正弦定理余弦定理的应用举例.ppt_图文

1.2.1 应用举例 基本概念和公式. 例1海上有A、B两个小岛相距10海里,从 A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望 C岛和A岛成75°的视角,那么B岛和C岛 间的距离是 。 解:应用正弦定理,C=45 ° C BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45°A 60° 75° 答: 5 6 海里 B 解三角形的应用. 例2、我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里B处, 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/ 时的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰,则需 要的速度大小为 。 C 分析:2小时敌舰航行距离AC=20, 由AB=12,∠BAC=120°, 余弦定理可解我舰航行距离 BC。 10 ° A 50 ° B 南 基础知识复习 1、正弦定理 a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径) 2、余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C 解斜三角形应用题的一般步骤是: 1、分析:理解题意,画出示意图 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这 些三角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而 得出实际问题的解。 实际问题→数学问题(三角形) →数学问题的解(解三角形)→实际问题的解 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用: (1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度. 解斜三角形中的有关名词、术语: – (1)坡度:斜面与地平面所成的角度。 – (2)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下 方的角叫俯角。 – (3)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向 的夹角。 – (4)视角:由物体两端射出的两条光线在眼球 内交叉而成的角 解三角形的应用---实地测量举例 想一想: 如何测定河两岸两点A、 B间的距离? B A 解三角形的应用---实地测量举例 想一想: 如何测定河两岸两点A、 B间的距离? A β B α C 解三角形的应用---实地测量举例 想一想: 如何测定河两岸两点A、 B间的距离? A α β a B C 简解:由正弦定理可 得 AB/sinα=BC/sinA =a/sin(α+β) A β B αa C 解三角形的应用---实地测量举例 例3、 如何测定河对岸两点A、B 间的距离?如图在河这边取一点, 构造三角形ABC,能否求出AB?为 什么?? B A C 分析:在四边形ABCD中欲求AB长,只能去解三 角形,与AB联系的三角形有△ABC和△ABD,利 用其一可求AB。 略解:Rt △ACD中,AD=1/cos30o △BCD中,1/sin45=BD/sin60,可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。( AB ? 0.913) B A D ∠ACD=90o,∠BCD=60o, ∠BDC=75o,∠ADC=30o, C 分析:在四边形ABCD中欲求AB长,只能去解三 角形,与AB联系的三角形有△ABC和△ABD,利 用其一可求AB。 略解:Rt △ACD中,AD=1/cos30o △BCD中,1/sin45=BD/sin60,可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。( AB ? 0.913) B A D ∠ACD=90o,∠BCD=60o, ∠BDC=75o,∠ADC=30o, C 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用: (1)测量距离. 例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是100m,∠BAC=45o, ∠ACB =75o,求A、B两点间的距离. 分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形 AB = AC sin C sin B 解:根据正弦定理,得 AB ? AC sin ?ACB sin ?ABC AB ? AC sin ?ACB ? 100sin ?ACB sin ?ABC sin ?ABC ? 100sin 75 ? 100sin 75 ? 150 2 ? 50 6 (m) sin(180 ? 45 ? 75 ) sin 60 3 答:A,B两点间的距离为150 2 ? 50 6 米。 3 变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东 300 , 灯 塔B在观察站C南偏东 600 ,则A、B之间的距 离为多少? 例2.A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计 一种测量两点间的距离的方法。 分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在 ADC和 BDC?中,应用? 正弦定理得 a sin?(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? sin ??180 ? (? ? ? ? ? )?? sin(? ? ? ? ? ) BC ? a sin ? ? a sin ? sin ??180 ? (? ? ? ? ? )?? sin(? ? ? ? ? ) 计算出AC和BC后,再在?ABC中,应用余弦定理计 算出AB两点间的距离 AB ? AC2 ? BC2 ? 2AC ? BC cos? 变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两 点,测得? BCA= 60,?

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