线性代数期末考试试卷+答案

一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分,共 10 分) 1 ?3 1 5 x ? 0 ,则 ? ? __________。 1. 若 0 ?1 2 ? 2 ??x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? 2.若齐次线性方程组 ? x1 ? ?x 2 ? x3 ? 0 只有零解,则 ? 应满足 ?x ? x ? x ? 0 2 3 ? 1 3.已知矩阵 A,B,C ? (cij ) s?n ,满足 AC ? CB ,则 A 与 B 分别是 。 阶矩阵。 ? a11 ? 4.矩阵 A ? ? a 21 ?a ? 31 a12 ? ? a 22 ? 的行向量组线性 a 32 ? ? 2 ?1 。 5. n 阶方阵 A 满足 A ? 3 A ? E ? 0 ,则 A ? 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√” ,错误的在括号内填“×” 。每小题 2 分,共 10 分) 1. 若行列式 D 中每个元素都大于零,则 D? 0 。 ( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。 ( ) 3. 向量组 a1,a2, ?,am 中,如果 a1 与 am 对应的分量成比例,则向量组 a1,a2, ?,as 线性相关。 ( ) ?0 ?1 4. A ? ? ?0 ? ?0 1 0 0 0 0 0 0 1 0? 0? ? ,则 A?1 ? A 。 ( 1? ? 0? ?1 ) 5. 若 ? 为可逆矩阵 A 的特征值,则 A 的特征值为 ? 。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题 2 分,共 10 分) T 1. 设 A 为 n 阶矩阵,且 A ? 2 ,则 A A ? ( ) 。 ④ 4 ) 。 ① 2 n ② 2 n ?1 ③ 2 n ?1 2. n 维向量组 ① ② ③ ④ ?1,? 2, ?,? s (3 ? s ? n)线性无关的充要条件是( ?1,? 2, ?,? s 中任意两个向量都线性无关 ?1,? 2, ?,? s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ?1,? 2, ?,? s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ?1,? 2, ?,? s 中不含零向量 )。 共 3 页第 1 页 3. 下列命题中正确的是( ① 任意 n 个 n ? 1 维向量线性相关 ② 任意 n 个 n ? 1 维向量线性无关 ③ 任意 n ? 1 个 n 维向量线性相关 ④ 任意 n ? 1 个 n 维向量线性无关 4. 设 A , B 均为 n 阶方阵,下面结论正确的是( ① 若 A , B 均可逆,则 A ? B 可逆 ③ 若 A ? B 可逆,则 A ? B 可逆 )。 ② 若 A , B 均可逆,则 A B 可逆 ④ 若 A ? B 可逆,则 A , B 均可逆 ) 5. 若?1, ? 2, ? 3, ? 4 是线性方程组 A? ? 0 的基础解系,则?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 是 A? ? 0 的( ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题 9 分,共 63 分) 1. 计算行列式 x?a b a x?b a a b b c c d d x?c d c x?d 。 ?3 0 1? ? ? 2. 设 AB ? A ? 2 B ,且 A ? ? 1 1 0 ?, ?0 1 4? ? ? 求B 。 ?1 ?1 0 0 ? ?0 1 ?1 0 ? ?, 3. 设 B ? ? ? 0 0 1 ? 1? ?0 0 0 1 ? ? ? ?2 ?0 C ?? ?0 ?0 ? 1 2 0 0 3 1 2 0 4? 3? ? 且矩阵 ? 满足关系式 X (C ? B)' ? E, 求 ? 。 1? 2? ? ? 1? ? ? ? 1? ?? 2 ? ? a ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1? 1? ? ? ,? ? a ? ,?3 ? ? 。 4. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? ?1 ? ? ? 2? ? 2? 2 ? ? ? 1 ? ? ? 1? a ? ?? ? ? ?? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ??x1 ? x 2 ? x3 ? ? ? 3 ? 5. ? 为何值时,线性方程组 ? x1 ? ?x 2 ? x3 ? ?2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方程组有无穷多 ? x ? x ? ?x ? ?2 2 3 ? 1 解时求其通解。 共 3 页第 2 页 ?1? ? 2 ? ? 1 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 9 ? ? 0 ? ? 10 ? 6. 设 ? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? 并将其余向 , ? 3 ? ? ?, ? 4 ? ? ?. 求此向量组的秩和一个极大无关组, ? 1 ?1 ?3 ?7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? 3? ? ? 1? ?? 7? ? ? ? ? ? ? ? ? 量用该极大无关组线性表示。 ?1 0 0? ? ? 7. 设 A ? ? 0 1 0 ? ,求 A 的特征值及对应的特征向量。 ?0 2 1? ? ? 五、证明题 (7 分) 若 A 是 n 阶方阵,且 AA ? I, A ? ?1 ,证明 A ? I ? 0 。其中 I 为单位矩阵。 ? 一、填空题 共 3 页第 3 页 1. 5. 1. 1. 1. 5 2. ? ? 1 3. s ? s , n ? n 4. 相关 A ? 3E × ③ 2. √ 2. ③ 3. 3. √ ③ 4. 4. √ ② 5. 5. × ① 二、判断正误 三、单项选择题 四、计算题 x?a a a a b x?b b b c c x?c c 1 d d d x?d b b b 1 x?b 1 1 ? x?a?b?c?d x?a?b?c

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