苏教版高中数学(必修2)单元测试-月考

江苏省运河中学 高二年级数学学科阶段性检测试卷
考试时间为 120 分钟,试卷满分 160 分. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知直线 px ? qy ? 1 ? 0( p, q ? R) 经过第二、三、四象限,则 p, q 满足的条件是 2.已知直线 l : (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (2 ? 3k ) ? 0 ( k ? R) ,则直线 l 一定通过定点 . 3.已知直线 x ? ay ? 2a ? 2 与直线 ax ? y ? a ? 1 平行,则实数 a 的值为 . .

4.某商品的市场需求量 y1 ( 万件) 、市场供应量 y 2 ( 万件)与市场价格 x (元/件)分别近似 地满足下列关系: y1 ? ? x ? 70, y 2 ? 2 x ? 20. 当 y1 ? y2 时的市场价格称为市场平衡价格, 此时的需求量称为平衡需求量.现对每件商品征税 3 元时新的平衡价格为 元. 5.已知两条直线 a1 x ? b1 y ? 1 ? 0 和 a2 x ? b2 y ? 1 ? 0 都过点 A(2,3), 则过两点

P 1 (a1 , b1 ), P 2 (a2 , b2 ) 的直线方程为

. . . . . .

6.已知直线 l 过点 M (3,?4) ,且在两坐标轴上的截距相等,则 l 的方程为 7.用长、宽分别是 3? 与 ? 的矩形硬纸卷成的圆柱的侧面,则该圆柱底面的半径为 8.已知平面 ? 外的一条直线 l 上有两点到 ? 距离相等,则 l 与 ? 的位置关系是 9. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角 C1 ? BD ? C 的正切值为 10.若直线 y ? x sin ? ? 3 ? 0 的倾斜角为 ? , 则 ? 的取值范围为

11.直线 ax ? (1 ? a) y ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值 为 . 12. 设 m 、n 是异面直线, 则(1)一定存在平面 ? , 使 m ?? 且 n ∥? ; (2)一定存在平面 ? , 使 m ? ? 且 n ? ? ;(3)一定存在平面 ? ,使 m , n 到 ? 的距离相等;(4)一定存在无数对 平面 ? 与 ? ,使 m ? ? , n ? ? ,且 ? ∥ ? ;上述 4 个命题中正确命题的序号为 13.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为
D1 A1
4 主视图

. .

C1 B1
4 左视图 4

A

D· B
俯视图

C

第 9 题图 第 13 题图

14.设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? ? , m ? ? , a // l , b // m, 则 ? // ? ; ②若 l ? ? , m ? ? , l // m, 则 l // ? ; ③若 ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l , 则 ? ? ? ; ④若 m ? ? , n ? ? , 则 l ? ? ? l ? m, l ? n . 上面命题中,真命题 的序号 (写出所有真命题的序号) ... 二.解答题(本大题共有 6 小题,要求写出必要的过程) 15.(本小题满分 14 分) 已知直线 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1. (1)当 m 为何值时,直线倾斜角为 45 ? ? (2)当 m 为何值时,直线与 x 轴平行? (3)当 m 为何值时,直线与直线 2 x ? 3 y ? 5 垂直? (4)当 m 为何值时,直线与直线 2 x ? 3 y ? 5 平行? 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中, CB ? CD,AD ? BD ,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求 证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD . B F

E

D C A

17.(本小满分 14 分) 、

在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方体, 侧棱长为 3, E , F 分 别是 AB1 , CB1 的中点,求证: 平面 D1 EF ? 平面 AB1C.

D1 A1 B1 F E D A B

C1

C

18.(本小题满分 16 分) 在路边安装路灯,路宽 23m ,灯杆长 2.5m ,且 与灯柱成 120 ? 角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高 h 为多少米时,灯罩轴 线正好通过道路路面的中线?(精确到 0.01 m) ( 3 ? 1.732 )

2.5

23

19.(本小题满分 16 分)

直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1C1 ? A1C1 , AC1 ? A1 B, M , N 分

A1 M B1 A N B

C1

C

20. (本小题满分 16 分)如图所示,已知直线 l : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 x, y 轴的正半轴分别交 于 A, B 两点,直线 l1 和 AB, OA 分别交于 C , D, 且平分△ AOB 的面积,求 CD 的最小值.

y

B

C O
A

D

x

姓名 考试号 班级 ………………………………………… 密…………………………………………封………………………… 线…………………………

高二年级数学学科阶段性检测试卷
数学答题纸
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在下列相应的横线上,否 则答题无效. ) 1. 4. 7. 10. 13. _ 2. 5. 8. 11. 14. 3. 6. 9. 12.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请把解答写在下面规定的答题框内,否则答题无 效.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (本题共 14 分)

16. (本题共 14 分)

B F

E

D C A

17. (本题共 15 分)

D1 A1 B1 F E D A B

C1

C

………………………………………… 密……………

18. (本题共 15 分)

2.5

23

19. (本题共 16 分)

A1 M B1 A N B

C1

C

20. (本题共 16 分)

y

B

C O
A

D

x

参考答案 一、填空题 1.

p ? 0, q ? 0

2. (0,1)

3.

1

4

32

5.

2x ? 3 y ? 1 ? 0
.

6

x ? y ? 1 ? 0 或 4x ? 3 y ? 0

7

1 3 或 2 2
11.

8.

平行或相交

9

2

10.

? 3? [0, ] ? [ , ? ) 4 4

0 或?

3 2

12.

(1) (3)

4? 13. 14. (1) (2) 二、解答题 15. 解: (1) m ? ?1.

3 2 (3) m ? ?6. 9 (4) m ? ? 8
(2) m ? ? 16. 证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD 17. 证明:∵ E , F 分别是 AB1 , CB1 的中点, ∴ EF // AC ∵ AB1 ? CB1 , O 为 AC 的中点, ∴ B1O ? AC, 故 B1O ? EF. 故 Rt?B1 BO 中 , ∵ BB1 ? 3, BO ? 1, ∴
A1 D1 B1 F E D A O B O1 C

C1

?BB1O ? 30?, 从而 ?OB1 D1 ? 60?
1 又 B1 D1 ? 2, B1O1 ? OB1 ? 1(O1 为 B1O 与 2
EF 的交点,
∴ ?D1 B1O1 是直角三角形,即 B1O ? D1O1 ∴ B1O ? 平面 D1 EF. 又 B1O ? 平面 AB1C , ∴平面 D1 EF ? 平面 AB1C.

18. 解:如图,记灯柱顶端为 B ,灯罩顶为 A ,灯杆为 AB,灯罩轴线与道路中线交于 C.以灯柱 底端 O 点为原点,灯柱 OB 为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 点 B 的坐标为 (0, h) ,点 C 的坐标为 (11.5,0) .因为 ?OBA ? 120 ? ,所以直线 BA 的倾斜角为

30?, 则点 A 的坐标为


(2.5 cos30?, h ? 2.5 sin 30?)

(1.25 3, h ? 1.25). 因 为
2.5

CA ? BA, 所以

k CA ? ?

1 1 ?? ? ? 3. k BA tan30?

由点斜式,得直线 CA 的方程是

y ? (h ? 1.25) ? ? 3( x ? 1.25 3)
因为灯罩轴线 CA 过点 C (11.5,0), 故

23

? (h ? 1.25) ? ? 3(11.5 ? 1.25 3).
解得

h ? 14.92(m)

答 灯柱高约为 14.92m 19. 证明: (1)? AA1 ? 平面 A1 B1C1 , C1 M ? 平面 A1 B1C1 ∴ AA1 ? C1 M , 又 B1C1 ? A1C1 , M 为 A1 B1 中点 ∴ C1M ? A1B1 , 由 A1 B1 ? A1 A ? A1 , 得 C1 M ? 平面 A1 ABB 1 (2)由(1)得 C1 M ? A1 B, 又 A1 B ? AC1 , 得 A1 B ? 平面 AC1 M , 故 A1 B ? AM . (3)由 AM // B1 N , 得 AM // 平面 NB1C. 由 C1 M // CN , 得 C1 M // 平面 NB1C. 又

? AM ? C1 M ? M ,
∴平面 AMC1 // 平面 NB1C . 20.解: 令 y ? 0, x ? 4, ∴ A(4,0) , 令 x ? 0, y ? 3, ∴

y

B(0,3)
S ?AOB ? 1 1 ? 4 ? 3 ? 6,? S ?ACD ? S ?AOB ? 3. 2 2
B

C O
A

D

x

设 AD ? m, AC ? n, 则 sin A ?

S ?ACD

OB 3 ? . OA 5 1 1 3 ? mn sin A ? 3,? mn ? 3,? mn ? 10. 2 2 5

CD 2 ? m 2 ? n 2 ? 2m ncos A ? m 2 ? n 2 ? 2 ? 10 ? ? m 2 ? n 2 ? 16 ? 2m n ? 16 ? 4.
∴ CD ? 2, 当 m ? n ? 10 时, CD 有最小值为 2.

4 5


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