贵州省铜仁市2018届高三数学上学期第二次月考试题理201711100141

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2017-2018 学年度高三年级第二次月考

理科数学试卷
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
? ? ? ? 1.集合 M ? x x2 ? 2x ? 3 ,集合 N ? x x2 ? 6x ? 8 ? 0 ,则 M ? N ?

A. ??1,2?

B. ? ?1, 3?

C. ?2,3?

D. ?3, 4?

2. 复数 5 的共轭复数是 1? 2i

A. 1? 2i

B. 1? 2i

C. ?1? 2i

D. ?1? 2i

3.下列命题正确的个数是

①.“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题;

②.命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件;

③.“ ?x?R, x3 ? x2 ?1? 0 ”的否定是“ $x ? R, x3 x2 + 1> 0 ”;

④.“若 a ? b,则2a ? 2b ?1”的否命题为“若 a ≤ b ,则 2a ≤ 2b ?1”;

A.1

B.2

C.3

D.4

4. 已知 tan(? ??) ? ?2 ,则

1

?

cos 2? ? cos2 ?

A.-3

B. 2 5

C.3

D. ? 5

2

5.在等差数列?an? 中,若 a3 ? a11 ? 18 , S3 ? ?3 ,那么 a5 等于( )

A.4

B.5

C.9

D.18

6. 下列各式正确的是

A. a b ? a b

? ? B.

ab

2

2

?a

2
b

C.若 a b ? a c 则 b ? c

? ? D.若 a ? b ? c 则 a b ? a c

7. 设 a 为实数,函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? (a ? 3)x 的导函数为 f ?(x) ,且 f ?(x) 是偶函数,则

曲线 y ? f (x) 在点 (2 , f (2)) 处的切线方程为

A. 9x ? y ?16 ? 0

B. 9x ? y ?18 ? 0

1

C. 9x ? y ?18 ? 0

D. 9x ? y ?18 ? 0

8. 已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 2 的等差数列,则△ABC 的面积



A. 15 3 4

B. 15 3 2

C.30 3

D.15 3

9.若圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3OD , E、F 为另一直径的两个端点,

则 DE ? DF ? A. ?6

B. ?2

C. ?8

D. ?5

10.

已知幂函数 y

?

f (x) 过点 ?4, 2? ,令 an

?

f

(n ?1) ?

f

(n)



n

?

N

*

,记数列

? ? ?

1 an

? ? ?



前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? 8 时, n 的值是

A.63

B.64

C.80

D.81

11. 已知函数 f ( x) ? sin2 ? x? 3 si?n x? co?s , x ? ? R又, f (? ) ? 0,  f (? ) ? 1 . 若

? ? ? 的最小值为 3? ,则正数? 的值为 4

A. 2 9

B. 1 3

C. 4 9

12. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象为一条连续不断的曲线,且

D. 9 8

f (1? x) ? f (1? x) , f ?1? ? a ,

且当 0 < x < 1 时, f (x) 的导函数 f ?(x) 满足: f ?(x) ? f (x) ,则 f (x) 在[2017,2018] 上

的最大值为 A.a

B.0

C. ?a

D.2018a

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已 知 向 量 a = ( 3 ,1 ), b = ( 0, ?1 ), c = ( k, 3 ) . 若 a ? 2b 与 c 共 线 , 则

k=_____________.
14.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a,b,c .若 sin B ? 2sin C, a2 ? b2 ? 3 bc ,则 2

角 A 等于

.

2

15. 已知 Sn 是等差数列?an? 的前 n 项和,且 S6 ? S7 ? S5 ,给出下列五个命题:

? ? ① d ? 0 ;② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 Sn 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 .

其中正确命题的是



16. 已知 f (x) ? sin x ? cos x ? 1 sin 2x ,若 ?t ? R, x ? R , 2a ? 3 ? f (x) ? a sin t 恒成

4

4

立,则实数 a 的取值范围是________________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分)

己知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如图所示. 2
(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)若

f

(? 2

)

?

4 5

,0

?

?

?

? 3

,求 cos

????

?

? 3

? ??

的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 2 ? 9a2a6 .
(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

?

log

3

an

,求数列{ 1 bn

}

的前

n

项和.

19.(本小题满分 12 分)

设 m ? ( 3 sin x , cos2 x ? 1) ,n ? (cos x ,1) ,f (x) ? m ? n ,?ABC 的三个内角 A, B,C

2 22

2

的对边分别为 a, b, c .

3

(1)求 f (x) 的单调递增区间; (2)若 f ( A) ? 1, a ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值.

20.(本小题满分 12 分)

已知数列 {an } 的首项

a1

?

2 3

, an?1

?

2an , an ?1

n

?

1, 2,3,......

.

(1)证明:数列{ 1 ?1}是等比数列; an

(2)求数列

{

n an

}

的前

n

项和

S

n



21. (本小题满分 12 分)
设函数 f (x) = ln x - kx + 1

(1)研究函数 f (x) 的极值点;

(2)当 k>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f (x) ? 0 ,求 k 的取值范围;

(3)证明: ln 22 22

? ln 32 32

? ? ? ln n2 n2

?

2n2 ? n ?1 (n ? N, n ? 2). 2(n ? 1)

请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系

xoy

中,曲线

C1

的参数方程为

?? ? ??

x y

? ?

2 cos? sin?

(α

为参数),以原点 O 为极点,

x

轴的正半轴为级轴,建立极坐标系,曲线

C2 的极坐标方程

?

sin

????

?

? 4

? ??

?

3

2;

(1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程;

4

(2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到曲线 C2 上的距离的最小值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f (x) ? 2x ? 1, x ? R ,

(1)解不等式 f (x) ? x ?1

(2)若对于 x, y ? R ,有 x ? y ?1 ? 1 , 2 y ?1 ? 1 ,求证: f (x) ? 1.

3

6

一、选择题 题号 1 答案 D
二.填空题
13. 1
三.解答题 17. 【解析】

铜仁一中 2018 届高三第二次月考数学(理科)参考答案

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDDBDAADCAB

14. 2? (或写120? ) 3

15. ①②

? 16. ?? 2 ?1, ??



cos

????

?

? 3

? ??

?

cos

???????

?

? 6

? ??

?

? 6

? ??

?

3

3?4 10

18. 解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a32 ? 9a2a6

得 a33

? 9a42

所以 q2

?

1 9



5

由条件可知 c>0,故 q ? 1 . 3



2a1

? 3a2

? 1得 2a1

? 3a2q

? 1 ,所以 a1

?

1 3



故数列{an}的通项式为

an=

1 3n



(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an ? ?(1? 2 ? ... ? n) ? ? n(n ?1) 2

故 1 ? ? 2 ? ?2(1 ? 1 )

bn n(n ?1)

n n?1

1 ? 1 ? ... ? 1 ? ?2((1? 1) ? (1 ? 1) ? ...? (1 ? 1 )) ? ? 2n

b1 b2

bn

2 23

n n ?1 n ?1

所以数列{ 1 } 的前 n 项和为 ? 2n

bn

n ?1

19.解.(1) f (x) ? m ? n ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1

22

22

? 3 sin x ? cos x ?1 ? 1

2

22

? 3 sin x ? 1 cos x ? sin(x ? ? )

2

2

6

由 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? ? ,得 2k? ? 2? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ,

2

6

2

3

3

∴ f (x) 的单调递增区间为[2k? ? 2? , 2k? ? ? ] k ? Z .

3

3

(2)∵ f ( A) ? 1,∴ sin( A ? ? ) ? 1, 6

∵ A? ?

?

? (

, 7? ) ,∴ A ? ?

?

?

,∴ A ? ?



6 66

62

3

∴ 0 ? B ? 2? . 3

由 a ? b ? c 得: 3 ? b ? c ,

sin A sin B sin C

3 sin B sin C

2

b ? 2sin B , c ? 2sin C ,

∴a?b?c ?

3

?

2 sin

B

?

2

sin

? ??

? 3

?

B

? ??

?

2

3

sin

? ??

B

?

? 6

? ??

?

3

,

B

?

(0,

2? 3

)

6

∴ ?ABC 周长的最大值是 3 3 .

20.解:(Ⅰ)∵ an?1

?

2an an ?1



? 1 ? an ?1 ? 1 ? 1 ? 1 , an?1 2an 2 2 an

?

1 ?1 ? 1 ( 1 ?1) ,

an?1

2 an

?



a1

?

2 3

,?

1 a1

?1

?

1 2



? 数列{ 1 ?1}是以为 1 首项, 1 为公比的等比数列.……… 6 分

an

2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 an?1

?1 ?

11 2 ? 2n?1

?

1 2n

,即

1 an

?

1 2n

?1,

?

n an

?

n 2n

?n.



Tn

?

1 2

?

2 22

?

3 23

?

…?

n 2n







1 2 Tn

?

1 22

?

2 23

?

…?

n? 2n

1

?

n 2n?1

,②

由① ? ②得

1 2 Tn

?

1 2

?

1 22

?

…?

1 2n

?

n 2n?1

?

1 2

(1

?

1 2n

1? 1

)

?

n 2n?1

?1?

1 2n

?

n 2n?1



2

?

Tn

?

2?

1 2n?1

?

n 2n



又1? 2 ? 3? … ?n ? n(n ?1) . 2

? 12 分

数列{ n } 的前 n 项和 an

Sn

?

2

?

2?n 2n

?

n(n ?1) 2

?

n2

?n 2

?

4

?

n?2 2n

………

21. 解:(I) f (x) ? ln x ? kx ?1,? f (x)的定义域为(0, ??) ,…1 分

f ?(x) ? 1 ? k ? 1? kx …………2 分

x

x

当 k ? 0时,f ?(x) ? 0, f (x)在(0, ??) 上无极值点 …………3 分

当 k>0 时,令 f ?(x) ? 0,?x ? 1 ?(0,??), f ?(x)、f (x)随x 的变化情况如下表: k

7

x

(0, 1 )

1

(1 ,+ ? )

k

k

k

f '(x)

+

0



f (x)



极大值



从上表可以看出:当 k>0 时, f (x) 有唯一的极大值点 x ? 1 ………………5 分
k
(Ⅱ)当 k>0 时在 x ? 1 处取得极大值也是最大值,要使 f (x) ? 0 恒成立,
k
只需 f ( 1 ) ? ln 1 ? 0 ,…6 分 kk
∴ k ?1 ,即 k 的取值范围为[1,+∞ ) …………………7 分

(Ⅲ)令 k=1,由(Ⅱ)知, ln x ? x ?1 ? 0,?ln x ? x ?1,? n ? N, n ? 2 …………8



∴ ln n2

?

n2

? 1 ,∴

ln n2 n2

?

n2 ?1 n2 ?1?

1 n2



…………9 分

ln 22 ln 32

??

22

32

ln n2

1

1

? ? (1? ) ? (1? ) ?

n2

22

32

1 ? (1? )
n2

? (n ?1) ? ( 1 22

?1 32

?

? 1 ) …10 分 n2

? (n ?1) ? ( 1 ? 1 ? ? 1 ) …11 分

2?3 3?4

n(n ? 1)

? (n ?1) ? (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 )

2334

n n ?1

? (n ?1) ? (1 ? 1 ) ? 2n2 ? n ?1 ,∴结论成立 2 n ?1 2(n ?1)

… 12



22.

解:(Ⅰ)由曲线

C1:

?? ?

x

?? y

? 2 cos? ? sin?

(α

为参数),曲线

C1 的普通方程为:



由曲线 C2:ρ sin(π + )=3 ,展开可得:

(sinθ +cosθ )=3 ,

化为:x+y=6.即:曲线 B 的直角坐标方程为:x+y=8.…(5 分)

(Ⅱ)椭圆上的点

到直线 O 的距离为

8

d?

2 cos? ? sin? ? 6 ?

3 sin ?? ? ? ? ? 6 其中 tan? ? 2

2

2

∴当 sin(α +φ )=1 时,P 的最小值为 3

2?

6 .…(10 分) 2

23.解:(1)不等式 f(x)<x+1,等价于|2x﹣1|<x+1,即﹣x﹣1<2x﹣1<x+1,

求得 0<x<2,故不等式 f(x)<x+1 的解集为(0,2).

(2)∵



∴f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2? + <1.

9


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