2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何章末复习课 新人教A版选修2-1_图文

第三章 空间向量与立体几何 章末复习课 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的运算法则及运算律. 2.掌握空间向量数量积的运算及其应用,会用数量积解决垂直 问题、夹角问题. 3.理解空间向量基本定理,掌握空间向量的坐标表示. 4.会用基向量法、坐标法表示空间向量. 5.会用向量法解决立体几何问题. 内容索引 知识梳理 题型探究 当堂训练 知识梳理 知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则 线线平行 l∥m?a∥b?a=kb,k∈R 线面平行 l∥α? a⊥μ ?_a_·μ__=__0_ 面面平行 α∥β?μ∥v?_μ_=__k_v_,__k_∈__R_ 线线垂直 l⊥m? a⊥b ?_a_·b_=__0_ 线面垂直 l⊥α?a∥μ?a=kμ,k∈R 面面垂直 α⊥β?μ⊥v?_μ_·v__=__0_ 线线夹角 线面夹角 面面夹角 l,m的夹角为θ(0≤θ≤ π 2 ),cos θ= |a·b| |a||b| l,α的夹角为θ(0≤θ≤ π 2 ),sin θ= |a·μ| |a||μ| α,β的夹角为θ(0≤θ≤ π 2 ),cos θ= ||μμ|·|vv|| 知识点二 用坐标法解决立体几何问题 步骤如下: (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)写出相关点的坐标及向量的坐标; (3)进行相关坐标的运算; (4)写出几何意义下的结论. 关键点如下: (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要,恰当的坐标系可以使得点 的坐标、向量的坐标易求且简单,简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题,必须 确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量,这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量 计算来解决,如何转化也是这类问题解决的关键. 题型探究 类型一 空间向量及其运算 例1 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到 A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论: ①S→A+S→B+S→C+S→D=0; ②S→A+S→B-S→C-S→D=0; ③S→A-S→B+S→C-S→D=0; ④S→A·S→B=S→C·S→D; ⑤S→A·S→C=0. 其中正确结论的序号是 ③④ . 答案 解析 反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、 三角形法则及各运算公式,理解向量运算法则、运算律及其几何意义. 跟踪训练 1 如图,在平行六面体 A1B1C1D1-ABCD 中,M 分A→C成的比 为12,N 分A→1D成的比为 2,设A→B=a,A→D=b,A→A1=c,试用 a、b、c 表 示M→N. 解答 类型二 利用空间向量解决位置关系问题 例2 四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的 中点,求证: (1)PC∥平面EBD. 证明 (2)平面PBC⊥平面PCD. 证明 反思与感悟 (1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向 量是共面向量. (3)证明面面平行的方法 ①转化为线线平行、线面平行处理. ②证明这两个平面的法向量是共线向量. (4)证明两条直线垂直,只需证明这两条直线的方向向量垂直. (5)证明线面垂直的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量. ②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直. (6)证明面面垂直的方法 ①转化为证明线面垂直. ②证明两个平面的法向量互相垂直. 跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点, 求证:平面AED⊥平面A1FD1. 证明 类型三 利用空间向量求角 例3 如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1= 8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长 方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); 解答 (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值. 解答 用向量法求空间角的注意点 反思与感悟 (1)异面直线所成角:两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°,需找到两 异面直线的方向向量,借助方向向量所成角求解. (2)直线与平面所成的角:要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α 的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n,a〉,再利用公式 sin θ=|cos〈n,a〉|,求θ. (3)二面角:如图,有两个平面α与β,分别作这两个平 面的法向量n1与n2,则平面α与β所成的角跟法向量n1 与n2所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角. 跟踪训练3 如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平 面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点. (1)求证:GF∥平面ADE; 证明 (2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值. 解答 当堂训练 1.已知空间四边形 ABCD,G 是 CD 的中点,则A→B+12(B→D+B→C)等于 → √A.AG → B.CG → C.BC 1→ D.2BC 答案 解析 在△BCD中,因为点G是CD的中点, 所以B→G=12(B→D+B→C), 从而A→B+12(B→D+B→C)=A→B+B→G=A→G.故选 A. 12345 2.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值是

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