2011届高三数学一轮复习教案:第三章第六节 三角函数的图像和性质(二)

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三角函数的图像和性质( 第 6 课 三角函数的图像和性质(二)
【考点导读】 1.理解三角函数 y = sin x , y = cos x , y = tan x 的性质,进一步学会研究形如函数 y = A sin(ω x + ? ) 的 性质; 2.在解题中体现化归的数学思想方法,利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究. 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域: (1) y = (2) y =

sin

x {x 6kπ ≤ x ≤ 6kπ + 3π , k ∈ Z } 的定义域是______________________________; 3

π 2.函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________.
π ) sin (x ? ) ? 2 的最小正周期是_______. 4 4 π ( ,0) π 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称. 3 3 π π ?1 ≤ ω < 0 5. 已知函数 y = tan ω x 在(- , )内是减函数,则 ω 的取值范围是______________. 2 2
3.函数 (x) sin (x + f =
2

π sin 2 x {x x ≠ kπ + , k ∈ Z } 的定义域是____________________. 2 cos x
π π

6.关于 x 的函数 f ( x ) = sin( x + φ ) 有以下命题: (1)对任意的 φ , f ( x ) 都是非奇非偶函数; (2)不存在 φ , 使 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数; (3)存在 φ , 使 f ( x ) 是奇函数; (4)对任意的 φ , f ( x ) 都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是 .因为当 φ = 时,该命题的结论不成立.

解析: ,kπ ( k ∈ Z) ; , + kπ ( k ∈ Z) ; , + kπ ( k ∈ Z) 等. (1) (1) (4) (两个空格全填对时才能得分. 其

π

π

2

2

中 k 也可以写成任何整数) 【范例解析】 例 1.求下列函数的定义域: (1) y =

sin x + 2sin x + 1 ; (2) y = 2 + log 1 x + tan x . tan x 2
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π π ? ? ? x ≠ kπ + 2 , ? x ≠ kπ + 2 , ? ? 解: (1) ? tan x ≠ 0, 即 ? x ≠ kπ , , ?2 sin x + 1 ≥ 0. ? π 7π ? ? 2 kπ ? ≤ x ≤ 2 k π + . 6 6 ? ?
故函数的定义域为 {x 2kπ ?

π
6

≤ x ≤ 2 kπ +

π 7π 且 x ≠ kπ , x ≠ kπ + , k ∈ Z } 2 6

?2 + log 1 x ≥ 0, ?0 < x ≤ 4, ? ? 2 (2) ? 即? π ? tan x ≥ 0. ? kπ ≤ x < kπ + 2 . ? ?
故函数的定义域为 (0,

π
2

) ∪ [π , 4] .

点评:由几个函数的和构成的函数,其定义域是每一个函数定义域的交集;第(2)问可用数轴取交集. 例 2.求下列函数的单调减区间: (1) y = sin(

π
3

? 2 x) ;

(2) y =

解: (1)因为 2kπ ? (2)由 sin( 又y=

π
2



π
3

2 cos x ; π x sin( ? ) 4 2

? 2 x ≤ 2 kπ +

π

2

,故原函数的单调减区间为 [ kπ ?

π
12

, kπ +

5π ](k ∈ Z ) . 12

π

x π ? ) ≠ 0 ,得 {x x ≠ 2kπ + , k ∈ Z } , 4 2 2

2 cos x x π = 4 sin( + ) , π x 2 4 sin( ? ) 4 2 π x π 3π π 5π 所以该函数递减区间为 2kπ + < + < 2kπ + ,即 (4kπ + , 4kπ + )(k ∈ Z ) . 2 2 4 2 2 2
点评:利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制. 例 3.求下列函数的最小正周期: (1) y = 5 tan(2 x + 1) ; (2) y = sin ? x +

? ?

π?

π? ? ? sin ? x + ? . 3? ? 2?
π π ,得 y = 5 tan(2 x + 1) 的周期 T = . 2 2

解: (1)由函数 y = 5 tan(2 x + 1) 的最小正周期为 (2) y = sin( x +

π

) sin( x + ) = (sin x cos + cos x sin ) cos x 3 2 3 3

π

π

π

1 3 1 3 1 + cos 2 x = sin x cos x + cos 2 x = sin 2 x + ? 2 2 4 2 2
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=

3 1 π + sin(2 x + ) 4 2 3

∴T = π .

(2)利用函 点评:求三角函数的周期一般有两种: (1)化为 A sin(ω x + ? ) 的形式特征,利用公式求解; 数图像特征求解. 例 4.已知函数 f ( x ) = cos 2 ? x +

? ?

1 π? ? , g ( x) = 1 + sin 2 x . 2 12 ?

(I)设 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) = f ( x) + g ( x) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x) =

1 π [1 + cos(2 x + )] . 2 6
π = kπ , 6

因为 x = x0 是函数 y = f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 + 即 2 x0 = kπ ?

π (k ∈Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) = 1 + sin 2 x0 = 1 + sin( kπ ? ) . 2 2 6

当 k 为偶数时, g ( x0 ) = 1 + 当 k 为奇数时, g ( x0 ) = 1 + (II) h( x) = f ( x) + g ( x) =

1 1 3 ? π? sin ? ? ? = 1 ? = , 2 ? 6? 4 4 1 π 1 5 sin = 1 + = . 2 6 4 4 1? π ?? 1 ? ?1 + cos ? 2 x + 6 ? ? + 1 + 2 sin 2 x 2? ? ??
? 3 1 1? 3 1 π? 3 ? cos2x + sin 2 x ? + = sin ? 2 x + ? + . ? ? 2 ? 2 2 ? 2? 2 3? 2 ?

=

1? ? π? ? 3 ?cos ? 2 x + 6 ? + sin 2 x ? + 2 = 2? ? ? ?

当 2kπ ?

π π π 5π π ≤ 2 x + ≤ 2kπ + ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ + ( k ∈ Z )时, 2 3 2 12 12 1 π? 3 5π π? ? ? . sin ? 2 x + ? + 是增函数,故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ? ,kπ + ? ( k ∈ Z ) 2 ? 3? 2 12 12 ? ?

函数 h( x ) =

点评:形如函数 A sin(ω x + ? ) 的对称轴一般过其最高点或最低点,即在其取到最值时. 【反馈演练】
4 2

π

1.函数 y = sin x + cos x 的最小正周期为 _____________. 2

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7π 5π [ , ] ,[ , ] π? ? 2.设函数 f ( x) = sin ? x + ? ( x ∈ R ) ,则 f ( x ) 在 [0, 2π ] 上的单调递减区间为___________________. 6 3 6 3 3? ? 2π 4.设函数 f ( x ) = sin 3 x + | sin 3 x | ,则 f ( x ) 的最小正周期为_______________. 3
3.函数 f ( x ) = sin x ? 3 cos x ( x ∈ [ ?π , 0]) 的单调递增区间是________________. 6

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π 2π

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[?

π

, 0]

[ ,π ] x 5.函数 f ( x ) = cos x ? 2 cos 在 [0, π ] 上的单调递增区间是_______________. 3 2
2 2

π

π 6.把函数 f(x)=-2tan(x+4)的图象向左平移 a(a>0)个单位得到函数 y=g(x)的图象,若函数 y=g(x)是奇函 π 数,则 a 的最小值为___________. 4 7.已知函数 f ( x ) = a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ≠ 0 , x ∈ R )在 x = 函数 y = f (

π

3π ? x) ,有下列结论: 4
②偶函数且它的图象关于点 (

4

处取得最小值,则对于

①偶函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称; ③奇函数且它的图象关于点 ( 其中,正确结论的序号有 8. 若 f ( x ) = a sin( x + ④

3π ,0) 对称; ④奇函数且它的图象关于点 (π ,0) 对称. 2
.

3π ,0) 对称; 2

π

只要填满足 a + b = 0 的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可). 9. 函数 f ( x ) = 3 sin( 2 x ? 的编号) . ①图象 C 关于直线 x = ②图象 C 关于点 (

) + b sin( x ? )(ab ≠ 0) 是偶函数, 则有序实数对( a, b )可以是 (-1, -1) .(注: 4 4

π

π

3

) 的图象为 C,如下结论中正确的是

①②③

(写出所有正确结论

11 π 对称; 12

2π ,0) 对称; 3 π 5π ③函数 f ( x )在区间(? , )内是增函数; 12 12
④由 y = 3 sin 2 x 的图象向右平移 解析:函数 f ( x ) = 3 sin( 2 x ? ①图象 C 关于直线 2 x ? ②图象 C 关于点 (

π
3

个单位长度可以得到图象 C.

π
3

) 的图象为 C,

π
3

= kπ +

π
2

对称,当 k=1 时,图象 C 关于 x =

11 π 对称;①正确; 12

kπ π 2π + , 0) 对称,当 k=1 时,恰好为关于点 ( ,0) 对称;②正确; 2 6 3 π 5π π π 5π π π ③x∈ (? , ) 时, 2 x ? ∈(- , ),∴ 函数 f (x ) 在区间 (? , ) 内是增函数;③正确; 12 12 3 2 2 12 12
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④由 y = 3 sin 2 x 的图象向右平移 所以应填①②③.

π
3

个单位长度可以得 y = 3sin(2 x ?

2π ), 得不到图象 C. ④不正确。 3

π? ? 1 + 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 10.已知函数 f ( x) = . π? ? sin ? x + ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若角 α 在第一象限且 cos α = 解: (Ⅰ) 由 sin ? x +

3 ,求 f (α ) . 5

? ?

π π π? ? ≠ 0 得 x ≠ ? + kπ ,即 x ≠ kπ ? (k ∈ Z) . 2 2 2? π 2

故 f ( x ) 的定义域为 ? x ∈ R | x ≠ kπ ? ,k ∈ Z ? .
2

? ?

? ?

4 ? 3? (Ⅱ)由已知条件得 sin α = 1 ? cos α = 1 ? ? ? = . 5 ?5?
2

π? ? 1 + 2 cos ? 2α ? ? 4? ? 从而 f (α ) = π? ? sin ? α + ? 2? ? π π? ? 1 + 2 ? cos 2α cos + sin 2α sin ? 4 4? ? = cos α

1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2 sin α cos α = = cos α cos α 14 . 5 x x π x π x π 11.已知向量 a = ( 2 cos , tan( + )), b = ( 2 sin( + ), tan( ? )), 令f ( x ) = a ? b .求函数 f(x)的最 2 2 4 2 4 2 4 = 2(cos α + sin α ) =
大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π]上的单调区间. 解: f ( x ) = a ? b = 2 2 cos

r r

x x π x π x π sin( + ) + tan( + ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4

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x x 1 + tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2? 2 = 2 2 cos ( sin + cos ) + x 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 + tan x 2 2 x x x = 2sin cos + 2 cos 2 ? 1 2 2 2 = sin x + cos x π = 2 sin( x + ) . 4 π π π 所以 f ( x)的最大值为 2 ,最小正周期为 2π, f ( x)在[0, ] 上单调递增, [ , ] 上单调递减. 4 4 2 π 12. 设函数 f ( x ) = sin( 2 x + ? ) ( ?π < ? < 0), y = f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 x = . 8 (Ⅰ)求 ? ;
(Ⅱ)求函数 y = f (x ) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y = f (x ) 在区间 [0, π ] 上的图像
3 2 1 1 2
新疆 王新敞
奎屯

y

o
1 2 -1 3 2

π 8

π 4

3π 8

π 2

5π 8

3π 4

7π 8

π

x

解: (Ⅰ)Q x =

π π
8

是函数y = f ( x ) 的图像的对称轴,∴ sin( 2 × , k ∈ Z. Q ?π < ? < 0, ? = ? 3π . 4

π
8

+ ? ) = ±1,



π
4

+ ? = kπ +

3π 3π ,因此y = sin( 2 x ? ). 4 4 π 3π π 由题意得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2 kπ + , k ∈ Z . 2 4 2 3π π 5π 所以函数 y = sin( 2 x ? )的单调增区间为[ kπ + , kπ + ], k ∈ Z . 4 8 8
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? = ?

2

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(Ⅲ)由 y = sin( 2 x ? x 0

3π )知 4

π
8
-1

3π 8
0

5π 8
1

7π 8
0

π
? 2 2

y

?

2 2

故函数 y = f ( x)在区间[0, π ]上图像是
3 2 1 1 2

y

o
1 2 -1 3 2

π 8

π 4

3π 8

π 2

5π 8

3π 4

7π 8

π

x

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