学年高中数学第3章统计案例章末高效整合课件北师大版选修2_3 (2)_图文

知能整合提升 一、回归分析 1.线性回归分析 对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn),其线性回归直线方程为 y=bx+a, ? ?xi- x ??yi- y ? i=1 n y ?xiyi-n x · i=1 2 - n x ?x2 i i=1 n n 其中 b= = ? ? x i- x ? i =1 n 2 a= y -b x 2.相关系数 ? ?xi- x ??yi- y ? i=1 n r= ? ? x i- x ? · 2 i =1 n n 2 ? y - y ? ? i i =1 n y ?xiyi-n x · i=1 = xi2-n x 2· i=1 ? n 2 2 y - n y ?i i=1 n |r|值越大, 相关性越高, |r|值越接近 0, 线性相关程度越低. 二、独立性检验 独立性检验的一般步骤 (1)列出 2×2 列联表; 2 n ? ad - bc ? (2)代入公式计算 χ2= ; ?a+c??a+b??b+d??c+d? (3)根据 χ2 的值的大小作出判断. 热点考点例析 回归分析的基本思想及其初步应用 1.函数关系是一种确定关系,而相关关系是一种非确定 关系,函数关系有具体的函数关系式,而相关关系没有一个确 定的关系式,用回归直线来估计相应的量的关系,但这种关系 也不是确切的,也存在着一定的误差. 2. 利用散点图来确定两个变量之间是否具有线性相关关系 时,作图要规范,如果样本点呈条形分布,我们就认为具有线 性相关关系,如果有个别的样本点出现异常,而绝大多数的样 本点在这个条形区域内,我们可以不考虑这个别的点,或认为 这几个出现异常的点对我们的结论影响不大.但如果出现异常 的点过多就认为不具有线性相关关系. 3.回归直线方程 y=bx+a 过样本点中心( x , y ). 4 .在线性回归模型中,随机误差用 y 预报真实值 y 的误 差.它是一个不可预测的变量,但可以通过这个随机变量的数 字特征来刻画它的一些总体特征,均值是反映随机变量取值平 均水平的数字特征,方差是反映随机变量集中于均值程度的数 字特征,而随机误差的均值为 0,因此可以用方差来衡量随机 误差的大小. 5.在研究两个变量之间的关系时,可以先根据散点图来 粗略地判断它们是否存在线性相关关系,是否可以用线性回归 模型来拟合两个变量的关系,如果可以用线性回归模型来拟合 时,再求出回归直线方程,最后再作残差分析来判断拟合的效 果,并判断原始数据中是否存在可疑数据. 要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学 学习有什么影响,在高一年级学生中随机抽选10名学生分析他 们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩,如下表所 示: x y 63 65 67 78 45 52 88 82 81 92 71 89 52 73 99 98 58 56 76 75 表中 x 是学生入学成绩, y 是指高一年级期末考试数学成 绩. (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)若某学生王明亮的入学成绩为80分,试预测他在高一年 级期末考试中的数学成绩为多少? 解析: (1)作出散点图如图所示,从散点图可以看出,这 两个变量具有线性相关关系. (2)列表计算 x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76 700 y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 760 x2 3 969 4 489 2 025 7 744 6 561 5 041 2 704 9 801 3 364 5 776 51 474 y2 4 225 6 084 2 704 6 724 8 464 7 921 5 329 9 604 3 136 5 625 59 816 xy 4 095 5 226 2 340 7 216 7 452 6 319 3 796 9 702 3 248 5 700 55 094 1 可求得 x =10×(63+67+…+76)=70, 1 y =10×(65+78+…+75)=76. 55 094-10×70×76 b= 2 ≈0.765 56, 51 474-10×70 a=76-0.765 56×70≈22.41, 所求的线性回归直线方程为 y=22.41+0.765 56x. (3)若学生王明亮入学成绩 80 分, 代入上面线性回归直线方 程 y=22.41+0.765 56x,可求得 y≈84(分). 答:王明亮同学高一期末数学成绩预测值为 84 分. 1.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数 据: 年份 需求量(万吨) 2010 2011 2012 2013 2014 236 246 257 276 286 ∧ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y =bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2016 年的粮食需 求量. 附:若(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)为样本点,y=bx+a 1n 1n 为回归直线,则 x = n ?xi, y = n ?yi, i=1 i=1 ∧ ? ?xi- x ??yi- y ? i =1 n ?xiyi-n x y i=1 2 - n x ?x2 i i=1 n n b= = ? ? x i- x ? i=1 n ,a= y -b x . 2 说明:若对数据作适当的预处理,可避免对大数字进行运 算. 解析: (1)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29 直线上升,下面来求回归直线方程.为此对数据预处理如下: 年份-2012 需求量-257 由预处理后的数据,容易算得 x =0, y =3.2, ?-4?×?-21?+?-2?×?-11

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