福建省福州市第八中学2014届高三上学期第二次质检数学理试题 Word版含答案


福州八中 2013—2014 高三毕业班第二次质量检查

数学(理)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 设集合 A ? {x 0 ? x ? 3且x ? N}的真子集的个数是 A.15 B.8 C.7 D.3

2.“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ?) 上单调递增的是 ? A. y ? x3 4. 函数 f ( x) ? x B. y ? cos x
2013

C. y ?

1 x2

D. y ? ln x

1 ? ? ? 1 ? 2012 ? ,则 f ??? = ? ?? 2013 ? ? ? ?

A.0 B.1 5.下列有关命题的说法正确的是

C.2011

D.2012

A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”. B.若 p ? q 为真命题,则 p 、 q 均为真命题. C. 命题“存在 x?R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ” 的否定是: “对任意 x?R , 均有 x2+x+1>0”. D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

6.已知函数 f ( x) ?

e x ? e?x ,则下列判断中正确的是 2
B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 7.函数 y ? 2 A.
? x?a

图象的对称轴为 x ? 2 ,则 a 的值为 B. ?

1 2

1 2

C. 2

D. ? 2

8.为了得到函数 y ? 3? ( ) x 的图象,可以把函数 y ? 3 ? x 的图象 A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

1 3

9.设函数 y ? x3 与 y ? e 2? x 的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,则 x0 所在的区间是 A. (0, 1) 是 A. (1,+∞)
1 1 1 1 1 1 B. [ , ) ? (1, ??) C. [ , ) ? (1, ??) D. [ , ) 6 4 6 4 8 4 二、填空题:5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在相应的位置上.

B. (1 2) ,

C. (2, 3)

D. (3, 4)

10.已知 a>0 且 a≠1,若函数 f (x)= loga(ax2 –x)在[3,4]是增函数,则 a 的取值范围

11.设全集 U 是实数集 R , M= x | x 2 ? 4 , N ? ? x |1 ? x ? 3? ,则图中阴影部分 所表示的集合是 __________ _ .

?

?

? 1 x ? ( ) , x?2 12.已知函数 f ( x) ? ? 2 , 则函数 f (log 2 3) ? f ( x ? 1), x?2 ?
的值为____________.
2 2 13. 已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ___________ .

14. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 2 x 在区间 (?1, ? ?) 上有极大值和极小值,则实数

1 3

a 的取值范围是

. 15.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表,

f ? x ? 的导函数

y ? f ? ? x? 的图象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题:

①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ; ②函数 f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? 上是减函数; ③如果当 x ? ? ?1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题:本大题六个小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 16.(本小题 13 分)

已知集合 A={y|y=x2-

3 3 x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条 2 4

件,求实数 m 的取值范围. 17. (本小题 13 分) 设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域. (2)求 f(x)在区间[0,错误!未找到引用源。]上的值域. 18.(本小题 13 分) 1 1 若函数 y= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函 2 3 数,试求实数 a 的取值范围. 19. (本小题 13 分) 已知二次函数函数 f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且 f(0)· f(1)>0. (1)求证:-2<

b <-1. a

(2)若 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,求|x1-x2|的取值范围. 20.(本小题 14 分) 已知函数 f(x)=xln x. (1)若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,求直线 l 的方程. (2)设函数 g(x)=f(x)-a(x-1),其中 a∈R,求函数 g(x)在[1,e]上的最小值(其中 e 为自然对数的底数). 21. (本小题 14 分)已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x 3 ? ax 2 ? x ? 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间;

(Ⅱ)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ' ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

稿



福州八中 2013—2014 高三毕业班第二次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准
一、选择题 AADBD 二、填空题 11. 三、解答题 16. (本小题 13 分) 【解析】y=x2-错误!未找到引用源。x+1=(xADDBA

? x |1 ? x ? 2?

12.

1 6

13. 6

14. a ? ?

1 2

15.①②⑤

3 2 7 )+ , 4 16

∵x∈[ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 2] , ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ≤y≤2 , ∴A={y|

7 ≤y≤2}.……………………5 分 16

由 x+m2≥1,得 x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2}.……………………8 分 ∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,∴A?B, ∴1-m2≤错误!未找到引用源。 ……………10 分 , 解得 m≥

3 或 m≤-错误!未找到 4

引用源。 , 故实数 m 的取值范围是(-∞,-

3 3 ]∪[ ,+∞).………………………………13 分 4 4

17. (本小题 13 分) 【解析】(1)∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,a≠1),∴a=2.……2 分 由?

?1 ? x>0, 错 误 ! 未 找 到 引用 源。 得 x∈(-1, 3), ∴函数 f(x)的定 义域 为(-1 , ?3 ? x>0,

3).………………6 分 (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4],…………8 分 ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数,…………………………11 分 函数 f(x)在[0,错误!未找到引用源。]上的最大值是 f(1)=log24=2. ∴f(x)在区间[0,错误!未找到引用源。]上的值域是 ?? ?, 2? ……………………13 分 18.(本小题 13 分) 【解析】 f ? (x)=x2-ax+a-1=0 得 x=1 或 x=a-1, ……3 分 当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. ………6 分 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a -1,+∞)上为增函数. …………………9 分 依题意,当 x∈(1,4)时, f ? (x)<0,当 x∈(6,+∞)时, f ? (x)>0, ∴4≤a-1≤6. ∴a 的取值范围为[5,7]. ……13 分 19. (本小题 13 分) 【解析】(1)由条件知 a≠0,则 f(0)· f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,

b ? ?1. ……………………6 分 a 2b a?b (2)x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则 x1+x2=,x1x2=, 3a 3a
即 ( ? 1)( ? 2) ? 0, 从而 ? 2 ? 那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
? (? 2b 2 a?b 4 b 2 4 b 4 ) ? 4? ? ?( ) ? ? ? …………………………10 分 3a 3a 9 a 3 a 3 4 b 3 2 1 ? ( ? ) ? . 9 a 2 3

b a

b a

b 1 4 <-1,∴ ≤(x1-x2)2< , a 3 9 3 2 3 2 ? ? x1 ? x 2 ? . 即|x1-x2|的取值范围是 [ , ). ……………………13 分 3 3 3 3
∵-2< 20. 本小题 14 分) ( 【解析】 (1)设切点坐标为(x0, 0), y0=x0lnx0, y 则 切线的斜率为 lnx0+1, 所以切线 l 的方程为 y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0).……………………3 分 又切线 l 过点(0,-1),所以有-1-x0lnx0=(lnx0+1)(0-x0). 解得 x0=1,y0=0.所以直线 l 的方程为 y=x-1.……………………6 分 (2)g(x)=xlnx-a(x-1),则 g′(x) =lnx+1-a. g′(x)<0,即 lnx+1-a<0,得 0<x<ea-1,g′(x)>0,得 x>ea-1,所以 g(x)在(0,ea-1)上单 调递减,在(ea-1,+∞)上单调递增.…………………………8 分 ①当 ea-1≤1 即 a≤1 时,g(x)在[1,e]上单调递增, 所以 g(x)在[1,e]上的最小值为 g(1)=0.……………………10 分 ②当 1<ea-1<e, 1<a<2 时, 即 g(x)在 [1, a-1)上单调递减, e 在(ea-1, 上单调递增.g(x) e] a-1 a-1 在[1,e]上的最小值为 g(e )=a-e .…………………………12 分 ③当 e≤ea-1,即 a≥2 时,g(x)在[1,e]上单调递减, 所以 g(x)在[1,e]上的最小值为 g(e)=e+a-ae. 综上,x∈[1,e]时,当 a≤1 时,g(x)的最小值为 0;当 1<a<2 时,g(x)的最小值为

a-ea-1;当 a≥2 时,g(x)的最小值为 a+e-ae.………………………………14 分 21.(本小题 14 分) 【解析】(Ⅰ) f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f
'

?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,
e

? 1? ? f ?x ?的单调递减区间是? 0, ?; ………………3 分 ? e? 1 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? , e ?1 ? 增 ? f ?x ?的单调递减区间是? ,?? ?. ………………6 分 ?e ? 2 (Ⅱ)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? ?0,?? ? 上恒成立
即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1
2

3 1 x ? ………………8 分 2 2x 3x 1 设 h?x ? ? ln x ? , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? ……10 分 1 3 1 则 h ' ?x ? ? ? ? ?? 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3 ' ' 当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ?当 x ? 1时, h? x ? 取得最大值, h? x ? max =-2 ?a ? ?2 .………………………………………………14 分
可得 a ? ln x ?


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