第三高中数学 3.1.1 实数指数幂及其运算教案 新人教B必修1

学科:数学

课题:实数指数幂及其 运算

教学目标(三维融通表述) : 1.理解 n 次方根,n 次根式的概念及其性质. 2。能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一 种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化. 3。能利用有理指数运算性质简化根式运算. 教学重点:分数指数幂的概念分数指数的性质 教学难点:根式的概念,分数指数的概念 教 教 学 环 节 引 入 学 过 程 时 间 3 分 钟

问题与 任务 回 顾初中 所学过 的整数 指数幂 概念及 其 性 质,引 出 问 题,导 入新课

教师活动 回忆整数指数幂的定义并板书 1.整数指数幂的定义

学生活动

an ? a .a? ...... a(n ? N ) ? ? ? ?
n个a

2.练习:计算下列各式 8 分 钟

a ? a , 3x
3 2

? ?

3 2

a3 , 3 a

a3 ? 1? 10?3 , , 5 , ?? ? a ? 2?

?6

回忆整数 指数幂的 定义及其 性质并思 考,回答

问题 1: 在初中我们学过平方根、立方根的概念,它是如 何定义的?它有何性质?学生回忆 为学生 理解根 式概念 作铺垫 18 分 钟 (1)如果一个数的平方等于 a,即 x ? a ,那么数 x 叫做 a 的平方根,
2

学生尝试 解决问题

新 课 讲 解

(2)如果一个数的立方等于 a,即 x ? a ,那么数 x 叫做 a 的立方根; (3)正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的 平方根是零;负数没有平方根。 (4)正数和负数的立方根都只有一个,零的立方 根是零。
3

问 题

2:
3 5

以 下 式 子 : ,

促使学 生进一 步理解 以上概 念,并 尝试把 知识迁

35 ? 243 , ?? 3? ? ?243. 中 ? 3 与 9,2 与 8,
-2 与-8, ? 2 与 16,3 与 243,-3 与-243 是什么 关系? ? 3 叫 9 的平方根,2 叫 8 的立方根,-2 叫-8 的 立方根. 类比:? 2 叫 16 的四次方根,3 叫 243 五次方根, -3 叫-243 的五次方根。

23 ? 8, ?? 2? ? ?8

?? 3?2 ? 9 ?? 2?4 ? 16

, ,

学生回忆 独 立 思 考,逐一 回答
1

移到四 次方根 和五次 方根 由特殊 到 一 般,培 养学生 归纳、 概括的 能力 14 分 钟

试想:如果 x ? a ,你能试着说出 x 与 a 的关 系吗?
n

由此类推: 一般地, 如果存在实数 x,使得 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1 ,且 n ∈ N *.求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作 学生讨论 开方运算。 交流后回 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. 答 n 式子 a 叫做根式,这里 n 叫做根指数(,a 叫做被开方数. 正数 a 的偶次方根有两个, 它们互为相反数,
n

分别表示为 n a , - n a ( a >0,n 为偶数) 负数的偶次方根在实数范围内不存在; 当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数.都表示为 n a (n 为 奇数) . 根据 n 次方根的定义,根式具有性质: (1) n n 当 n 是奇数时, a ? a 当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 例如:

( a) ? an n

? 5 ? ? 5 ,?
4 4

3

? 5 ? ?5,
4

?

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)
5 3 5

讨论交流 “试想” 并让多个 学生回答

3

? 2 ? ?2 ?8
3

52 ? 5, 4 ?? 3? ? 4 34 ? 3
进一步 理解根 式的性 质,为 导出分 数指数 幂做铺 垫 我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分 数指数幂。例如
1 ?3 ? 1 ? ? a 3 ? ? a 3 ? a , a3 ? ? ? ? 3

? ?

2 3

?a

2 ?3 3

?a

思考并解 答

显然,这些运算都不能用整数指数幂的定义来解 释。但是如果规定

a ? a , a ? 3 a2
3

1 3

2 3

典 型 例 题 分 析

则上述分数指数幂得运算就能像整数指数幂那样 运算了。 分数指数幂的意义 规定: a ? n a (a? 0)
1 n

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的 概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指 数幂.
2

3.有理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a (2) (a ) ? a
?
? ? ??
?

?

? ??

(a ? 0, ? , ? ? Q) ; (a ? 0, ? , ? ? Q)

(a ? 0, ? ? Q) 。 (3) (ab) ? a a 计算: (见书第 87 页)
巩固知 识点
1 ? 2 ? 3 4? 8 ?8 , 8 ,3 3? 3? 3 ,? a b ? ? ? ?
3 5 2 5 2 3

?

?

3

3

6

计算

巩 固 提 高

小 结

2 分

板 书 设 计 作 业 训 练

概念及性质

引导学生回顾本节课所学的知识: (1) 根式的定义 (2) 分数指数幂的概念 有理指数幂的运算性质 课题 例

个别回答

1.以下说法正确的是( ) A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.0的n次方根是0 (n ? N ) A. (6 D.a的n次方根是 n a )
8

2.已知 a ? R, b ? R 下列各式总能成立的是(

a ? b)
6

6

? a ?b

B. 8

(a 2 ? b2)

? a ?b

2

2

C. 4 a ? 4 b ? a ? b 3. a ?

D. 10 .

(a ?b)

10

? a?b

1 化简为 a

3

4.若 n a =- n a ,则
1 2

. .

5.若 n ? 3 ? ?n 3 ,则n的取值范围是
1 1 2 ? ?1 ? a 2b 3 (a 3b ) 6.化简下列各式: (1) 6

ab

5

反 思

4


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