重庆一中2013-2014学年高二下学期期末考试 数学文 Word版含答案


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2014 年重庆一中高 2015 级高二下期期末考试 数 学 试 题 卷(文科)
满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.命题“对任意 x ? R ,总有 x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

A. “对任意 x ? R ,总有 x ? 1 ? 0 ”
2

B. “对任意 x ? R ,总有 x 2 ? 1 ? 0 ” D. “存在 x ? R ,使得 x 2 ? 1 ? 0 ”

C. “存在 x ? R ,使得 x 2 ? 1 ? 0 ”

2.请仔细观察,运用合情推理,写在下面括号里的数最可能的是 1,1,2,3,5, ( ) ,13 A.8 B.9 C.10 D.11 3.某高二年级有文科学生 500 人,理科学生 1500 人,为了解学生对数学的喜欢程度,现用分 层抽样的方法从该年级抽取一个容量为 60 的样本,则样本中文科生有( )人 A.10 B.15 C.20 D.25 4.下列关于不等式的说法正确的是

1 1 ? a b 1 1 C.若 0 ? a ? b ,则 ? a b sin x ? 3 cos x 5.已知 tan x ? 5 则 = sin x ? cos x
A 若 a ? b ,则 A.1 B.2 6.执行如下图所示的程序框图,则输出的 k ?

2 2 B.若 a ? b ,则 a ? b 2 2 D. .若 0 ? a ? b ,则 a ? b

C.3

D.4

输出 k 是 否 开始

结束

k ? 0 , s ?1

s ? 10

k ? k ?1

s ?s?2

A.4

B.5

C.6

D.7

?4 x ? y ? 5 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 7. 设实数 x , y 满足 ? ,目标函数 u ? y ? 2 x 的最大值为 x ? 0 ? ? ?y ? 0

A.1

B.3

C.5

D.7

8.(原创)六个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体,该几何体的正视图与俯视图如 下图所示,则其左视图不可能为

正视图 A. B. C.

俯视图 D.

9.(原创)设 Q 是曲线 T: xy ? 1( x ? 0) 上任意一点, l 是曲线 T 在点 Q 处的切线,且 l 交坐 标轴于 A,B 两点,则 ? OAB 的面积(O 为坐标原点) A. 为定值 2 B.最小值为 3 C.最大值为 4 有关 10. (原创)已知函数 f ( x ) ? ?

D. 与点 Q 的位置

? ? x2 ? 4 , ? ?2 ? x,

x ? [2, ??), 若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有且 x ? (??, 2),
B. k ? 1或k ? 0或k ? ?1 D. k ?

只有一个实根,则实数 k 的取值范围是 A. C. k ?

k ? 0或k ?1

2 3 或k ? 0或k ? ?1 3

2 3 2 3 或k ? 0或k ? ? 3 3

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相 应位置上.
2 11.已知集合 A ? {x x ? 2 x ? 15 ? 0} ,则 ?R A =

. .

12.复数 z 满足 zi ? 2i ? 1 ? 0 (其中 i 为虚数单位),则 z = 13. log 2 4 ? log 2

1 ? log 2

2

2?

. ( x?R ) 是 奇 函 数 , 则

14.

1? a ? 2x 设 a, b ? R , 若 函 数 f ( x) ? 1? b ? 2x
.

a ? b=

2 2 15. 已知圆 O:x ? y ? 4 ,直线 l : x ? y ? m ? 0 ,若圆 O 上恰好有两不同的点到直线 l 的

距离为 1,则实数 m 的取值范围是

.

三.解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.
16.(本小题 13 分(1)小问 6 分, (2)小问 7 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,且 f (1) ? 6, f (2) ? 10 (1)求实数 b, c 的值; (2)若函数 g ( x) ?

f ( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值并指出此时 x 的取值. x

17. (本小题 13 分(1)小问 7 分, (2)小问 6 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x cos( (1)求 f ( x) 的最大值; (2)若

3? ? x) ? 3(2 cos 2 x ? 1) 2

?
12

?x?

?
3

,且 f ( x) ?

1 ,求 cos 2 x 的值. 2

18 .(原创)(本小题 12 分(1)小问 6 分, (2)小问 7 分) 所有棱长均为 1 的四棱柱 ABCD ? A1 B1C1C1 如下图所示, ?DAB ? 60 , CC1 ? A1C1 .
?

(1)证明:平面 DBB 1 D1 ? 平面 AA 1C1C ; (2)当 ?DD1 B1 为多大时,四棱锥 C ? BB1 D1 D 的体积最大,并求出该最大值.

D C A B D1 A1 B1 C1

19.(原创) (本小题 12 分(1)小问 6 分, (2)小问 6 分) 某幼儿园小班的美术课上, 老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两 个大小不同的气球涂色, 要求一个气球只涂一种颜色, 两个气球分别涂不同的颜色. 该班的小朋友牛牛现可用的有暖色系水彩笔红色、 橙色各一支, 冷色系水彩笔绿色, 蓝色,紫色各一支. (1) 牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色,问 两个气球同为冷色的概率是多大? (2) 一般情况下,老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要 10 分钟.牛牛至 少需要 2 分钟完成该项任务.老师在发出开始指令 1 分钟后随时可能来到牛牛身边查看 涂色情况.问当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大? 20. (本小题 12 分(1)小问 5 分, (2)小问 7 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

m . x

(1)若 m ? 0 ,讨论 f ( x) 的单调性; (2)若对 ?x ? [1,??) ,总有 f ( x) ? 2 x ? 0 ,求实数 m 的取值范围.
2

21.(本小题 12 分(1)小问 5 分, (2)小问 7 分)

x2 y2 M 是椭圆 T: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点,F 是椭圆 T 的右焦点,A 为左顶点,B 为上 a b
顶点,O 为坐标原点,如下图所示,已知 MF 的最大值为 3 ? 5 ,最小值为 3 ? 5 . (1) 求椭圆 T 的标准方程; (2) 求 ?ABM 的面积的最大值 S 0 .若点 N ( x, y ) 满足 x ? Z , y ? Z , 称点 N 为格点.问椭圆 T 内 部是否存在格点 G,使得 ?ABG 的面积 S ? (6, S 0 ) ?若存在,求出 G 的坐标;若不存在, 请说明理由 .( 提示:点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 T 内部
y
B

x y ? 02 ? 02 ? 1 ). a b
A

2

2

O

F

x

M

命题人: 周波涛 审题人:张志华

2014 年重庆一中高 2015 级高二下期期末考试 数 学 答 案(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 B 7 B 8 D 9 A 10 C

二.填空题: 本大题共 5 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡相 应位置上. 11. [?3,5] 12. z ? 2 ? i 13. 5 14. 0 15.

( 2,3 2) ? (?3 2, ? 2)
三.解答题: 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.
16.解答: (1)由题有 ?

?1 ? b ? c ? 6
2 ?2 ? 2b ? c ? 10



????4 分

解之得 ?

?b ? 1 ?c ? 4
x2 ? x ? 4 4 ? x ? ?1 x x

????6 分

(2)由(1)知 g ( x) ?

????8 分

因为 x ? 0 ,则 x ?

4 4 ? 2 x? ? 4 x x

????10 分

(当且仅当 x ?

4 即 x ? 2 时取得等号) x

????12 分 ????13 分

故 g ( x) 的最小值的为 5,此时 x ? 2 17. 解答: f ( x) ? 2 cos x cos(

3? ? x) ? 3(2 cos 2 x ? 1) 2

? 2cos x sin x ? 3 cos 2x
? sin 2x ? 3 cos 2x
? 2sin(2 x ? ) 3 (1)因为 x ? R ,最大值为 2;
(2)因为 ????4 分 ????6 分 ????7 分

?

? ( ,? ) 12 3 3 2 1 ? 1 由 f ( x) ? 得 sin( 2 x ? ) ? , 2 3 4 ?x?
,故 2 x ? 则 cos(2 x ?

?

?

?

?

????8 分

?

? 15 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x ? ) ? ? 3 3 4
?
?

????10 分

cos 2 x ? cos(2 x ?


?

3 3 3 15 1 1 3 3 ? 15 ?? ? ? 4 2 4 2 8

) ? cos(2 x ?

?

) cos

?
3

? sin(2 x ?

?
3

) sin

?
3
????13 分

18 .解答:(1)由题知,棱柱的上下底面为菱形,则 A1C1 ? B1 D1 ①, 由棱柱性质可知 CC1 // BB1 ,又 CC1 ? A1C1 ,故 由①②得 A1C1 ? 平面 DBB1 D1 , 又 A1C1 ? 平面 AA1C1C ,故平面 DBB 1 D1 ? 平面 AA 1C1C (2)设 AC ? BD ? O ,
D O A B D1 A1 B1 C1 C

????2 分 ????4 分

A1C1 ? BB1 ②

???? 6 分

由(1)可知 AC ? 平面 DBB1 D1 , 故 VC ? DD1B1B ?

1 S DD1B1B CO 3

????8 分

? 菱形 ABCD 中 , 因 为 BC ? 1 , ?DAB ? 60 , 则

?CBO ? 60? ,且 BD ? 1

则在 ?CBO 中, CO ? BC sin 60 ?
?

3 2

????10 分

易知四边形 DBB1 D1 为边长为 1 的菱形, S DD1B1B ? D1 B1 ? DD1 sin ?DD1 B ? sin ?DD1 B 则当 ?DD1 B ? 90? 时( DD1 ? D1 B1 ) , S DD1B1B 最大,且其值为 1. 故所求体积最大值为 V ? ????12 分

1 3 3 ?1? ? 3 2 6

????13 分

19. 解答: (1)如下表格, 红色 橙色 绿色 蓝色 紫色 红色 0 1 1 1 1 橙色 1 0 1 1 1 绿色 1 1 0 2 2 蓝色 1 1 2 0 2 紫色 1 1 2 2 0 ????2 分 ????4 分 ????6 分

易知两个气球共 20 种涂色方案, 其中有 6 种全冷色方案, 故所求概率为

6 3 ? 20 10

(2)老师发出开始指令起计时,设牛牛完成任务的时刻为 x ,老师来到牛牛身边检查情况的 时刻为 y ,则由题有 ?

?2 ? x ? 10 ??式 1, ?1 ? y ? 10

?2 ? x ? 10 ? 若当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务,则 ?1 ? y ? 10 ??式 2, ?x ? y ?
如下图所示,所求概率为几何概率 1 0 1 0 2 10 阴影部分(式 2)面积为 10 分

1 ? (10 ? 2) ? (10 ? 2) ? 32 2

可行域(式 1)面积为 (10 ? 1) ? (10 ? 2) ? 72 所求概率为

32 4 ? 72 9

12 分

20. 解答: (1)由题 x ? 0

1 m x?m ? ? x x2 x2 因为 m ? 0 ,则 f ?( x) ?
当 x ? (0, m) , f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 (0, m) 上单调递减; 当 x ? (m,??) , f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 (m,??) 上单调递增. (2) f ( x) ? 2 x ? 0 ? ln x ?
2

????2 分

????5 分

m ? 2x 2 ? 0 , x
????7 分

3 注意到 x ? 0 ,上式 ? m ? 2 x ? x ln x

令 g ( x) ? 2 x 3 ? x ln x ,则 g ?( x) ? 6x 2 ? (ln x ? 1) ? 6x 2 ? ln x ? 1

g ??( x) ? 12x ?

1 12x 2 ? 1 ? x x

????9 分

当 x ? 1 时, g ??( x) ? 0 ,则 g ?( x ) 在区间 [1,??) 上递增,则 g ?( x) ? g ?(1) ? 6 ? 0 ? 1 ? 5 ? 0 , 则 g ( x) 在区间 [1,??) 上递增,则 g ( x) ? g (1) ? 2 , 故 m ? 2 ,即 m 的取值范围是 (??,2] . ????11 分 ????12 分

21. 解答: (1)由椭圆性质可知 MF ?

c a2 c ( ? x M ) ? a ? x M ,其中 c ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 , a c a

因为 x M ? [?a, a] ,故 MF ?[a ? c, a ? c] 则?

? ?a ? 3 ?a ? c ? 3 ? 5 ,解之得 ? ? ?c ? 5 ?a ? c ? 3 ? 5
2 2 2

????4 分

故b ? a ?c ? 4

椭圆 T 的方程为

x2 y2 ? ?1 9 4

????5 分

(2)由题知直线 AB 的方程为 y ?

2 2 x ? 2 ,设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 T 相切于 x 轴下方 3 3

的点 M 0 (如上图所示) ,则 ?ABM0 的面积为 ?ABM 的面积的最大值 S 0 .

2 ? y ? x?m ? 2 2 m m2 m2 2 m2 ? 3 ? x ? x ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? 4 ? ( ? 1) ? 0 ? m ? ?2 2 ? 2 2 3 4 9 9 4 ?x ? y ?1 9 ? 4 ?9
此时,直线 AB 与直线 l 距离为

2?2 2 4 1? 9

?

3(2 ? 2 2 ) 13

,而 AB ? 13

S0 ?

1 3(2 ? 2 2 ) ? 13 ? ? 3(1 ? 2 ) 2 13
13 13 12 3(1 ? 2 ) h ,令 6 ? h ? 3(1 ? 2 ) ,则 ?h? 2 2 13 13

????8 分

而S ?

设直线 l1 : y ?

n?2 2 12 12 x ? n 到直线 AB 的距离为 ,则有 ,解得 n ? ?2或6 , ? 3 13 4 13 1? 9

注意到 l1 与直线 AB 平行且 l1 需与椭圆 T 应有公共点,易知只需考虑 n ? ?2 的情形. 直线 y ?

2 x ? 2 经过椭圆 T 的下顶点 B0 (0,?2) 与右顶点 A0 , 3
????10 分

则线段 A0 B0 上任意一点 G0 与 A、B 组成的三角形的面积为 6.

根据题意若存在满足题意的格点 G,则 G 必在直线 A0 B0 与 l 之间.而在椭圆内部位于四象限的 格点为 (1,?1), (2,?1) 因为 ? 1 ? 而 ?1 ?

2 ? 1 ? 2 ,故 (1,?1)在直线 A0 B0 上方,不符题意 3

2 2 2 (?1) 2 25 ? 2 ? 2 ,则点 (2,?1) 在直线 A0 B0 下方,且 ? ? ? 1 ,点在椭圆内部, 3 9 4 36
????12 分

故而 (2,?1) 为所求格点 G.

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