12-13(2)答案概率统计期中测验卷

《概率论与数理统计》2012-2013(2)期中考试卷
题号 得分
一、 填空题(本题共 6 空格,每空格 2 分,共 12 分) 1. 以 A 、 B 、 C 的 运 算 及 关 系 来 表 示 事 件







总分

{A、B、C不多于1个发生}表示为

ABC ? ABC ? ABC ? ABC



2. 设事件 A,B 相互独立,A,C 互不相容,且 P ( A) =

1 1 1 , P( B) = , P(C ) = , 2 3 4

P( B C ) =

1 , 则概率 P(C A ? B ) ? 8

61 64

. (提示: P(C A ? B) ? 1 ? P(C A ? B) )

3. 三人独立的破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 1/5、1/4、1/3,此密码能被 译出的概率是=____0.6_____________. 4 .设随机变量 ? 服从 [0, 5] 上的均匀分布,方程 4 x 2 ? 4?x ? ? ? 2 ? 0 有实根的概率 =__3/5__ 5. 设 随 机 变 量 X 服 从 泊 松 分 布 , 且 P( X ? 1) ? P( X ? 0) , 则 P( X ? 2) =

1 ?1 e 2


Y 服从 [1,3] 上的

6.随机变量 X 与 Y 相互独立 , X 服从参数为 1/2 的指数分布 , 均匀分布,则概率值 P{ X ? Y ? 3} ? ________

3 1 ?4 ? e ____________。 4 4

二 、选择题(本题共 6 题,每题 5 分,共 30 分) 1.袋中有 3 个白球 2 个红球,从中无放回地取 3 次,每次取 1 个球,则恰有两次取得白球 的概率为( C ) A

3 3 2 ? ? 5 5 5
1 C32C2 3 C5

B

3 3 2 3? ? ? 5 5 5
1 3C32C3 3 C5

C

D

2.设 A 和 B 任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( A C

D



P( AB) ? P( A) P( B) P( AB) ? P( A) ? P( B)

B D

A与B相容
P( A ? B) ? P( A)

-1-

] 的均匀分布,,则 3. 设 随 机 变 量 X 与Y 相 互 独 立 , 且 均 服 从 区 间 [ 0 , 3上 P{ m a xX { Y, ? } ? 1} (
B )

A.

5 9

B.

1 9
1 , 3 2 , 9

C.

4 7

D.

4 9

? ? ? 4.随机变量 ? 的概率密度为 f ( x) ? ? ? ? ?
a =( A.
C ).

x ? [1 , 2] x ? [5 , 8] ,若 P{? ? a} ?
其它

2 ,则 3

0,

4.2

B.

5.4

C.

6.5

D.

7.6

5. 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 Y X

0 0 1 0.4 b

1 a 0.1

则 P( X ? Y ? 1) =____0.9___________.
A.

0.2

B.

0.9

C.

0.5

D.

0.6

6.已知二维随机变量 (? ,? ) 在三角形区域 0 ? x ? 1 , 0 ? y ? x 上服从均匀分
布, 则其条件概率密度函数 f ? ? ( x | y) 是 ( D ).

?1? y , A . 0 ? y ? 1 时 , f? |? ( x | y) ? ? ? 0,
? 1 , ? B . 0 ? y ? 1 时 , f? |? ( x | y ) ? ?1? y ? ? 0,

y ? x ?1
其它

0 ? x ?1
其它

?1? y , C . 0 ? y ? 1 时 , f? |? ( x | y) ? ? ? 0,

0 ? x ?1
其它

-2-

? 1 , ? D . 0 ? y ? 1 时 , f? |? ( x | y ) ? ?1? y ? ? 0,
三、计算应用题(本大题共 5 题,共 58 分)

y ? x ?1
其它

1.已知 P( A) ? 0.3, P( B) ? 0.1, 且 P( B | A) ? 0.6, 求 P( A ? B) 的值.( 8 分 ) 解:由概率乘法公式得 P( AB) ? P( A) P( B | A) ? 0.3 ? 0.6 ? 0.18,

(4 分)

? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.3 ? 0.1 ? 0.18 ? 0.22

(4 分)

2. 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取 一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是多少?(10 分) 解:设 A1 为第 1 人取得黄球, A2 为第 2 人取得黄球, 则由全概率公式,有 2’

P( A2 ) ? P( A1 )P( A2 | A1 ) ? P( A1 )P( A2 | A1 )
? 20 19 30 20 ? ? ? 50 49 50 49 2 ? 5

3’ 3’ 2’

? Ax(1 ? x), 0 ? x ? 1 3. 设随机变量 X 的密度函数为 f ( x) ? ? 。 0, 其它 ?
求:(1)常数 A ;(2) X 的分布函数; (3) P(0 ? X ? 1 / 2) (13 分)
1 1 解:(1) 由密度函数的规范性知 1 ? ? Ax (1 ? x)dx ? A , 故A ? 6 0 6

(3 分)

(2) F ( x) ? ?

x

??

? 0, x ? 0 ? x ? f ( x)dx ? ?? 6u (1 ? u )du ? 3x 2 ? 2 x 3 ,0 ? x ? 1 0 ? 1 6u (1 ? u )du ? 1, x ?1 ? ? 0 ?

(2, 3, 2 分)

(3) P(0 ? X ? 1 / 2) ? F (1 / 2) ? F (0) ? 1 / 2
4.设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x ) ? ? 度。 (12 分) 解:先由分布函数法求出 Y 的分布函数,再求导可得到 f Y ( y)

(3 分)

?e ? x , x ? 0 , 求随机变量 Y 0 , x ? 0 ?

? eX

的概率密

-3-

由于 x ? 0时,y ? e x ? 1 当 y ? 1 时,

1’

FY (y ) ? P(Y ? y )
? P( eX ? y) ? P ( X ? l n y ) ? X F ( l ny )
? 则 fY (y ) ? [FY (y )]
? [FX (ln y )]? ? fX (ln y ) ? y
?1 ? , y ?1 综上 f Y ( y ) ? ? y 2 。 ? ? 0, y ? 1

2’ 2’ 2’

1

y

?

1

y2

2’

1’

5. 设二维随机变量 ( X , Y ) 服从区域 D ? {( x, y ) 0 ? x ? 1, y ? x} 上的均匀分布。 (15 分) (1) 求随机变量 X 的概率密度函数; (2) 求条件概率密度函数 f Y
X

( y x) ;

(3) 求随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度函数。 解: (1)由题意知 ( X , Y ) 服从区域 D 上的均匀分布,可得 ( X , Y ) 的概率密度函数为

?0, ( x, y) ? D f ( x, y) ? ? ?1, ( x, y) ? D
(2)故 X 的概率密度函数为:

(3 分)

0 ? ? 0, ? f X ( x) ? ? x ?? f ( x, y )dy ?2 x, ? ??? x
当 x ? (0,1)时,

x ? [0,1] x ? [0,1]

(3 分)

f Y X ( y x) ?

f ( x, y) 1 ? , y ? x. f X ( x) 2 x

(4 分)

(3) f Z ( z ) ?

?

?

??

0, z ? 0 ? ? 1 f ( x, z ? x)dx ? ?? dx ? 1 ? z / 2, z ? [0,2) z/2 ? 0, z ? 2 ?

(5 分)

-4-


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