湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 理

荆州中学高二年级第二次质量检测数学卷(理科)
第I卷 一、选择题(本大题共12题,每题5分,共计60分) 1.下列叙述错误 的是( .. )

A.若事件 A 发生的概率为 P ? A? ,则 0 ? P ? A? ? 1 B.系统抽样是不放回抽样,每个个体被抽到的可能性相等.

? ?a C.线性回归直线 y ? ? bx ? 必过点 ( x, y) ;
D.对于任意两个事件 A 和 B,都有 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 2. 甲、乙两同学用茎叶图记录高三前 5 次数学测试的成绩,如图所示.他们在分析对比成绩 变化时,发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了,若已知乙的平均成绩低 于甲的平均成绩,则看不清楚的数字为( A.0 B.3 C. 6 ) ②样本容量越大,估计就越精确; ) D.9

3.用样本估计总体,下列说法正确的个数是( ①样本的概率与实验次数有关;

③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平; ④数据的方差越大, 说明数据越不稳定. A.1 B.2 C.3 D.4

4. 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的, 则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为( A. )

9 16

B.

9 32

C.

7 16

D.

23 32

5. 三棱锥 S?ABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱 S B 的长为( )

A. C.

4 2

B.

19
第 5 题图

20

D. 4 3

6. 某企业有 4 个分厂,新培训了一批 6 名技术人员,将这 6 名技术人员分配到各分厂,要求 每个分厂至少 1 人,则不同的分配方案种数为( A.1080 B.480 C.1560 )

D.300

2 2 7. 若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称,则 k , b 的值分别

为( )

-1-

A.k ? ?
3

1 ,b ? 4 2
10

B.k ? ?
5

1 ,b ? ?4 2
)

C. k ?

1 ,b ? 4 2

D.k ?

1 , b ? ?4 2

8.在(1-x )(1+x) 的展开式中x 的系数是( A.-297 B.-252

C.297

D.207

9.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到 红球出现 10 次时停止,设停止时共取 ? 次球,则 P(? ? 12) 等于( A. C12 ? ( ) ? ( )
10



开始

3 10 5 2 8 8 5 9 3 2 9 C. C11 ? ( ) ? ( ) 8 8

3 9 5 2 3 8 8 8 3 9 5 2 9 D. C11 ? ( ) ? ( ) 8 8
B. C11 ? ( ) ? ( ) ?
9

n ?1 S ?1
n? k?



10.若执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 ? 29 ,则判断框中的整 数 k 的值是( A.3 ) B.4 C.5 D.6



S ? 2S ? 3

输出 S
n ? n ?1
结束

MN 分别是 BB1 11. 如图, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? AA 1 ? 2,
和 B1C1 的中点,则直线 AM 与 CN 所成角的余弦值等于( )

A.

3 5

B.

2 5 2

C.

2 5

D.

5 2
)

12.函数 f ? x ? ?

1 ? x2 ? m 有零点,则实数 m 的取值范围是( x?3
B. ? 0,

A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

? ?

2? ? 2 ?

C. ? 0,

? ? ?

2? ? 4 ? ?

D. ? 0,

? ?

2? ? 4 ?

第II卷(非选择题) 二、填空题(本大题共4题,每题5分,共计20分) 13.要从已编号 1 ~ 360的 360 件产品中随机抽取 30 件进行检验,用系统抽样的方法抽出样本. 若在抽出的样本中有一个编号为 105 ,则在抽出的样本中最小的编号为__________; 14.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后,2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分别左、 右, 同侧不能都是同种舰艇, 则舰艇分配方案的方法数为_____; (用具体数字作答) 15.若 ( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x4 ? a3 x3 ? a2 x 2 ? a1x ? a0 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ; (用

-2-

具体数字作答) 16. 甲乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被击中, 则它是被甲击中的概率为__________; 三.解答题(本大题共 5 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 10 分)已知 ( x ? 3x 2 )n 的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为 32. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
2 3

18.(本小题满分 12 分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除标 记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为

a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率.

19. (本小题满分 12 分)某市政府为了确定一个较为合理的居民用电标准,必须先了解全市 居民日常用电量的分布情况.现采用抽样调查的方式,获得了 n 位居民在 2012 年的月均用电 量(单位:度)数据,样本统计结果如下图表: 分 组 [0, 10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 合 计 15 n 频 数 频 率 0.05 0.10 0.25 0.15 1

30

(1)求月均用电量的中位数与平均数估计值; (2)如果用分层抽样的方法从这 n 位居民中抽取 8 位居民,再从这 8 位居民中选 2 位 居民,那么至少有 1 位居民月均用电量在 30 至 40 度的概率是多少? (3)用样本估计总体,把频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的 抽样),求月均用电量在 30 至 40 度的居民数 X 的分布列.

20. (本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABC-A′B′C′中,平面 BCC′B′⊥底面 ABC,BB′⊥
-3-

AC,底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA′=3,E、F 分别在棱 AA′,CC′上,且 AE=C′F
=2. (1) 求证:BB′⊥底面 ABC; (2)在棱 A′B′上是否存在一点 M,使得 C′M∥平面 BEF,若存在,

A/ B/
E

A/ M 求 值,若不存在,说明理由; MB /
(3)求棱锥 A -BEF 的体积
'

C/

F A B C

21. (本小题满分 12 分) 袋中装有黑球和白球共 7 个, 从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 , 7

现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取??取后不放回,直到 两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.用 ? 表示取球终 止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 ? 的概率分布; (3)求甲取到白球的概率.

22. (本大题满分 12 分) 已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径为 1,直线 l :y= 圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程; (2)设 A(0,t) ,B(0,t+6) (-5≤t≤-2) ,若圆 M 是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.

4 1 x- 被圆 M 所截的弦长为 3 ,且 3 2

-4-

荆州中学高二年级第二次质量检测数学卷

参考答案 1-12 13. DABBA CDDBC AD ;15. 31 ;16. 0.75

9 ;14. 32

17.解:令 x ? 1 得,展开式中各项系数和为 (1 ? 3)n ? 22n. 又展开式中二项式系数和为 2 ,
n

?

22 n ? 32, n ? 5. 2n

?????

2分

(1)? n ? 5 ,展开式共 6 项,

?二项式系数最大的项为第三、四两项,

? T3 ? C ( x ) (3x 2 )2 ? 90 x 6 ,
3 5 3 T4 ? C5 ( x 3 )2 (3x 2 )3 ? 270 x 3 . 2 22

2 3 3

?????

6分

(2)设展开式中第 k ? 1 项的系数最大,
k k 则由 Tk ?1 ? C5 ( x 3 )5?k (3x 2 )k ? 3k C5 x 2 10?4 k 3



?3k C5k ? 3k ?1 C5k ?1 7 9 得? k k , ? ? k ? ,? k ? 4, k ?1 k ?1 2 2 ?3 C5 ? 3 C5
4 即展开式中系数最大的项为 T5 ? C5 ( x 3 )(3x 2 )4 ? 405x 3 . 2 26

?????

10



18.解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1, 3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2, 3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1), (3 , 2 , 2) , (3 , 2 , 3) , (3 , 3 , 1) , (3 , 3 , 2) , (3 , 3 , 3) , 共 27 种. ????? 2分

设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A,
-5-

则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种,????? 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = 27 9 分 19. (1)中位数估计值为 32,

4分

.?????

6分

.?????

12

平均数估计值为 0.05 × 5+0.1 × 15+0.3 × 25+0.25 × 35+0.15 × 45+0.15 × 45 = 33????? 4分 (2)由

30 ? 0.3 得 n

n ? 100

抽取的 8 位居民中月均用电量在 30 至 40 度的居民有 25 ?

8 ? 2人 100
????? 8

?至少 1 位居民月均用电量在 30 至 40 度概率为 1 ?


2 C6 13 ? 2 C8 28

(3)抽取 1 位居民月均用电量 在 30 至 40 度的概率为

25 1 ? 100 4

1 ? X ? B (3, ) 4

? X 的分布为
x
0 1 2 3

P

27 64

27 64

9 64

1 64
????? 12

分 20. (1)证明 取 BC 中点 O,连接 AO,因为三角形 ABC 是等边三角形, 所以 AO⊥BC, 又因为平面 BCC′B′⊥底面 ABC,AO? 平面 ABC,平面 BCC′B′∩平面 ABC=BC,所以 AO ⊥平面 BCC′B′, 又 BB′? 平面 BCC′B,所以 AO⊥BB′.又 BB′⊥AC,

-6-

AO∩AC=A,AO? 平面 ABC,AC? 平面 ABC.
所以 BB′⊥底面 ABC. ???????4 分

(2) 显然 M 不是 A′,B′,棱 A′B′上若存在一点 M, 使得 C′M∥平面 BEF, 过 M 作 MN∥AA′交 BE 于 N,连接 FN,MC′,所以 MN∥CF,即 C′M 和 FN 共面, 所以 C′M∥FN, 所以四边形 C′MNF 为平行四边形, 所以 MN=2,

所以 MN 是梯形 A′B′BE 的中位线,M 为 A′B′的中点.即

A/ M ? 1 ?????8 分 MB /

(3) V A/ ? BEF ? VB ? A/ EF ?

1 1 3 ?????12 分 ? ( ? 1 ? 2) ? 3 ? 3 2 3

21 解: (1)

1 cn 2 n(n ? 1) ? ? ? n(n ? 1) ? 6 ? n ? 3 7 c72 7?6
3分

?????

2分

(2) ?的所有可能取值有1,2,3,4,5. ?????
1 c3 3 P(? ? 1) ? 1 ? c7 7 1 1 C4 ? C3 4?3 2 ? ? 2 A7 7?6 7 2 1 A4 ? C3 4 ? 3? 3 6 ? ? 3 A7 7 ? 6 ? 5 35

P(? ? 2) ?

P(? ? 3) ?

3 1 A4 ? C3 4 ? 3? 2 ? 3 3 P(? ? 4) ? ? ? 4 A7 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 4 1 A4 ? C3 4 ? 3? 2 ? 3 1 ? ? 5 A7 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35

P(? ? 5) ?

?????

8分

?

1

2

3

4

5

P

3 7

2 7

6 35

3 35

1 35
9分
-7-

?????

(3)甲分 1 次或分 3 次或分 5 次取到白球的概率

P ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 5) ?

3 6 1 22 ? ? ? ????? 7 35 35 35
| 8a ? 3 | 8 ?6
2 2

12 分

22. (1)解:设圆心 M (a,0) ,则

? 1? (

3 2 1 ) ? ,即| 8a-3 | = 5??2 2 2

分 又∵M 在 l 的下方,∴8a-3 > 0,∴8a-3 = 5,a = 1 2 2 故圆的方程为(x-1) +y = 1. ????? 3 分 (2)解:由题设 AC 的斜率为 k1,BC 的斜率为 k2,则直线 AC 的方程为 y=k1x+t,直线 BC 的 方程为 y=k2x+t+6 6 ? y ? k1 x ? t 由方程组 ? ,得 C 点的横坐标为 x ? ????? 5 分 k1 ? k 2 ? y ? k2 x ? t ? 6 ∵|AB| = t+6-t = 6, 1 6 18 ?6? ∴S ? ????? 6 分 2 | k1 ? k2 | | k1 ? k2 | 由于圆 M 与 AC 相切,所以 由于圆 M 与 BC 相切,所以 ∴ k1 ? k2 ? ∴S ?
3(t 2 ? 6t ? 1) , t (t ? 6)

| k1 ? t | 1 ? k12
2 1 ? k2

? 1,∴ k1 ?

1 ? t2 2t
1 ? (t ? 6) 2 ????? 8 分 2(t ? 6)

| k2 ? t ? 6 |

? 1 ,∴ k2 ?

6(t 2 ? 6t ) 1 ? 6(1 ? 2 ) ,????? 10 分 2 t ? 6t ? 1 t ? 6t ? 1 2 ∵-5≤t≤-2,∴-8≤t +6t+1≤-4, 1 15 1 27 ∴ Smax ? 6(1 ? ) ? , Smin ? 6(1 ? ) ? , 4 2 8 4 15 27 ∴△ABC 的面积 S 的最大值为 ,最小值为 .????? 12 分 2 4

-8-


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