成才之路·人教B版数学·必修5 1-1-3

第1章

解三角形

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1.1 正弦定理和余弦定理

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余弦定理

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1.余弦定理 (1)语言叙述: 三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和 减 去 这两边与它们夹角的余弦 的积的 两倍. (2)公式表达
2 2 b + c -2bccosA ; a=
2
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2 2 b2= a +c -2accosB ;

2 2 a + b -2abcosC . c=
2

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(3)变形
2 2 2 b + c - a cosA= ; 2bc

cosB= a +c -b 2ac

2

2

2



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a2+b2-c2 cosC= . 2ab

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2.余弦定理及其变形的应用 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问 题,一类是已知两边及其 夹角 解三角形,另一类是已 知 三边 解三角形.
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重点: 余弦定理的证明及其应用. 难点:处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦 定理. 1.理解余弦定理: (1)余弦定理是勾股定理的推广.余弦定理的每一个 等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边 和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量.
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在应用中,如果出现 a2+ b2= c2,则为 Rt△;若出 现 a2+ b2<c2 则为钝角三角形;但若出现 a2+b2>c2,不 能因此断定为锐角三角形,只能说明角 C 为锐角.即: C 为锐角? a2+ b2>c2;C 为直角? a2+ b2=c2;C 为 钝角? a2+ b2<c2.
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(2)可以用方程的思想来看余弦定理,例如b2=a2+c2 -2accosB,我们可以将其看作以a为未知数的一元二次方

程a2-2accosB+c2-b2=0.这样一元二次方程的有关知识
均可使用,使余弦定理的应用更广泛,更灵活.

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(3) 余弦定理的特例主要是指某一内角取特殊值时 的特殊形式.下面的特例在一些与三角形有关的问题 中,经常用到. ① C= 90° ? c2= a2+b2; ② C= 60° ? c2= a2+b2- ab; ③ C= 120° ? c2=a2+ b2+ ab; ④ C= 30° ? c2= a2+b2- 3ab; ⑤ C= 45° ? c2= a2+b2- 2ab.
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这些关系式启示我们,在有关解三角形问题中,条件

式中若出现三边平方及其中两边之积形式时,可首先考虑
能否表达为第三边对角的余弦. (4)把余弦定理中的任意两个公式相加,可得三角形的 射影定理,即 a = bcosC + ccosB , b = acosC + ccosA , c = acosB +
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bcosA.

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如图, AD 是△ ABC 的边 BC 上的高,则有:

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BC= BD+CD = AB· cosB+ AC· cosC 即: a=bcosC+ ccosB. 注意:直角三角形的射影定理:Rt△ ABC 中, AD 是斜边 BC 上的高,则有: AD2= BD· DC; AB2 = BD· BC;
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AC2= CD· BC.

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2.关于余弦定理的证明: 教材利用三角方法给出证明,另外还可用坐标法或向

量法给出证明.

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(1)用坐标法证明: 以 C 为原点, CB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐 标系
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则点 B 坐标为(a,0),点 A 坐标为(bcosC, bsinC). 根据两点间距离公式: AB= ? bcosC- a?2+? bsinC- 0?2 ∴ c2= b2cos2C- 2abcosC+a2+ b2sin2C 即: c2= a2+ b2-2abcosC. 同 理 可 证 a2 = b2 + c2 - 2bccosA , b2 = a2 + c2 - 2accosB.
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(2)用向量法证明: 如图所示,在△ ABC 中,AB、BC、 CA 的长分别 为 c、 a、 b.
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→ → → 因为AC=AB+ BC, → → → → → → 所以AC· AC= (AB+BC)· (AB+BC) →2 → → →2 =AB + 2AB· BC+BC →2 → → →2 =AB + 2|AB|· |BC|cos(180° - B)+BC = c2- 2accosB+ a2. 即 b2= a2+ c2- 2accosB.
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同理可证 a2= b2+ c2-2bccosA, c2= a2+ b2-2abcosC.
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已知两边及其夹角,解三角形
[例 1] 在△ ABC 中, 已知 a=2, b= 2 2, C= 15° , 解此三角形. [分析] 由条件知本题是已知两边及其夹角解三角
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形问题,故可用余弦定理求出边 c,然后结合正弦定理 求角 A.

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[解析]

cos15° = cos(45° - 30° ) = cos45° cos30° +

6+ 2 sin45° sin30° = , 4 sin15° = sin(45° - 30° )= sin45° cos30° - cos45° sin30° 6- 2 = . 4

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由余弦定理,得 c2= a2+ b2- 2abcosC = 4+ 8- 2 2× ( 6+ 2)= 8- 4 3, ∴ c= 6- 2. a c 又由正弦定理,得 = , sinA sinC 6- 2 2 1 ∴ = ,解得 sinA= . sinA 2 6- 2 4
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又 b2+ c2-a2>0,即 cosA>0, ∴ A 为锐角,即 A= 30° . ∴ B= 180° -(A+ C)= 180° - (30° +15° )=135° .
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(2011· 课标全国卷文)△ ABC 中 ,B= 120° ,AC= 7, AB= 5,则△ ABC 的面积为 ________.
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15 3 [答案] 4

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[解析] 2AB· BCcosB,

由 余 弦 定 理 , 得 AC2 = AB2 + BC2 -

即 49= 25+ BC2+ 5BC, 解得 BC= 3, 1 ∴ S△ ABC= AB· BCsin120° 2 1 3 15 3 = × 5× 3× = . 2 2 4

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已知三边,解三角形
[例 2] 在△ ABC 中,已知 a=7,b=3,c= 5,求 最大角和 sinC. [分析] 在三角形中,大边对大角,所以 a 边所对 角最大.
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[解析 ] ∵a> c> b,∴ A 为最大角 由余弦定理得, b2+c2- a2 32+ 52-72 1 cosA= = =- , 2bc 2 2× 3×5 又∵ 0° < A< 180° , 3 ∴ A= 120° ,∴ sinA=sin120° = . 2
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a c 由正弦定理 = 得, sinA sinC 3 5× csinA 2 5 3 sinC= = = . a 7 14 5 3 ∴最大角 A 为 120° ,sinC= . 14
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[点评 ] (1)求 sinC 也可用下面方法求解: a2+b2- c2 72+ 32-52 11 cosC= = = , 2ab 2× 7×3 14 ∴ C 为锐角. sinC= 1- cos C=
2
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11 2 5 3 1-? ? = . 14 14

(2)在解三角形时,有时既可用余弦定理,也可用正 弦定理.

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已知△ ABC 中, a? : b? : c= 2? : 6? : ( 3 + 1),求△ ABC 的三个角的大小.
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[解析 ] 设 a= 2k, b= 6k, c=( 3+ 1)k(k>0), b2+c2-a2 由余弦定理,得 cosA= 2bc 6k +? 3+ 1? k -4k 2 = = , 2 2 2 6? 3+ 1? k 1 ∴∠ A= 45° ,同理可得 cosB= ,∠B= 60° 2 ∴∠ C= 180° -∠ A-∠ B=75° .
2 2 2 2
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应用余弦定理判断三角形的形状
[例 3] 在△ ABC 中,已知(a+ b+ c)(a+ b- c)=
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3ab,且 2cosAsinB= sinC,确定△ ABC 的形状. [分析] 法求解. 可考虑将边化为角,或将角化为边两种方

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[解析 ] 解法一:(利用边判断) sinC c 由正弦定理,得 = . sinB b sinC c 由 2cosAsinB= sinC,有 cosA= = . 2sinB 2b b2+ c2- a2 c 又根据余弦定理,得 cosA= ,所以 = 2bc 2b b2+ c2- a2 .即 b2- a2= 0,所以 a= b. 2bc
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又因为 (a+b+ c)(a+ b- c)= 3ab, 所以 (a+ b)2- c2= 3ab,所以 4b2- c2= 3b2. 所以 b= c.所以 a= b= c. 因此△ ABC 为等边三角形.
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解法二:(利用角判断) 因为∠ A+∠ B+∠ C= 180° ,所以 sinC= sin(A+ B). 又因为 2cosAsinB=sinC, 所以 2cosAsinB= sinAcosB+ cosAsinB. 所以 sin(A-B)=0, 又角 A 与角 B 均为△ABC 的内角,所以∠A=∠B.
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又由 (a+ b+c)(a+ b-c)=3ab,得 (a+ b)2- c2= 3ab, a2+ b2-c2+ 2ab= 3ab. 由余弦定理,上式可化为 2abcosC+2ab= 3ab. 1 解得 cosC= , 2 所以∠ C=60° . 故△ ABC 为等边三角形.
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[点评]

解法一是利用正、余弦定理将已知条件转
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化为边的关系进行判断,解法二是利用正、余弦定理将 已知条件转化为内角的三角函数关系, 通过三角函数恒 等变形得出内角的关系进行判断.

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△ ABC 中, AB= 5, BC= 6, AC= 8,则△ ABC 的 形状是 ( ) B.直角三角形 D.非钝角三角形
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A.锐角三角形 C.钝角三角形

[答案] C

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[解析 ]

利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于

0、等于 0 还是小于 0,即可对其形状作出判断. 52+ 62- 82 1 因为 cosB= =- <0,所以 B 为钝角, 20 2×5×6 即△ ABC 是钝角三角形.
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利用余弦定理求边的取值范围
[例 4] 设 2a+ 1, a,2a- 1 为钝角三角形的三边, 求实数 a 的取值范围.

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[解析 ]

2a+ 1, a,2a- 1 是三角形的三边,

?2a+1> 0 ? ∴?a> 0 ?2a-1> 0 ?



1 解得 a> ,此时 2a+ 1 最大, 2 ∴要使 2a+1,a,2a- 1 表示三角形的三边,还需 a + (2a- 1)> 2a+ 1,解得 a> 2.

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设最长边 2a+ 1 所对的角为 θ,则 a2+? 2a- 1?2-? 2a+ 1?2 a? a- 8? cosθ= = < 0, 2a? 2a- 1? 2a? 2a- 1? 1 解得 <a< 8. 2 ∴ a 的取值范围是 2< a< 8.

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[点评 ] 本题极易忽略构成三角形的条件 a> 2,而 直接利用余弦定理求解,从而使 a 的范围扩大.
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已知锐角三角形三边长分别为 2,3, x,求 x 的取值 范围.
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[解析 ] 由三角形三边的关系有 3-2<x<3+ 2, 即 1< x<5. 又∵三角形为锐角三角形,由余弦定理可知任一 边的平方小于另两边平方和.

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?x2< 22+ 32 ? 即? 2 2 2 ? 3 < x + 2 ? ?5< x2< 13 ? 即? ? ?x> 0

?x2< 13 ? ,? 2 ? ?x > 5


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解得 5< x< 13 ∴ x 的取值范围为( 5, 13)

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[例 5] 在△ABC 中,∠ C= 2∠ A,a+ c= 10,cosA 3 = ,求 b. 4
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c sinC [误解 ] 由正弦定理,得 = , a sinA 又∵∠ C= 2∠ A, c sin2A 3 3 ∴ = = 2cosA= 2× = , a sinA 4 2 又 a+ c= 10,∴ a= 4, c= 6. 由余弦定理,得 a2= b2+ c2- 2bccosA, ∴ b2- 9b+ 20= 0, ∴ b= 4 或 b= 5.
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[辨析 ]

运用余弦定理求边长时,易产生增解,因
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此要结合题目中隐含条件进行判断.

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c sinC [正解 ] 由正弦定理,得 = , a sinA 又∵∠ C=2∠ A, c sin2A 3 3 ∴ = = 2cosA=2× = , a sinA 4 2 又 a+ c= 10,∴ a=4, c= 6. 由余弦定理,得 a2= b2+ c2- 2bccosA,
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∴ b2- 9b+20= 0,∴ b= 4 或 b= 5. 当 b= 4 时,∵ a=4,∴∠A=∠ B, 又∠ C= 2∠ A,且∠ A+∠ B+∠ C= π, π 3 ∴∠ A= 这与已知 cosA= 矛盾, 不合题意, 舍去. 4 4 当 b= 5 时,满足题意,∴ b= 5.
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一、选择题 1.在△ABC 中, 若 a<b<c, 且 c2<a2+ b2, 则△ ABC 为( ) A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不存在
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[答案] B

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[解析 ] ∵a<b<c,∵c2<a2+ b2,∴∠C 为锐角.∴ ∠ C 为最大角.
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2. 在△ABC 中, 若 a= 3+ 1,b= 3- 1,c= 10, 则△ ABC 的最大角的度数为( A. 60° C. 120° )
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B.90° D.150°

[答案] C

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[解析 ] 显然 10> 3+ 1> 3- 1, ? 3+ 1?2+? 3- 1?2-? 10?2 -2 ∴ cosC= = 4 2? 3+1? · ? 3- 1? 1 =- ,∴ C= 120° . 2

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二、填空题 3.已知三角形的两边长分别为 4 和 5,它们的夹角 的余弦是方程 2x2+ 3x- 2= 0 的根,则第三边的长是 ________.
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[答案]

21

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1 [解析 ] 解 2x +3x-2= 0,得 x1= 或 x2=- 2(舍 2
2

去 ). 1 ∴夹角余弦值为 ,根据余弦定理得第三边长为 2 1 4 + 5 - 2· 4· 5·= 21. 2
2 2
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4.在△ABC 中, a= b+ 2, b=c+ 2,又最大角的 3 正弦等于 ,则三边长为__________. 2
[答案] 3,5,7

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[解析 ] ∵a- b= 2, b- c= 2,∴ a>b>c, ∴最大角为 A.sinA= 3 ,若 A 为锐角,则 A= 60° , 2
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又 C<B<A,∴ A+ B+ C<180° ,这显然不可能,

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1 ∴ A 为钝角.∴ cosA=- , 2 设 c= x,则 b= x+ 2, a= x+ 4. x +? x+2? -? x+4? 1 ∴ =- , 2 2x? x+ 2? ∴ x= 3,故三边长为 3,5,7.
2 2 2
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三、解答题 5.在△ABC 中,已知 a= 5, b= 3,∠ C 的余弦值 是方程 5x + 7x- 6= 0 的根,求第三边长 c.
2
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[解析 ] 方程 5x2+7x- 6= 0 可化为 (5x-3)(x+2) = 0. 3 ∴ x1= , x2=- 2(舍去), 5 3 ∴ cosC= . 5 根据余弦定理,c2=a2+ b2- 2abcosC 3 = 5 + 3 -2× 5× 3× = 16,∴ c=4,即第三边长 5
2 2
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为 4.
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