2012-2013学年第二学期《现代控制理论》考试题A卷_参考答案

长安大学 2012-2013 学年第 2 学期

试题( A )卷

《现代控制理论》标准答案及评分标准
一、 (10 分)解:根据基尔霍夫基定律,得到: du di L ? Ri ? uC ? u , i ? C c dt dt 2 d d LC 2 uC ? RC u C ? u C? u 所以 dt dt 选择状态变量为

(2 分) (3 分)

x1 ? uc , x2 ? i
解出状态方程和输出方程分别为:
1 x2 C , y ? Rx2 1 R 1 x2 ? ? x1 ? x2 ? u L L L x1 ?

(2 分)

(3 分)

写成矢量矩阵形式为:

? ? 0 x?? ?? 1 ? L ?

y ? ?0 R? x

1 ? ?0? C ? ? x ? ?1 ?u ? ? R? ? ?L? ? L?

二、 (10 分)解:设初始条件为零,则系统的传递函数为 2z ? 3 W ( z) ? 2 z ? 3z ? 2 a0 ? 2, a1 ? 3

b0 ? 3,
其状态方程实现为

b1 ? 2

?0 1? ?0? x(k ? 1) ? ? x(k ) ? ? ? u ( k ) ? ??2 ?3? ?1 ? y(k ) ? ?b0 ? a0b2 b1 ? a1b2 ? x(k ) ? ?3 2? x(k )
三、 (10 分)解:矩阵 A 的特征方程为

? ?I ? A ? 0

?1

0 ?1 ? ? 3 ? 3? ? 2 ? (? ? 1) 2 ? ? ? 2 ? ? 0

?

?2 ?3

?

?1,2 ? ?1 , ?3 ? 2

? p11 ? ? P ?? 求 变 换 阵 。 对 应 于 ?1 ? ?1 的 特 征 矢 量 P 1 ,设 1 1 ? ?1 P 1可 得 , ? p21 ? , 由 AP ? ? p31 ? ? ?0 ?0 ? ? ?2 1 0 3 0? ? p1 1 ? ?p1 1 ? ? ? ? ? 1? ? p2 1 ? ? ? ? ? p 2 1 ? , P1 ? ? 0? ?? ? p3 1 ? ? ?p 3 1 ? ? ?p 1 1 ? ? 1 ? ? p ?? ? ?1? ? 2 1? ? ? ; 对 应 于 ?2 ? ?1 的 特 征 矢 量 P2 , 设 ? ?1 ? ? ?p 3 1 ? ? ?

? p12 ? ?0 1 0 ? ? p12 ? ? p12 ? ?1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P2 ? ? p22 ? ,由 ?1 p2 ? Ap2 ? ? p1 可得, ? ? p22 ? ? ?0 0 1 ? ? p22 ? ? ? ? ?1? , p2 ? ? ? 0? ; ? ?2 3 0? ?? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? p32 ? ? ? ? ? ? p32 ? ? ? ? p32 ? ? ? p13 ? ? P3 ? ? 对 应 于 ?3 ? 2 的 特 征 矢 量 P ? 3 0 可 得 , 1 , 设 ? p23 ? , 由 ?3 p 3? A p ? ? p33 ? ? ?0 ?0 ? ? ?2 1 0 3 0 ? p1 ? ?p ? 1 ? 2 ? ? ? 0 ? ? p3
3

? ?? 3? ? 3?

p ? ? 2 p ? ? p ?

1 3 2 3

p ? ? 1 3 ?? 1 ? ? , P? ? ?? ?2 T 并计算得 T ?1 为。 p 2?3 3? 3 ? ?? 。则可构成变换矩阵 ? ? ? p ? 4? ? 3? ? 3 3? ??

T ? ?P 1

P2

?2 ?9 ? 1 1 1? ? 2 ? ? ?1 P3 ? ? ? ?1 0 2 ? , T ? ? ?3 ? ? ? 1 ?1 4 ? ? ?1 ? ?9

?

5 9 1 3 2 9

2 ? 9 ? ? 1? ? 3? ? 1 ? 9 ? ?

?2 ?9 ? 2 ?1 故: T b ? ? ?3 ? ?1 ? ?9

?

5 9 1 3 2 9

2 ? ? 2 ? ? 9 ?0? ? 9 ? ? 1 1 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 0 ? ? ? , cT ? ?1 0 0? ? ? ?1 0 2 ? ? ?1 1 1? ? 3? 3? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ?1 4 ? ? 1 ?? ? ? 1 ? ? 9 ? ? ? 9 ? ?

得变换后的状态方程为:

? 2 ? ? 9 ? ? ?1 1 0 ? ? ? 1 ? ? ?1 ?1 z ? T ATz ? T bu ? ? 0 ?1 0 ? z ? ? ? ? u , y ? ?1 1 1? z ? 3? ? ? 0 0 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 9 ? ? ?
下面求传递函数:

?s2 ? 3 s 1? ? s ?1 0 ? 1 ? ? ? ? ?1 2 sI ? A ? ? 0 s ?1? , ( sI ? A) ? 2 s s? 2 ? ( s ? 1) ( s ? 2) ? 2s ? 3s ? 2 s 2 ? ? ?2 ?3 s ? ? ? ? 2 ?s ? 3 s 1 ? ?0 ? 1 ? ? ? G ( s) ? C ( sI ? A) ?1 B ? s2 s ?? ?1 0 0? ? 2 2 ?0 ? ( s ? 1) ( s ? 2) 2 ? 2s 3s ? 2 s ? ?1 ? ? ? ?? 1 ? 3 s ? 3s ? 2

四、 (10 分)解:判别能控性

M ?? ?b
构造变换矩阵

Ab

?0 ?1 2 ? ? ? A2 b ? ? ? ?0 0 0 ? ? ?1 0 ?1? ?

Rank ( M ) ? 2 ? n

?0 ?1 0 ? ? 0 0 1? Rc ? ?0 0 1 ? , Rc?1 ? ? ?1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 1 0 ? ? ? ?
按能控性分解后系统状态空间表达式:

?0 ?1 ?4 ? ?1 ? ? xc ? ? xc ? ? xc ? ? ? ? ? ?1 ?1 ? x ? ? Rc ARc ? x ? ? Rc bu ? ?1 ?2 ?2 ? ? x ? ? ?0 ? u ? c? ? c? ? c ? ?0 ? ? ?0 0 ?2 ? ? ? ?

?x ? y ? cRc ? ?1 ?1 ?1? ? c ? ? xc ?
五、 (10 分)解:有界输入有界输出稳定性,先求其传递函数:

G(s) ? c(sI ? A)?1 B ? D ?

? s ? 1 6? ??2? 1 s?2 1 ? ? ?0 1? ? ? ? ? s ? ? 1 ? (s ? 2)(s ? 3) s ? 3 s ? s ?6 ? 1
2

可见传递函数的极点 s ? ?3 位于 s 的左半平面,故系统是输出稳定的。 状态渐近稳定性,由 A 的特征方程:
det[? I ? A] ? (s ? 2)(s ? 3) ? 0
可得特征值 ?1 ? 2,  ?2 ? ?3 。故系统的状态不是渐进稳定的。

六、 (10 分)解:由题意知: x1 ? 0 , x2 ? 0 为唯一平衡状态。 首先选取李亚普诺夫函数 V ( x) 为

(1 分)

2 V ( x) ? 10x12 ? x2 可知 V ( x) 为正定且 V ( x) ? 0 。

V ( x) ? 20 x1 x1 ? 2 x2 x2 ? 1 ? (4 分) ? 20 x1 x2 ? 2 x2 ? ? x2 (1 ? x2 ) 2 ? 10 x1 ? ? a ?1 ? 2 2 ?? x2 (1 ? x2 ) 2 ? 0 a ?1 系 统 在 平 衡 状 态 xe =0 是 李 亚 普 诺 夫 意 义 下 稳 定 。 如 果 假 设 2 2 V ( x) ? ? x2 (1 ? x2 ) 2 恒等于零,必然要求 x2 在 t ? t0 时恒等于零;而 x2 恒等于零 a ?1 1 x2 (1 ? x2 ) 2 ? 10 x1 可知,在 t ? t0 时, 又要求 x2 恒等于零。但从状态方程 x2 ? ? a ?1 若要求 x2 ? 0 和 x2 ? 0 ,必须满足 x1 ? 0 的条件。这表明,在 x1 ? 0 时, V ( x) 不可
能恒等于零。因此,系统在平衡状态 xe =0 是渐近稳定的。 (3 分) 又由于 x ? ? 时,有 V ( x) ? ? ,故系统在平衡状态 xe =0 为大范围渐近稳定的。 (2 分) 七、 (20 分)解: (1)系统的能控性判别矩阵为

?0 M ? [b Ab] ? ? ?1

1? , Rank (M ) ? 2 ,满秩,系统是完全能控的。 (5 分) ? 3? ?
? ?e?3t ? s ? 3? ? ??? 1 ? ? 0 ? s?3 ? 1
2

? 1 ?s ?3 (2) ?(t ) ? L?1[( sI ? A)?1 ] ? L?1 ? ? ? 0 ?
t o

te?3t ? ? e?3t ?

(3 分)

x (t ) ? ? (t ) x(0) ? ? ? (t ? ? ) Bu (? ) d?
?3( t ?? ) t ?e ?e te ? ?1? ?? ? ?? ? ? e ?3t ? ?1? ?0 ? 0 ? 0 ? ?3t 2t ?3t 1 ? ?e ? 3 e ? 3 t ? ?? ? 1 2 ?3t ? ? ? e ? ? 3 3 ? ? ?3t ?3t

te ?3( t ?? ) ? ? 0 ? ? ? ? 1(? ) d? e ?3( t ?? ) ? ?1 ?

(3 分)

1 5 1 2t y ? ?1 1? x ? ? e?3t ? t ? e ?3t 3 3 3 3

(2 分)

(3) 引入状态反馈阵 K ? ?k1 k2 ? , 形成闭环控制系统。 闭环特征多项式为:

f (?) ? det[? I ? ( A ? bK )] ? ? 2 ? (6 ? k2 )? ? 3k2 ? k1 ? 9
与期望特征多项式

(2 分)

f ? ? ? ? ? (? ? 2) (?+3) ? ? 2 ? 5? ? 6
比较系数得:

6 ? k2 ? 5 ?3k2 ? k1 ? 9 ? 6
解出: k1 ? 0, k2 ? 1,即 八、 (20 分)解:
(1)能观性判别, N ? ? 故系统是完全能观。 (2)求全维状态观测器 令 G ? ?

(3 分) (2 分)

K ? ?k1 k2 ? ? ?0 1?

? C ? ? 1 0? ? 1 0? , Rank ( N ) ? Rank ? ?? ? ? ??2 ?CA? ? ?2 1? ? ?2 1?
(5 分)

? g1 ? ? ,得 ? g2 ?

及 与

? ?2 ? g1 1 ? ? ?2 1 ? ? g1 ? A ? GC ? ? ? ? ? ?1 0? ? ? ? ?1? ? 0 ?1? ? g 2 ? ? ? g2 ? ?? ? 2 ? g1 ?1 ? det ?? I ? ( A ? GC )? ? det ? ? ? 2 ? ( g1 ? 3)? ? g1 ? g 2 ? 1 (4 分) ? ? ? 1? ? g2

f ? ? ? ? ? (? ? 3)(? ? 3) ? ? 2 ? 6? ? 9
g1 ? 3, g2 ? 4

(2 分) (2 分)

比较系数得: 即

? 3? G ? ? ? ,从而全维状态观测器方程为: ?5 ? ??2 1 ? ?3? ?0? ? ? Ax ? ? G( y ? y ? ) ? bu ? ? ? ? ? ? (y ? y ?) ? ? ? u 或 x x ? ? 0 ?1? ?5? ?1 ? ??5 1 ? ? 3? ? 0? ? ? ( A ? GC ) x ? ? Gy ? bu ? ? ? ? ? ? y ? ? ?u x x ? ??5 ?1? ? 4? ?1 ?
u

(2 分)

(3)

(A, b, c)
5 3 +

y

_

u

+

?
-1

?2 x
+

?
-2

?1 x

? y

(5 分)


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